1、1现代结构化学 2010.9第一章 量子力学基础知识练习题1.（北师大 95）微观粒子体系的定态波函数所描述的状态是（ B ）A. 波函数不随时间变化的状态B几率密度不随时间变化的状态C. 自旋角动量不随时间变化的状态D. 粒子势能为零的状态2.（北大 93） 是描述微观体系（运动状态）的波函数。3.（北师大 20000）若 ，其中 为实常数，且 已归一化，1ie1求 的归一化常数。解：设 是归一化的，1()iAe2 *211()()1i i iidedAe cosiie4.（东北师大 99）已知一束自由电子的能量值为 E,写出其德布罗意波长表达式，并说明可用何种实验来验证（10 分）E=1/
2、2mv2 (mv)2=2mE 电子衍射实验2hhPmvE5.（中山 97） （北大 98）反映实物粒子波粒二象性的关系式为（）,hEv6 （中山 97）一维势箱长度为 l，则基态时粒子在( )处出现的几率密2l2度最大。（中山 2001）一维势箱中的粒子，已知 ，则在(2sinxl)处出现的几率密度最大。3(21,.,2lnln解法 1： 的极大和极小在 2 中都为极大值，所以求 的极值（包括极大和极小）位置就是几率密度极大的位置。 2sinxll cos0(21) ,123.() 0,.2 0 (21)2xllnxmllxnl n3解法 2：几率密度函数 sinxll 22sinxPll求极
3、值：(s in2=2Sincos)2si in02si = 0,123,.2= 0 2,212 1,35.(21)xnPlllllxxmllmnxxlnlnmmlxnn为 边 界 ， 不 是 极 值 点为 极 大 值 ， 为 极 小 值 .极 大 值 位 置 为7.（北大 93）边长为 l 的立方势箱中粒子的零点能是( )238hEml8.（北大 94）两个原子轨道 和 互相正交的数学表达式为( )12 120d9. 一维谐振子的势能表达式为 ，则该体系的定态薛定谔方程中Vkx的哈密顿算符为（ D）A. B. C. 21kx221kxm221kxmD. E. 22dm22d410.(北师大 0
4、4 年) 设算符 和 对任意 f 的作用为123,A4,1234,dfAfff fx指出哪些算符为线性算符( )23,11. 是某原子的可能状态,下列哪些组合也是该原子的可能状态?12a. b. c . d. 121212(a, d)12. 写出一个电子在长度为 a 的一维势箱中运动的 Hamilton 算符.2dHmx13.（北师大 02 年）(1) 给出用原子单位表示的下列算符表达式(a)电子的动量平方算符为 2222 2()xyzPPxyz(b) 原子核看作不动，He 原子的 Hamilton 算符21121aHr(c)角动量在 z 方向分量的算符 zzM () 1yxzpixyi或(2
5、). H 原子处于态 ， 和 分别为 H 原子的 1s 和 2s 原126ss1s2s子轨道，对应的能量分别为 ，给出 H 原子的平均能量。,sE解法一 dE512121122122112(6)(6)4666035sssss s ssssssHdHdEdHdddE解法二 组合系数 表示物理量 对总物理量 的贡126ss2ici献。将 归一化， ， 则归一化后 1d 122350ss因此， 对 E 的贡献为 ， 对 E 的贡献为 。 1s 402s 612ssE14. （北师大 05 年）(1). 是体系的可能状态，下列哪种组合也是体系的可能状态（ d 1,23）a. b. c. d.以上三种均
6、是1223123(2). 在边长为 l 的三维势箱运动的微观粒子，当能量为 时，简268hEml并度为（ c ）a.1 b.2 c.3 d.4解 22()8xyznhEml226xyzn1 1 2(3). 某波函数为 ， 和 是正交归一化的，那么常数 c 的2(3)c值为（ ） 136*2 *1212* *1222(3)()4669)dcdd15.（南开 96） 质量为 m 的粒子在长度为 l 的一维势箱中运动，体系的 的本征函数（ H） ，本征值为（ ）2sinxl 28nhEml16. （南开 99） 质量为 m 的粒子在长度为 l 的一维势箱中运动，基态时粒子的能量为E1，当粒子处在 的
7、状态时，测量粒子的能量为 E14()2sinixll的几率为多少？（ 80 ） 。解：解法 1：因 和 均是一维势箱中粒子的可能状态2sinxl24sinxl也是一维势箱中粒子的一种可能状态，()(ii)xll但它不是 Hamiltian 算符的本征函数（本征态） ，也不是归一化的。归一化 4(2sinsi)xxcll2 22 24(sini)4isinisin)xcdllxxdllll21sisi4xdx不 定 积 分 公 式 ：714124() (sinsi)5424(sinsi)(2)55xxxllllxxllll2 21 , 8hml对 应 的 能 量 为 出 现 的 几 率 为 （
8、） 22161 , 5l 2对 应 的 能 量 为 出 现 的 几 率 为 （ ） 解法 2： *121214()()5EHdx对 的贡献为 ，1sin()xEl480%5对 的贡献为4i()l 1217.（南开 94）一维势箱中运动的粒子处于 n4 的能级时，箱中何处粒子出现的几率密度为零（ l）( ). 直链己三烯有 6 个 C 原子参加共轭，平0x3,2l均键长为 d（） ，可视为一维势箱，设电子质量为 m(g), 普朗克常数为h(Js), 问从己三烯基态的最高占有能级激发一个电子到最低空能级吸收光的波长是多少 （只写出表达式） （ ）28(5)7mcdh解： 42sinxl0xlsin
9、048己三烯 CC5ld221133434E243(169)85hcEmd27ch18. （南开 96） 若把苯分子视为边长为 3.5 的二维势箱，将 6 个 电A 子分配到最低可进入的能级轨道（1）计算三个最低的能级值及简并度。（2）计算由基态跃迁到第一激发态吸收光谱波长（ ）346.210.hJS解： 二维势箱 3.5abA228yxxynhEm,12,3xyn 最低三个能级 简并度 g121Ea简并度 g222232()58hma简并度 g1242()Ea由基态 跃迁到第一激发态 ，吸收的光谱波长2131234222431108348589.0(.)134.636hhcEmaac nm1
10、9.（南开 90） 一个质量为 m 的电子，在长度为 l 的一维势箱中运动，9其基态能量为（ ） ，其基态波函数为（ ） ，218hEml12()sinxxl基态时电子在区间（ ）出现的几率为（ ） 。0x2/2/200/202sin sin ()i 1sinsin24l lxxPddl lydyP 20.（南开 97） 假设丁二烯的结构有两种情况（a）4 个 p 电子形成两个定域小 键，骨架表示为 C（b）4 个 p 电子形成 离域 键，骨架表示为 4按一维势箱处理（设相邻 C 原子间的距离为 l）计算出两种情况下， 电子总能量并计算离域化。解：（a） 2218nhEmll12E2142nl
11、离域能 0nDE（b） 2218(3)hmll28(3)hEml2120()DhEl离域能 222146()08(3)98DLhEmllml21.（东北师大 98） 10离子NCHCHH3C CHCHNCH333. +中 电子运动可用一维势箱来模拟，若这一势箱长度为 13 ，求该体A系由基态跃迁到第一激发态时吸收的波长。 28nhEml共有 10 个 电子，占据 5 个轨道， 5 6 的跃迁2265231881hhcllmlcl 22.（东北师大 98） 是 和 的本征函数吗?，若是，其本征值sinxd2x为多少？不是 的本征函数，是 的本征函数，本征值为-1dx2dx23.(东北师大 99)写出一维势箱运动粒子的能量公式和各符号的含义，并试用该公式简述 中化学键的离域效应。2H28nhEmln 为量子数，h 为普朗克常数，m 为粒子的质量，l 为一维势箱的长度。由此可看出，在粒子运动状态确定的情况下(n 确定)，体系的能量与粒子的运动范围 l 的平方成反比，即运动范围越大能量越低。对 而言，电子不再局限在一个原子核周围运动，而是在整个分子范2H围内运动，运动范围增大，能量降低。
