1、1习 题 课例 1 设 ，给出 A 上的一个二元关系，使其同时不满足自反性、反自,Aabc反性、对称性、反对称和传递性的二元关系，并画出 R 的关系图。解： ，关系图如图所示。(,),(),Rac例 2 设 是一个集合， n，求：XX1. 上的二元关系有多少？ 2n2. 上的自反的二元关系有多少？3. 上的反自反的二元关系有多少？X解：因为把所有的反自反的二元关系的每个都加上对角线上的序对，就变成了自反的关系，因此，自反的与反自反的个数一样多。即 2n4. 上的对称的二元关系有多少？X，故共有 个对称的关系。22nn2n5. 上的反对称的二元关系有多少？X2(3)n6. 上既是自反的也是反自反
2、的二元关系的个数； (0)个7. 上既不是自反的也不是反自反的二元关系有多少？ 2()nA解：解：可用容斥原理来计算设 B 表示所有自反关系构成的集合，C 表示所有反自反关系构成的集合，则。而 ，故 ，从而2nBCCBSS22222()nnnnA于是，既不是自反的，也不是反自反关系共有 个。2nA8.自反的且对称的关系有多少？此结果与“反自反的且对称的关系有多少？2”是一样多即有 （对角线上全去掉）2n9.自反的或对称的关系有多少？解：设 B 表示自反关系的集合，C 表示对称关系的集合，则自反或对称关系的集合为： 。222nnBC10. 上既是反自反的也是反对称的二元关系的个数为： ；X 23
3、n11. 上既是对称的也是反对称的关系个数；解： 上既是对称的也是反对称的关系 ，故有 。XRI2n12. 上既不是对称的也不是反对称的关系个数；X22(3)nnA解：设 A 表示对称、B 表示反对称，则既不是对称的也不是反对称的二元关系为：|CSSAB223nnA例 3 设有集合 A， ，求 A 上具有反自反且反对称性的二元关系的数目，并3写出计算过程。解：不妨设 ，将 ， 看作一个抽屉， ， 看作,abc(,),ba(,)bc,一个抽屉， ， 看作一个抽屉。若要获得具有反对称性且反自反性的(,)关系，其中的元素只能在三个抽屉中取且每个抽屉中至多取一个元素，分几种情况：（1）一个也不取，有
4、种取法。031C（2）只取一个元素，有 种取法。26A（3）取二个元素，有 种取法。3（4）取三个元素，有 种取法。8C故具有反自反性且反对称性的二元关系数目共有 1612827 个。若 ，结果又为多少？An3抽屉数： ，每个抽屉有 3 种选择，故共有 个。2nA 23n例 4 设 ， 是 A 的幂集 上1,3R2,1,1,2,3A的二元关系且 ，则 不满足下列哪些性质？为什么？(,)|abR（1）自反性；（2）反自反性；（3）对称性；（4）反对称性；（5）传递性。等价于 。(,)|Rabab(,)abR解：(1)自反性。因为 ，但 ，所以 ，故 不是自反的。2A(,)R（2）反自反性。因为
5、， ，故 ，故 不是反自反的。1A1(1,)（3）对称性。，若 ，则 ，所以 ，故 ，从而,2Axy(,)xyRxyyx(,)yxR是对称的。R（4）反对称性。令 ， ，则 ，故 且 ，1,2x,3y1xy(,)xyR(,)x但 ，所以 ，从而 不是反对称的。y()R（5）传递性。令 ， ， ，则有 且 ，故1x,2z1xy2yz且 ，但 ，故 ，所以 不是传递的。(,)yR(,)zx(,)zR例 5 设 R 是复数集合 C 上的一个二元关系且满足 ，a，b 为xyi非负整数，试确定 R 的性质。解：1.若 ab0 时，则 xy，(,)|0(,)|Cxy xyI等 价 于故 为 C 上的恒等关
6、系，显然满足：自反，对称，反对称和传递性质。R42.若 不全为 0，则满足反对称和反自反性质，但不满足自反、对称和传,ab递性。（1） ， ，所以 ，故 R 是反自反的，但不是xCxabi(,)x自反的。（2） ,若 ,则 ，而 ，因为 不全,yRyiyabi,a不零，所以 ，故不可能有 ，即 是反对称的，但 不是对称abiiRxR的。（3） ，若 且 ，则 且 ，而,xyzCxyzyabiyzabi，因为 不全为零，故 ，故不可能有 ，即2xzabi,a2ixRz不是传递的。R习题课例 1 证明： ，其中R 0120iiRR 证： ；01223()()t 同理可证 例 2 书上做为定理出现设
7、 R、S 是 上的二元关系，则X（1） ， 是空关系。（2） ()R证：因为 是传递的，故 。()R（3） ()S证：因为 且 ，故 ，且 ，从而RS()SR()S()例 3 如图 5 所示给出下图中每个关系的自反、对称和传递闭包。5 （a） （b） （c）图 5（1）自反闭包（2）对称闭包（3）传递闭包例 4 设 R 是集合 A 上的反对称关系，则 t(R)一定是反对称的吗？证：t(R)在 A 上不一定是反对称的。例： ， 则 R 的传递闭包为：,abcd(,),(),abcda()(),tR,(,),(),(),(,)dccbct(R)是全关系，故 t(R)不是反对称的而是对称的。例 5
8、是否可以定义二元关系的反自反闭包与二元关系的反对称闭包？为什么？解：不可以。设 A=a,b,c,R=(a,a)(a,b),(b,a),(a,c),则反自反闭包与反对称闭包不存在。例 6 举例说明 与 确实不相等。()stR()ts6解：设 ，在 上定义小于关系“ ”，则1,23N N“不等关系” ；()(st而 “全关系” 。)t因此的确不相等。例 7（ ）是否存在 （ ）上的一个二元关系 R，使得 两两89PXn2,nR不相等。解：存在。令 ， 即可。1,23, (1,2)3,(1,)Rn例 8 证明：如果 R 是对称的，则 R 也是对称的。证：证 1 ，则 ，使得 。于是存在1(,)ixy
9、mN(,)mxyRm1 个元素 ，使得121,my。由 R 的对称性有：211(,)(),(,),()mxRyRy。于是 ，从而112,mmyyx (,)myx，即 是对称的。1(,)ix1i习 题 课例 1 设 是整数集 上的关系， 定义为 ，则RImRn2n（1）证明： 是等价关系；（2）确定 的等价类。证：（1）因为 ，有 ，故 ，即 R 是自反的。I2，若 ，即 ，则 ，因此 ，即 R 是对称的。,mnIRnm2nnm，若 ， ，即 且 ，故 ，即 ，kk2k2k所以 R 是传递的。由此可知： 是 上的等价关系。I（2）因为 ， ，所以 R 的等价类有： 。i,Rii0,12,R7是等
10、价关系不是等价关系（因为不传递）例 2 设 是 上的一个自反关系，证明： 是等价关系 若 且RAR(,)abR，则 。书上习题(,)ac(,)bc证： 是 上的等价关系。若 且 ，由 的对称性有： 且 ，再由(,)R(,)aR(,)baR(,)c的传递性有： bcR 是自反的，故 有 。A(,)a若 ，由 ，有 ，所以 是对称的。(,)a(,)RbR若 且 ，由 的对称性有：bc且 ，故由题意得 ，所以 是传递。(,)R(,)(,)ac因此， 是 上的等价关系。A例 3.令 ， 上的两个关系如图 3 所示，它们是否是等价关系？1,2321图 3例 4 设 ， 是 上的等价关系，则 也是 上的等
11、价关系吗？1R2A12RA解： 不一定是 的等价关系。因为 不一定具有传递性。12举例：设 ， ，,abc1(,),(),()Rabcab，则2(),R1,(),(),(),cc因为 且 ，但 ，故 不满足传12(,)abR12,bR12,aR12递性，即 不一定是 上的等价关系。A例 5 设 是 上如下的二元关系：,XnSX 。 “”S8，(,)ijklS当且仅当 。(,),ijklijkl证明：(1) 等价关系；(2)求等价类数。证：(1)等价关系显然；(2)等价类数为： 。21n只能取 2，3，2n，故等价类数有 个。ij21n例 6 设 R 是 A 上的对称和传递的关系。若对 A 中每
12、个 a， ，使得bA，证明：R 是 A 上的等价关系。(,)ab证： ， ，使得 。由 R 的对称性有： 。再由b(,)ab(,)RR 的传递性有： 。由 a 的任意性可知，R 是 A 上的自反关系，故 R 是 A(,)a上的等价关系。例 7 设 R 是集合 A 上的一个自反的和传递的关系；T 是 A 上的一个关系，使得且 。证明：T 是 A 上的等价关系。(,)(,)ab(,)ba证：（1）因为 R 是 上的自反关系，所以 ，有 ，故由 Ta(,)aR的定义有： ，即 T 是 上的自反关系。(,)A（2）若 ，由题设： 且 。显然， ，即 Tab(,)abR(,)(,)b是 上的对称关系。A
13、（3）若 且 ，由题设可知： ， 且(,)T(,)c(,)aR(,)a， 。由 R 传递性得： 且 ，故 ，所(,)bcRb(,)ccT以 T 是 上的传递关系。A由（1） ， （2） ， （3）即得 T 是 上的等价关系。A例 8 设 是 上的一个二元关系，设 ，使得 且(,)|SabcA(,)acR。证明：(,)cbR（1）若 是 上的等价关系，则 也是 上的等价关系；A（2）证明： 。S分析：根据等价关系的定义，即关系 应满足自反性、对称性和传递性，R9分三步证明。证：1. 证明若 是等价关系，则 也是等价关系。RS（1）自反性因为 是自反的，所以 ，有 。根据 的定义，有 ，aA(,)
14、aRS(,)aS所以 是自反的；S（2）对称性：若 ，则 ，使得 且 。因为 是对称的，所(,)abc,c,b以 且 ，根据 的定义有 ，所以 是对称的；cR,aSaS(3) 传递性：若 ， ，则 ，使得 且 。因为 是,abS,cdA,dR,bR传递的，所以 。且 ，使得 且 。因为 是传递的，所以 。eA,eR,c,c根据 的定义有 。SacS所以 是传递的。由（1） ， （2） ， （3）可知： 是等价关系。2. 证明 。R，因为 是 上的等价关系，故 是自反的，即 。由(,)abAR(,)aR的定义知 ，故 。S,S反之， ，由 的定义知： ，使得 且 。因()cA(,)c(,)b为
15、是等价关系，故 是传递的，因此 ，于是 。RR(,)abRS从而 。S例 9 给定 上的相容关系 R，证明 为 上的等价关系。X1iX证：R 是自反的，对称的显然。故只要证明 传递即可。但 ，1iR1iR故是传递的。例 10 设 是集合 A 的划分，若 ，1in，12,nA iB证明： 是集合 的划分。,nB10证：因为 是集合 A 的划分，故 ， ，ij。12,nA 1niAij但 ，11()i iiBB当 ij 时， 。()ijA当 ij 时， 。()ijiA所以 是 的划分。12,nBB 例 11 设 和 是集合 上的等价关系， 和 是由 和 所诱导产生的划RX1C21R2分，证明：当且
16、仅当 的每个划分块都包含在 的某个划分块中， 。1C12R分析：只要理解等价关系和划分的概念以及它们之间的一一对应关系，就很容易证明。证：令划分 , 。12,kA 212,eCB 充分性。若 ，则 的每个划分块都包含在 的某个划分块中。于是12R1C2，即 为 中任一划分块，所以 。在 中任取一个元素kAk kAk。因为 是 的划分且 ，所以存在 ，使得 。于是a2XaX2eBCeaB，有 ，又因为 ，所以 。kb1(,)abR12R(,)abR根据划分的定义有 ，所以 。BekAe由 的任意性知， 的每一划分块都包含在 的某一划分块中。kA1C2C必要性若 的每个划分块都包含在 的某个划分块
17、中，则 。1C2 12R，则 在 的同一划分块中。根据题设，必有 在 的同一(,)abR,ab1 ,ab2C划分块中，故 。因此 。2(,)12R例 12 设 。 是 S 上的二元关系，1,23P3,|:XYSfXY则（1）若 ，证明： 是 上的等价关系；求,()mfgSfIfg11等价类的集合。（2）若 ，证明：,(1)2(3)1(2)3fgSfffg是 上的等价关系；求等价类的集合。S（3）若 ，证明： 是 上11, ()()fffyYyYS的等价关系；求等价类的集合。证：因为 ，所以 到 的映射共有 8 个，如图 2 所示。:fXY123f1f21331ff41323f5 f612332
18、1f7 f8123图 21 （1）等价关系显然。（2） ， ，故fS|()RmfgIfg， ， 。1R2234567,f38Rf所以等价类集合为 。1,RRf2 （1）等价关系显然（2） ， 。故fS|()2(3)1(2)3Rfgffg1223544,6788|(1)|()45|()236Rffffgg， ，。所以等价类集合为 。148,RRff3 （1） 是等价关系显然。（2） ， 。故fS11|()|()|RfgfyYgyY121822736445,1,3,2RRffff； ；。故等价类集合为 。1234,RRff例 13 由置换 确定了 上的一个关系456783681,28X当且仅当 与
19、 在 的循环分解式中的同一循环置换中，证明：:,ijXijij（1） 是 上的等价关系；（2）求 。/证：（1）因为 ，则13526487， 与 必在 的循环分解式中的同一个循环置换中，即 ，故iXi i是自反的；，若 ，即 与 在 的循环分解式中的同一个循环置换中，则,ijijij与 也在 的循环分解式中的同一个循环置换中，即 。故 是对称性的；jji，若 ，则 与 在 的循环分解式中的同一个循环置,ijkX,ijkij换中， 与 在 的循环分解式的同一个循环置换中，因而 与 也在 的循环ik分解式中的同一个循环置换中，即 。故 是传递性的。i综上可知： 是 上的等价关系。（2） 。/135
20、,26,48,7X例 14 设 ，并设 ，在 上定义关系 为：,4SASR。(,),abRcdabcd证明：(1)R 是等价关系；(2)计算出 A/R。证：I(1)自反性。 ，有 ，所以 ，即 R 是(,)A(,),abA 上的自反关系。(2)对称性。 ， ，若 ，则 ，故(,)ab,cd(,),abRcdcd，所以 ，即 R 是 A 上的对称关系。cda(3)传递性。 ， ， ，若 且 ，则(,),c(,)ef(,),c(,),Ref13且 ，即 ，所以 ，故 R 是 A 上的abcdefabef(,),abef传递关系。由(1)，(2)，(3)可知，R 是 A 上的等价关系。II 首先求出
21、 A=SS 的全部元素，然后找出所有元素对应的等价类即可。在求等价类时，记住以下几条性质：(1) ；(2)若 ，则 。Ra(,)abRRab因为 12,3(14),2(,)3,(24)AS(,) (1,),(,)(,)3()31,2312,4,4,4,3(,2)(2),()()()RRRRRR ,(), ,4RR所以， ,|(1)RAxyA(13)4,2,3,()RR例 15 设 是 上的等价关系， 是 上的等价关系。关系 满足：1RB121212(,),)(,)(,)xyxy且12RR 当 且 仅 当 且证明： 是 上的等价关系。RAB解：（1）自反性： ，有 ， ；因为 和 分别为,xyA
22、BxyB12R和 上的自反关系，所以 ， ，故 ，因此1R2,xy是自反性的；R（2）对称性： ，若 ，则12,xyAB12,yR， ；因为 和 分别为 和 上的对称关系，所以有11,x2,R12， ，从而 ，因此 是对称性的；21y1,xyR(3) 传递性： ，若 且23,xAB12,xyR14，则有 ， ， ，23,xyR121,xR2,y231,xR；因为 和 分别为 和 上的传递关系，所以有 ，212AB1，从而 ，因此 是传递性的。13,y3,xy综上可知： 是 上的等价关系。R例 15 设 是自然数集合，定义 上的二元关系 ：NNR，则 ,xyxy是 偶 数（1）证明 是一个等价关
23、系；（2）求关系 的等价类；R证：（1）自反性： ， 是偶数，所以有 。因此 是自反的；NxxxR对称性：若 ，即 是偶数，则 是偶数，所以有 。,yyy,yxR因此 是对称的；R传递性：若 ， ，即 是偶数， 是偶数，则,xR,zxzxz是偶数，所以有 。因此 是传递的。2yy,zR综上可知： 是等价关系。R（2）关系 的等价类有： 。0,241,35RR ，（3）设 ， 则 所诱导的等价关系就是 。Nf:1)(xf为 偶 数 ；为 奇 数 。 f R例 17 设 ，A 上的二元关系 R 定义为：1,234,A，(),xyRuvxyuv证明：1.R 是 A 上的等价关系；2.确定由 R 对集
24、合 A 的划分。证：1.首先证明 R 是 A 上的等价关系。(1)自反性。 ，因为 ，故 ，即 R 是自反,xyxy(,),xy的。(2) ，若 ，有 ，则 ，(,)uvA(,),Ruvuvxy15从而 ，即 R 是对称的。(,),uvxy(3) ，若 即 ，(),pqA(,),(),xyRuvpqxyuv，得 ，从而 ，故 R 是传递的。vpqxy由(1)、(2)、(3)可知，R 是 A 上的等价关系。2.由定理知，由 R 的等价类可确定对集合 A 的划分。划分中的元素分别为元素的等价类，它们是： (1,)(,)2,(3)4,(1,2)(,)21,(3),2(4),3314R R即集合 A
25、的划分 。(,),(,3),RR习 题 课例 1 非空集合 A 上存在二元关系 R，使得 R 既是 A 上的等价关系又是 A 上的偏序关系吗？解：存在。A 上的恒等关系就满足。例 2 在 A1,2,3,4,6,8,12,24和 B2,3,4,8,9,10,11上定义的整除关系“|” ，画出 Hasse 图，指出最大（小）元，极大（小）元。 9310248864(a) (b)图 1解：如图 1(a)所示最大元：24 最小元：1；极大元：24 极小元：1；16如图 1(b)所示最大元：无 极大元：8，9，10，11；最小元：无 极大元：2，3，11（元素 11 既是极大元又是极小元） 。例 3 设
26、偏序集 的关系图如图 2(a)所示。(,)A(1)画出 的 Hasse 图。(2)设 Bb,c ，求 B 的上界集合 C 和上确界；下界集合 D 和下确界。adbcbacd(a) (b)图 2解：1. 的 Hasse 图如图 8(b)所示。(,)A1. 设 Bb,c ，则 A 中无任意元素“大于”b，也同时“大于”c，故C ，此时，无上确界，而 Dd ，下确界：d。例 4 设集合 上的偏序关系如图 9 所示。则12345,xx1.求出 A 的最大（小）元，极大（小）元。2.求出 的上界、下界、上确界和下确界。234345123,17x1x2 x3x4x5图 2解：1.最大元： 最小元：无1,x
27、极大元： 极小元： ，4x52.令 ，则234,Ax上界： 下界 ； 上确界： 下确界：1 1,x4x令 ，则345,Bx上界： ，下界：无； 上确界： ，下确界：无；1 3x令 ，则23,Cx上界： ，下界： ； 上确界： ，下确界： 。14x14x例 5 设集合 ， 上的关系定义如下：,AabcdeA()(,),(),(),Raebc。则, ec（1）写出 的关系矩阵；（2）验证 是偏序集；(,)AR（3）并画出 Hasse 图。（4）若 上的关系如下：(,),(),(),(,),Rabcadebce，则又如何？18解：（1） 所对应的关系矩阵为 为：RRB1101RB（2）由关系矩阵可知
28、：对角线上的所有元素全为 1，故 是自反的； 图 10R，故 是反对称的； 1ijirR对应的关系矩阵 为： 22B。21101RRB因此 是传递的。R综上可知：故 是 上的偏序关系，从而 是偏序集。A(,)A（3） 对应的 Hasse 图如图 10 所示。(,)（4） 的关系矩阵为：R1101RB因为 ， ，但 ，故 不是传递的。,bc,d,bdR因此， 不是 上的偏序关系。RA实际上，也可通过计算 的关系矩阵来说明：2R，故 不是传递的。21101RRBB因此 不是 上的偏序关系。A例 6 证明：每个由 个实数组成的数列 中必有一个长至少为2n211,nacebad19的不减子序列，或有一
29、个长至少为 的不增子序列。1n1n证：不妨设 个数是互不相同的。于是，这 个数构成的集合 A，且21n21n。在 A 上定义二元关系“ ”如下：21当且仅当 且 。1ijaijaij其中是实数间的通常的小于或等于关系。显然，二元关系 是自反的，传递的。设 且 ，则 ，11ij1jiaija，且 ， ，从而 ， 。所以， 是反对称的。因此 是jiajiijaij1A 上的偏序关系， 是偏序集。1(,)A由推论可知，A 中或有长至少为 的链或有长至少为 的反链。A 中长1n1n至少为 的链，就是序列 的长至少为 的不减（在 下）的1n21,a 1子序列。而 A 的长至少为 的反链，实际上就构成了
30、的不增子21,na序列。设反链中元素按下标递增顺序排列成 12121,()nii nai 因 1 ，而 ，所以 ，故 ， 。于是便有：kiakiki ki1ki1kiia ,2n。121niii 例 7 设 是实数集，令 为 到 的所有映射所构成的集合。若 ，RX0,R,fgX定义： ，,10fgSxfxg证明：（1） 是偏序关系；（2） 是全序关系吗?S分析：证明 是偏序关系，首先搞清 是定义在什么集合上， 中的元素S是什么形式；然后再按偏序关系的定义分别证明 的自反性，反对称性，传递S性；证明这三个性质，可以直接采用按定义方法证明。显然 是定义在以映射作为元素的集合上，因此， 中的序对是以
31、映射作为元素的。:0,1fR证明：（1）证明 是偏序关系。S自反性： ，则 ， ，都有 ， fX:0,1fR0,1x0fxf20即，故 ，所以 是自反的。0fxf,fS反对称性： ，若 且 ，则 ，有,fgX,fg,fS0,1x， ，即 ， ，故0fx0xffxgf，即 ，从而 是反对称的。fgfgS传递性： ，若 且 ，则 ，有,fhX,f,ghS0,1x， ，即 ， ，所以0fxg0xfgh，即 ，因此有 ，从而 是传递的。fhfh,gS综上可知： 是偏序关系。S（2） 不是全序关系。例如：设 ，则 ，,1fxgx01fg，故 与 是不可比较的，即 不是全序关系。1gfS例 8 设 是偏序
32、集， , ，证明： 是一,AaA,fxAa:2Af个单射，且当 时，有 。abfb证：由 的定义，因 ，有 。 ，若 ，则fxfx,yfxfy有 ，即 ；xyy同理可证 。x由于偏序关系是反对称的，所以有 ，于是 是单射。xyf当 时， ，有 ，由于偏序关系是传递的，有 ，即abxfaxb。于是 。xfb21例 9 已知集合 A 和 B，其中 A ， （B，）是偏序集，定义上的二元关系如下：|:ABfB，()fRgfxxA1证明：R 为 上的偏序关系。2A2给出 存在最大元的必要条件和最大元的一般形式。(,)B证：1 （1） 及 有 ，因为 是偏序集，所以Afx()fB(,)“”是偏序关系，故
33、“”具有自反性。所以 ，即 ，fxxA。(,)fR（2） ，若 且 ，则 ，有 ，,AfgB(,)fgR(,)fx(),fxgB并且 且 。因为（B，）是偏序集，所以“”具有反()fxx对称性，所以 。由 x 的任意性可得 ，故 R 具有反对称性。()ffg（3） ，若 且 ，则 有,Agh(,)fgR(,)hxA，并且 且 。因为（B，）是偏序集，(),()fxBxx所以“”具有传递性。所以 ，由 x 的任意性可知 ，所以()f (,)fhRR 具有传递性。由（1） （2） （3）可知，R 是 上的偏序关系。AB2由 R 是 上的偏序关系，则 就是偏序集。若 存在最大元，A(,)AR(,)AB即 ，使得 ，都有 。fBg,)gfxgfx则 有因为 g 是任取的，所以 对任意选取的 x 都要“最大” ，即 ，都()fx y要有 ，所以 存在最大元的必要条件是（B，）存在最大元。()yfx(,AR假设（B，）存在最大元 ，设 的最大元为 ，则 ，有ob(,)AofaA。0()fxb
