1、专题 函数、导数与零点、恒成立问题1函数、导数与零点问题例1、 已知函数 是实数集R上的奇函数，函数ln()xfea为 常 数是区间一1，1上的减函数sigxf(I)求a的值；(II) 若 在x一1， 1上恒成立， 求t的取值范围2t() 讨论关于x的方程 的根的个数。2ln()xemf变式 1、若 问是否存在实数 m，使得 y= f（x）= 的图象与,ln6)(xg 28xy=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由.专题 函数、导数与零点、恒成立问题2变式 2、已知函数 f(x)=x +8x,g(x)=6lnx+m2（）求 f(x)在区间t,t+1上
2、的最大值 h(t);（）是否存在实数 m，使得 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出 m 的取值范围；，若不存在，说明理由。例 2、已知函数 f(x)=ax3+bx23x 在 x=1 处取得极值.（）求函数 f(x)的解析式；（）求证：对于区间 1，1 上任意两个自变量的值 x1，x 2，都有|f(x 1)f(x 2)|4 ；（）若过点 A（1，m） （m 2）可作曲线 y=f(x)的三条切线，求实数 m 的取值范围.专题 函数、导数与零点、恒成立问题3变式 3奇函数 的图象 E 过点 两点.cxbaxf23)( )210,(),2(BA（1）求 的表达
3、式；（2）求 的单调区间；)(f（3）若方程 有三个不同的实根，求 m 的取值范围.0mx例 3已知 是二次函数，不等式 的解集是 且 在区间 上()fx()0fx(,5)(fx1,4的最大值是 12。（I）求 的解析式；（II）是否存在自然数 使得方程 在区间 内有且只有两个,m37()fx(,)m不等的实数根？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由。专题 函数、导数与零点、恒成立问题4变式 4已知函数 的一个极值)(3),(8ln6)(2 xfbaxxf 为且为 常 数 点.（）求 a；（）求函数 的单调区间；)(xf（）若 的图象与 x 轴有且只有 3 个交点，求 b 的取值范围.
4、y例 4已知函数 xfln)(（）若 ，求 的极大值；)(RaF)(xF（）若 在定义域内单调递减，求满足此条件的实数 k 的取值kxfxG2)(范围.专题 函数、导数与零点、恒成立问题5变式 5、已知两个二次函数： 与 ，1)(2bxaxfy 2()1(0)ygxabx函数 yg（x）的图像与 轴有两个交点，其交点横坐标分别为 2,（1）试证： 在（1，1）上是单调函数()f（2）当 1 时，设 ， 是方程 的两实根，且 ，试判断a3x4210axb34x， ， ， 的大小关系1x34变式 6 设函数 其中,)(xefm.R（1）求函数 的最值；x（2）判断，当 时，函数 在区间 内是否存在
5、零点。1)(f)2,(m专题 函数、导数与零点、恒成立问题6函数、导数与零点问题答案例1、 解：（I） 是奇函数，)ln()aexfx则 恒成立.(0)flnea01,.（II）又 在1，1上单调递减，)(xg,1sin)()(maxg,sin2t只 需 .)1(0)(2 恒 成 立其 中 tt令 ,i1h则 ,0sin02tt,01sin2恒 成 立而 tt.（III）由（I）知 ,2ln,)( mexxxf 方 程 为令 ，efxf 2,ln)(21，21lf当 上为增函数；,0(),)(,0(11exffe在时 上为减函数，),(,0)(,11fxfx在时 当 时，e.)mae专题 函数
6、、导数与零点、恒成立问题7而 ，222)()emxf、 在同一坐标系的大致图象如图所示，1函 数f当 时，方程无解.ee1,22即当 时，方程有一个根.,22即当 时，方程有两个根.eme1,122即变式 1、令 .ln68)(),()( 2mxxfxgfxg 则因为 x0，要使函数 f（x）与函数 g（x）有且仅有 2 个不同的交点，则函数的图象与 x 轴的正半轴有且只有两个不同的交点ln68)(2 )0(3)1(682 xx当 x（0，1）时， 是增函数；),0)( x当 x（1，3）时， 是减函数(当 x（3，+）时， 是增函数),)当 x=1 或 x=3 时， 0(x ;7)1)(m极
7、 大 值 为 153ln6(x极 小 值 为又因为当 x0 时， )x当 (时 ，所以要使 有且仅有两个不同的正根，必须且只须)0)1(3)( 或即 70153ln65ln67mm或m=7 或 .l1当 m=7 或 时，函数 f（x）与 g（x）的图象有且只有两个不同交3专题 函数、导数与零点、恒成立问题8点。变式 2、解：（I） 22()8(4)16.fxx当 即 时， 在 上单调递增，14,t3t)f,t22()(1(7;hf t当 即 时，,t4t)(416htf当 时， 在 上单调递减，4()fx,2)(8.tft综上，2267,3()1,4,8tthtt （II）函数 的图象与 的图
8、象有且只有三个不同的交点，即函数()yfx()ygx的图象与 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。()xg2286ln,86(1)3() (0),mxxx当 时， 是增函数；0,1x()0,()当 时， 是减函数；(3)x当 时， 是增函数；,(),()当 或 时，1x0.()()7,()(3)6ln15.mxm最 大 值 最 小 值当 充分接近 0 时， 当 充分大时，()0x要使 的图象与 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须()x即7,()6ln3150,m最 大 值最 小 值 7156ln3.所以存在实数 ，使得函数 与 的图象有且只有三个不同的()yfx()g交点， 的取值范围为 (,
9、l.例 2解：（I）f(x)=3ax 2+2bx3，依题意，f (1)=f(1)=0，专题 函数、导数与零点、恒成立问题9即 ,032ba解得 a=1，b=0.f(x)=x 33x.（II）f(x)=x 33x,f(x)=3x 23=3(x+1)(x 1)，当1x1 时，f (x)0，故 f(x)在区间 1，1上为减函数，fmax(x)=f(1)=2，f min(x)=f(1)=2对于区间1，1上任意两个自变量的值 x1，x 2，都有|f(x 1)f(x 2)|f max(x) f min(x)|f(x1)f(x 2)|f max(x)f min(x)|=2( 2)=4（III ）f (x)=
10、3x 23=3(x+1)(x1)，曲线方程为 y=x33x，点 A（1，m）不在曲线上.设切点为 M（x 0，y 0） ，则点 M 的坐标满足 .300xy因 ，故切线的斜率为)()2f，13(3020xx整理得 .2m过点 A（1，m）可作曲线的三条切线，关于 x0方程 =0 有三个实根.3203x设 g(x0)= ，则 g( x0)=6 ，2026由 g(x 0)=0，得 x0=0 或 x0=1.g(x 0)在（，0） ， （1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减.函数 g(x0)= 的极值点为 x0=0，x 0=13223m关于 x0方程 =0 有三个实根的充要条件是0x，解得3m2
11、.)1(g故所求的实数 a 的取值范围是3m2变式 3解：（1） 为奇函数axbxf3)(专题 函数、导数与零点、恒成立问题100)()( bRxfxf ca3图象过点 、)2,(A)21,(B3,1580216 cacaca即xf3)(（2） )(3)(2xxf0)(,1;0)(,1ff 时或时的增区间是 ，减区间是（1，1）)(xf ),(,和（3） 2)(f为使方程 有三个不等根，则mxf0)(即2m即的取值范围是（2，2）例 3、解：（I） 是二次函数，且 的解集是()fx()0fx(,5)可设 ()50.fa在区间 上的最大值是x1,416.a由已知，得 622,()5)0().fx
12、xR（II）方程 等价于方程37()0f37设 则21,hx2()6(1).h当 时， 是减函数；(0,)3()x当 时， 是增函数。0,()1(),()450,27hh方程 在区间 内分别有惟一实数根，而在区间x1(3,) (0,3)内没有实数根，(4,)专题 函数、导数与零点、恒成立问题11所以存在惟一的自然数 使得方程 在区间 内有且只有两个3,m37()0fx(,1)m不同的实数根。变式 4解：（） 826)(axf1082)3(af可 得（）由（）知 bxfln)(2)0(346)( xxf由 130或可 得由 )(f可 得函数 的单调递增区间为x),30(函数 的单调递减区间为1，
13、3)(f（）由（）可知函数 在 单调递增)(xf1,函数 在1，3单调递减)(xf函数 在3，+ 单调递增)当 x=1 或 x=3 时， 0(xf781ln6)( bf极 小 值 153ln62493)极 小 值 0)(,0)(, xfxfx充 分 大 时当时充 分 接 近当要使 的图象与 x 轴正半轴有且仅有三个不同的交点，只须)(f0153ln6)(7bfxf极 小 值极 大 值即 15例 4解：（） 定义域为xaxfFl)(),0(x专题 函数、导数与零点、恒成立问题122ln)1()xaF令 由ae10得 aexxF10)(得由 )(得即 上单调递增，在 上单调递减),1axF在 ),
14、(1ae时，F(x)取得极大值 e11aFe（） 的定义域为(0+) kxG2lnkxGln2)(由 G (x)在定义域内单调递减知： 在(0+)内恒成立 0ln2(kx令 ，则 由kHln22)l1)xH exH得(当 时 为增函数),0(ex(,0(当 时 为减函数 )当 x = e 时， H(x)取最大值 ke2(故只需 恒成立，02k又当 时，只有一点 x = e 使得 不影响其单调性e0)(xHG.2k变式 5 （1） 的图像与 轴有两个交点，其交点横坐标分别为()ygx，则方程 有两个不同的实数根，即有2,(x210abx40()baA ，有 或 ， 或()2a1b2a即 或12a
15、专题 函数、导数与零点、恒成立问题13于是二次函数 图像的对称轴 在（1，1）的左侧或右侧，故()yfx2bxa在（1，1）上是单调函数()yfx（2） 是方程 的两个实根2,210ab故有 1 20,abx ，22x又 2111()()fa2abx当 时， 的图像开口向上，与 轴的两相交点为 13 分()yf x34(,0)x而点 ，在 x 轴下方，12(,),xf有 34x变式 6解：（1） 在 上连续 ，)(f),1)(mxef令 ，得 。0fm当 时，),(x;0)(,1xfex当 时， 。所以，当 时， 取极小值也是最小值。)(f;1)(minxf由知 无最大值。（2）函数 在 上连
16、续。)(f2,而 em令 )(g,则 ,02)(,12 eg在 上递增。)(),1由 得 ，即 ，0egm)(mf又 ,f)2(专题 函数、导数与零点、恒成立问题14根据定理，可判断函数 在区间 上存在零点。)(xf)2,(m恒成立问题1 （江苏卷）设 a、b、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（A） （B）| aa12（C） （D）21|ba a23【思路点拨】本题主要考查.不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全提干，必须结合选择支，才能得出正确的结论。【正确解答】运用排除法，C 选项 ，当 a-b0时不成立。21ba【解后反思】运用公式一定要注意公式成立的条件如果 )“(2R,
17、2 号时 取当 且 仅 当那 么 baba如果 a,b是正数，那么 .号时 取当 且 仅 当 baa2(陕西卷)已知不等式(x+y)( + )9 对任意正实数 x,y恒成立,则正实数 a的最小1x ay值为( )A.2 B.4 C.6 D.8解析：不等式( x+y)( )9 对任意正实数 x， y恒成立，则 1yx9， 2 或 4(舍去)，所以正实数 a的最小值为 4，选 B21aa3(上海卷)三个同学对问题“关于 的不等式 25| 5 | 在1，12上232恒成立，求实数 的取值范围”提出各自的解题思路甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值” 乙说：“把不等式变形为左边含变量 的函
18、数，右边仅含常数，求函数的最值” x丙说：“把不等式两边看成关于 的函数，作出函数图像” 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即 的取值范围是 a专题 函数、导数与零点、恒成立问题15解：由 25| 5 | ，而2x32x25,12|aaxx，等号当且仅当 时成立；且 ，等号当510A,|0且仅当 时成立；所以， ，等号当且仅,22min|1x当 时成立；故 ；x(,10a4.（江西卷）若不等式 x2ax10 对于一切 x（0， 成立，则 a的取值范围是（ ）A0 B. 2 C.- D.-352解：设 f（x）x 2ax1，则对称轴为 x a若 ，即 a1 时，则 f（x）在0
19、， 上是减函数， 1应有 f（ ）0 a125若 0，即 a0 时，则 f（x）在0， 上是增函数，应有 f（0）10 恒成立， 2故 a0若 0 ，即1a0，则应有 f（ ） 恒成立，故2 a 22aa44 1a0综上，有 a 故选 C55 （全国 II）设函数 f(x)( x1)ln( x1)，若对所有的 x0，都有 f(x) ax成立，求实数 a的取值范围解法一：令 g(x)( x1)ln( x1) ax，对函数 g(x)求导数： g( x)ln( x1)1 a令 g( x)0，解得 x ea1 1， (i)当 a1 时，对所有 x0， g( x)0，所以 g(x)在0，)上是增函数，又
20、 g(0)0，所以对 x0，都有 g(x) g(0)，即当 a1 时，对于所有 x0，都有 f(x) ax (ii)当 a1 时，对于 0 x ea1 1， g( x)0，所以 g(x)在(0， ea1 1)是减函数，又 g(0)0，所以对 0 x ea1 1，都有 g(x) g(0)，即当 a1 时，不是对所有的 x0，都有 f(x) ax成立综上， a的取值范围是（，1 解法二：令 g(x)( x1)ln( x1) ax，于是不等式 f(x) ax成立即为 g(x) g(0)成立 专题 函数、导数与零点、恒成立问题16对函数 g(x)求导数： g( x)ln( x1)1 a令 g( x)0，解得 x ea1 1， 当 x ea1 1 时， g( x)0， g(x)为增函数，当1 x ea1 1， g( x)0， g(x)为减函数， 所以要对所有 x0 都有 g(x) g(0)充要条件为 ea1 10由此得 a1，即 a的取值范围是（，1
