1、 1导数与恒成立、能成立问题专题一、基础理论回顾1、恒成立问题的转化： 恒成立 ；afxmaxfminfafx恒 成 立2、能成立问题的转化： 能成立 ；in a能 成 立3、恰成立问题的转化： 在 M 上恰成立 的解集为 MafxafxRfxC在 上 恒 成 立在 上 恒 成 立另一转化方法：若 在 D 上恰成立，等价于 在 D 上的最小值 ，若 Af)(, )(f Af)(min在 D 上恰成立，则等价于 在 D 上的最大值 .,xBf)( )(xf Bxma4、设函数 、 ，对任意的 ，存在 ，使得 ，则fxgbax,1dc,221gfxfminin5、设函数 、 ，对任意的 ，存在 ，
2、使得 ，则fxgbax,1dcx,221xgfxfmaa6、设函数 、 ，存在 ，存在 ，使得 ，则fx,1cx,221xfxgfminax7、设函数 、 ，存在 ，存在 ，使得 ，则gbadgain8、若不等式 在区间 D 上恒成立，等价于在区间 D 上函数 和图象在函数 图fx yfxyx象上方；9、若不等式 在区间 D 上恒成立，等价于在区间 D 上函数 和图象在函数 图fg fg象下方；2二、经典题型解析题型一、简单型例 1、已知函数 ， ，其中 ， 12)(axxf xag)(0x1）对任意 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围；（构造新函数）,1f2）对任意 ，都有 恒成立，求实数
3、的取值范围；（转化）4,2x)(21f a简解：（1）由 成立，只需满足 的最小值大于 即01232 xaa 12)(3xa可对 求导， ，故 在 是增函数，)(23x0)1()24)(x,，所以 的取值范围是 1mina3a例 2、设函数 ，对任意 ，都有 在 恒成立，求实数 的范围bxh)( 2,10)(xh,4b分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数以本题为例，实质还是通过函数求最值解决方法 1：化归最值， ；10)(10)(maxhx方法 2：变量分离， 或 ；bxb)(2方法 3：变更主元（新函数） ， ，011)(xa2,1a简解：方法 1:对 求导， ，
4、 （单调函数）bxah)( 22)()(xh由此可知， 在 上的最大值为 与 中的较大者)(x1,4)41(，对于任意 ，得 的取值范围是 abah93010)(4 2,1ab47b例 3、已知两函数 ， ，对任意 ，存在 ，使得 ，2)(xfmgx1)( ,01x2,1x21)(xgf3则实数 m 的取值范围为 答案： 41m题型二、更换主元和换元法例 1、已知函数 是实数集 上的奇函数，函数 是区间 上的减函数，()ln)(xfea为 常 数 ） R()singxfx1,()求 的值；()若 上恒成立，求 的取值范围；a21,gtx在 t()分析：在不等式中出现了两个字母： 及 ,关键在于
5、该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显t然可将 视作自变量，则上述问题即可转化为在 内关于 的一次函数大于等于 0 恒成立的问题。()略 ,1解：由()知： ， ， 在 上单调递减， 在()fx()singxx()g， ()cosgxxcosx上恒成立， ， 只需 ， （其中1， 1， max(1)si2sin1t2(1)in10tt）恒成立，由上述结论：可令 ,则 ， 2()si0(ftt） 2t0si，而 恒成立， 。21sin0t2sin10t1t例 2、已知二次函数 对 恒有 ，求 的取值范围。)(2xaf 2,00)(xfa解： 对 恒有 即 变形为,x)12当 时对任意的
6、都满足 只须考虑 的情况0)(xfx即 要满足题意只要保证 比右边的最大值大就行。2)1(xa21aa现求 在 上的最大值。令 （ ）,21txt 41)2()(2ttg2t所以43)2()(maxgt 43a又 是二次函数 所以 且1f 043a0例 3、对于满足 0 a 4 的所有实数 a 求使不等式 都成立的 x 的取值范围2x答案： 或x3题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于 取值范围内的任一个数都有 恒成立，则 ；若对于x()fxgamin()
7、gafx取值范围内的任一个数都有 恒成立，则 .x()fgamax4例 1、当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是 .,2x240xmm解析: 当 时，由 得 . .(,)24x5例 2、已知函数 （ 为常数）是实数集 上的奇函数，函数 在区间ln()xfeaR()cosgxx上是减函数 .,3（）求 的值与 的范围；a（）若对（）中的任意实数 都有 在 上恒成立，求实数 的取值范围.()1gxt2,3t（）若 ，试讨论关于 的方程 的根的个数.0m2ln()emf解：（） 、 （）略（）由题意知，函数 在区间 上是减函数.()cosgxx2,3在 上恒成立max1()(),32g()1t,
8、 1,32t12t,.3t题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法） ）例 1、若对任意 ,不等式 恒成立，则实数 的取值范围是_xR|xaa解析： |yx|yxaaxO对 ,不等式 恒成立、则由一次函数性质及图像知 ，即 。xR|xa1a1a例 2、不等式 在 内恒成立，求实数 a 的取值范围。)4(3,05解：画出两个凼数 和 在 上的图象axy)4(x3,0如图xy0 3ay知当 时 ，3a3xy当 时总有 所以,0)4(xa3a|yx|yxaaxO例 4、已知函数 若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 .36,2(),xyf()2fxm解：在同一个平面直角坐标系中
9、分别作出函数 及 的图象，由于不等式y()yf恒成立，所以函数 的图象应总在函数 的图象下方，因此，当 时，()2fxm2yxmx2x所以 故 的取值范围是40,y4,4,.题型五、其它（最值）处理方法若在区间 D 上存在实数 使不等式 成立, 则等价于在区间 D 上 ；xfxAmaxfA若在区间 D 上存在实数 使不等式 成立, 则等价于在区间 D 上的 .BinB利用不等式性质Oxy()fx2m61、存在实数 ，使得不等式 有解，则实数 的取值范围为_。x2313xaa解：设 ，由 有解， ，31f2f 2minfx又 ， ，解得 。4xx234a41a或2、若关于 的不等式 恒成立，试求
10、 a 的范围x解：由题意知只须 a 比 的最小值相同或比其最小值小即可，得2 min)32(xa由 所以 5)3(3xx利用分类讨论1、已知函数 在区间-1，2 上都不小于 2，求 a 的值。42)(axxf解：由函数 的对称轴为 x=a所以必须考察 a 与-1，2 的大小，显然要进行三种分类讨论1） 当 a 2 时 f(x)在-1 ，2上是减函数此时 = f(2)=4-4a+4min)(xf 2即 a 结合 a 2，所以 a 232） 当 a 时 f(x)在-1，2上是增函数，此时 f(-1)=1+2a+4= f(-1)=1+2a+4 结合 a 即 a min)(xf 1233） 当-12a
11、. 上是减函数. （9 分）2,134)(22 aaxf 在 4)(.1()( minmax ffff于是，对任意 ，不等式恒成立，等价于2,a.154.12,a解 得又 ,0.7、解：(1) y2f /(1) ln(x1) 0， y2f /(1) ln(x 1)OA OB OC OA OB OC 由于 A、B、C 三点共线 即y2f /(1)ln(x1)12 分yf(x)ln(x1)1 2f /(1)f /(x) ，得 f /(1) ，故 f(x)ln(x 1)4 分1x 1 12（2）令 g(x)f(x) ，由 g/(x) 2xx 2 1x 1 2(x 2) 2x(x 2)2 x2(x 1
12、)(x 2)2xy0 3axy13x0 ，g/(x)0，g(x)在(0，)上是增函数6 分故 g(x)g(0)0即 f(x) 8 分2xx 2（3）原不等式等价于 x2f(x2)m2 2bm312令 h(x) x2f(x2) x2ln(1x2)，由 h/(x)x 10 分12 12 2x1 x2 x3 x1 x2当 x1 ，1时，h(x)max0，m22bm30令 Q(b)m2 2bm 3 ，则 得 m3 或 m312 分Q(1) m2 2m 3 0Q( 1) m2 2m 3 0)8、解：(I) 而 ，所以1ln0qpfepeqeepq(II) 由 (I) 知 ， 4 分2lfxx22pxf
13、令 ，要使 在其定义域 (0,+) 内为单调函数，只需 h(x) 在 (0,+) 内满足：h(x)2hxpf0 或 h(x)0 恒成立. 5 分 当 时， ，所以 在 (0,+) 内为单调递减，故 ；02,0xhxfx0p 当 时， ，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为 ，p2hp 1x， ，只需 ，即 p1 时， h(x)0， ，min1hx10p0f f (x) 在 (0,+) 内为单调递增，故 p1 适合题意. 综上可得，p1 或 p0 9 分(III) g(x) = 在 1,e 上是减函数2ex x = e 时，g(x)min = 2，x = 1 时，g(x)max = 2e 即 g(x) 2,2e 10 分 p0 时，由 (II) 知 f (x) 在 1,e 递减 f (x)max = f (1) = 0 g(x)min = 2，x 1,e f (x)max = f (e) = p (e )2ln e 2 p 13 分1e 4ee 2 1综上，p 的取值范围是 ( ,+) 14 分4ee 2 1
