1、1与导数有关的“恒成立” ， “能成立”问题基础再现：1若函数 = 有极大值和极小值，则 的取值范围是 )(xf 1)2(323xaa2已知 = ， = .gln(1) 若 ，总有 成立，则实数 的取值范围是 ),0(x)(xfg(2) 若 ，总有 成立，则实数 的取值范围是 211)2a(3) 若 ，使 成立，则实数 的取值范围是 ,x(xf(4) 若 ，使 成立，则实数 的取值范围是 21 )12g(5) 若 ，使 成立，则实数 的取值范围是 ,x(xf a总结：1导数与不等式的问题，一般都可转化为极值最值问题解决。2区间上不等式的 12 种类型及其解决方法：不等式类型 解决方法(1) ,
2、Dx)(fMmin)(xfM(2) ， )(xg, , ,D0)(xgfh0)(minxh(3) ,x)(fmax)(f(4) ， )(x， , )()(xf )(max(5) ,Dx)(fMmax)(fM(6) ， )(xg， ,D0)()(xgfh0)(maxh(7) ,x)(fmin)(xf(8) ，)(x， ,)()(xf )(minx(9) , ,1Dx21f)(2xgmin(faxg(10) , , iin)(11) , ,1x2)(1xf2max)(fax(12) , , gin)(g2练习：1若函数 = 在 上是增函数，则 的取值范围是（ ）)(xfxa12,2aA B C D
3、 0,3,0,2若函数 在其定义域内的一个子区间 内不是单调函数，则实数 的取值范围xxfln2)(1,kk是 .3对 ，函数 在区间 上不单调，则实数 的取值范围是 .,1t xmg2)()(33,tm4已知向量 为常数 是自然对数的底数 曲线 在点knfnkxem(/,1,l, e,),)(xfy处的切线与 轴垂直 )(,fy)(eFx(1)求 的值及 的单调区间；k)(2)已知函数 = ( ).若对于任意 ，总存在 ，使得 ，xgax202x1,0),0(1x)(12xFg求实数 的取值范围a5已知函数 kxef2)()(1)求 的单调区间；(x(2)若对于任意 ，都有 ，求 的取值范围
4、 .),0()(xfe1k与导数有关的“恒成立” ， “能成立”问题-突破练习1已知函数 ， ，函数 的导函数 ，且 xaxfln)()(xgxeg)(eg)1(0(1)求函数 的极值；(2)若 ，使得不等式 成立，试求实数 的取值范围；),0(x xmg3)(m(3)当 =0 时，对 ，求证： a,(x2)(gf解：(1) 函数 的定义域为 )f 01)(,0xa当 时 在 上为增函数， 没有极值；0)(,(,f )(f当 时 若 时 ；若 时a,1)(,xaf )1,0(a0)(,xf ),1(a0)(,xf存在极大值，且当 时 )(xf )lnf极 大3综上可知：当 时， 没有极值；0a
5、)(xf当 时， 存在极大值，且当 时)(f a11)ln()1()(, afxf极 大(2) 函数 的导函数 xgxeg)()(,cegxce 01,)(0又 使得不等式 成立，,xmxg3)(即 使得 成立，),0(ex令 则问题可转化为：,3xexh max)(h对于 由于),0(,)( ),211xe当 时，有),0(x ,1)(,21, xxex从而 在 上为减函数，,h(h),0,0)(h3m(3)当 时 令0a,ln)(,xf ,2ln2)()( xexfg且 在 上为增函数? 设 的根为 则 即1)(ex00t,1tete又当 时 在 上为减函数；当 时 在 上为增函数，,t)
6、(,)(x,t ),(tx)(0,x)2ln2ln)(min eetex tttt又 )1,(,0)1(,01 t由于 在 上为增函数，)(tet,2,0215.1min ettx.2)(gf2设函数 ),10(3312Rbaxaxf (1)求函数 f（x ）的单调区间和极值；4(2)若对任意的 不等式 恒成立，求 的取值范围. ,2,1ax()fxa解：（） 2()43f令 得 的单调递增区间为（a,3a）,0xfx令 得 的单调递减区间为（ ，a）和（3a，+ ）)()(f 当 x=a 时， 极小值 = 当 x=3a 时， 极大值 =b. x;43b)(xf（）由| |a，得：对任意的 恒
7、成立)(f ,2,1x2243a则等价于 这个二次函数 的对称轴 gxmain()g 22()43gxa2xa（放缩法）01,a2即定义域在对称轴的右边， 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。()gx上是增函数. （9 分）22431,axa在 min()()4.g于是，对任意 ，不等式恒成立，等价于2,1ax(2)41.15ga在又 ,0.a3已知函数 21()()ln()fxaxaR.(1)若曲线 y在 和 3处的切线互相平行，求 的值；(2)求 ()f的单调区间；(3)设 2gx，若对任意 1(0,2x，均存在 2(0,x，使得 12()fxg，求 a的取值范围.解： ()()
8、fa(). (1)由 13f，解得 3a.(2) ()2)xf(0)x. 2xa1,25当 0a时， x， 10a， 在区间 (,2)上， ()f；在区间 (2,)上 (0fx，故 f的单调递增区间是 ,，单调递减区间是 ,). 当 102a时， ， 在区间 (,)和 ,)上， ()0fx；在区间 1(2,)a上 (0fx，故 fx的单调递增区间是 ,2和 1,a，单调递减区间是 ,). 当 12a时， ()xf， 故 ()fx的单调递增区间是 (0,. 当 时， 02a， 在区间 1(,)和 ,)上， ()0fx；在区间 1(,2)a上 (0fx，故 fx的单调递增区间是 1,a和 2,，单
9、调递减区间是 ,). (3)由已知，在 (0,2上有 mxax()()fg由已知， max)g，由（）可知，当 12时， (f在 ,上单调递增，故 max()2(1)ln22lnf aa，所以， ln0，解得 ，故 1ln2. 当 a时， ()fx在 0,a上单调递增，在 1,2a上单调递减，故 max1()2lnff.由 2可知 lnl1e， 2la， 2lna，所以， 0a， max()0f， 综上所述， l. 4已知函数 xxf3)(6(1)求函数 的零点个数；)(xf(2)函数 ，若函数 在 内有极值，求实数 的取值范围；xfagln)(2)(xgy1,0ea(3)在(2)的条件下对任
10、意 ， 求证： ),1(t)1,0(s est12)(5已知函数 .2ln2fxaxa(1)当 时，求 的极值； 0af(2)当 时，讨论 的单调性；x(3)若对任意的 恒有 成立，求实数 的取123,312ln32lmafxfm值范围.解：（1）当 时， 1 分0a21ln, (0).xfxfx由 ,解得 . 2 分21xf12 在 上是减函数，在 上是增函数. 3 分f0, 的极小值为 ，无极大值. 4 分fx12lnf（2） . 6 分22211(0)axaxaf xx 当 时， 在 和 上是减函数，在 上是增函数；7 分0f10,a当 时， 在 上是减函数； 8 分2afx,当 时，
11、在 和 上是减函数，在 上是增函数. 9 分f1,210,a1,2a（3）当 时，由（2）可知 在 上是减函数，afx,3 . 10 分11342lnfxff由 对任意的 恒成立，2lnlmxf12,3ax 11 分1max32af7即 对任意 恒成立，2ln3l4ln33maa2a即 对任意 恒成立， 12 分4由于当 时， ， . 13 分2189a13m6设 ()lnafxx， 32()gx(1)当 时，求曲线 yf在 1处的切线方程；(2)如果存在 12,0,x，使得 2()xgM成立，求满足上述条件的最大整数 M；(3)如果对任意的 st，都有 (fst成立，求实数 a的取值范围解：
12、（）当 a时， ()lnfxx， 2)ln1x， ()2f， (1)f，所以曲线 y在 1处的切线方程为 3y. 3 分（）存在 12,0,x，使得 2(g成立等价于： 2max()gM，考察 3， 2()3()3x，由上表 可知：minmax285()(),()(2)137gxg，1 min 7x，所以 满足条件的最大整数 4M. 7 分（）对任意的 ,2st，都有 ()fsgt成立等价于：在区间 ,上，函数 x的最小值不小于 ()gx的最大值，由（）知，在区间 1上， ()的最大值为 21.(1)fa，下证当 a时，在区间 1,上，函数 ()fx恒成立.当 且 ,2x时， ()lnlfxx
13、，记 ()lnh， 2 1h， ()0h当 1,2x， 1()l0xx；当 ,2x，()l0，所以函数 nhxx在区间 ,1)2上递减，在区间 (1,上递增，0, 2(,3 03递减 极（最）小值 8527递增8min()(1)hx，即 ()1hx，所以当 a且 ,2时， f成立，即对任意 ,st，都有 ()sgt. 12 分方法二：当 1,2x时， ln1afxx恒成立等价于 2lnax恒成立，记 ()lnh， ()12h， ()0h记 m， 3lm，由于 ,，()32l0xx, 所以 ()12lnxx在 12上递减，当 1,时， ()h， ,2时， ()0h，即函数 2()lnxx在区间 1)上递增，在区间 ,上递减，所以 ma，所以 a. 12 分7设函数 lf(1)讨论 的单调性；)(x(2)证明当 时， ；,1xln1(3)设 证明当 时， c),0(xec)(8已知函数 的图象在点 处的切线方程为 axbf )1(,f 1xy(1)用 表示 ；ab,(2)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围xfln)(,19设函数 曲线 在点 处的切线方程为 ,l1xbex)(xfy)1(,f 2)1(xey(1)求 ；ba,(2)证明： 1)(f
