1、第 0.5节 内积空间 0.5.1 内积空间 0.5.2 正交分解 0.5.3 Hilbert空间中的Fourier分析回顾-内积空间两向量之间的夹角？元素的度量元素间距离0.2节 -距离空间（距离公理）0.3节 -赋范线性空间（范数公理） 0.5.1 内积空间则称(, )xy为,x y的内积， U 为内积空间。 1）定义（内积和内积空间） 设 U 是数域 K（实或 复数域）上的线性空间， 若,xy U ，存在唯一的数 (, )xy K，满足下列三条（ 内积公理 ） ： 正定性：(,) 0xx，(,) 0x xx0 共轭对称性：(, ) (,)x yyx 对第一变元的线性性： ( ,) (,)
2、 (,),x y zxzy zzU 通常 U 指的是复内积空间 。 注： 当 U 为内积空间时，, ,x yz U K 有 K为实数域时，第二变元也是线性的当 K 为复数域时，称 U 为复内积空间；当 K 是实数域时，称 U 为实内积空间； (, ) (, ) (,)xy z xy xz (,) (,)x xxx第二变元的 共轭线性性 为实数 内积空间的例子：1(, )nniiiR x y x y2 , ( (), () () ()baLab f t g t f t g tdt2）内积的性质 内积满足 Cauchy-Schwarz 不等式： 1122| (, )| (,)(, )xy xx y
3、y, , ( , )0, 证： xyE Kxyxy 2(,) (, ) (,) | |(, ) 0 即 xx xy yx yy(, )(,) 取，设xyyyy 2|( , )|(,) 0(,)则xyxxyy2|( , )| ( , ) ( , ).x yxxyy2）内积的性质 内积满足 Cauchy-Schwarz 不等式： 1122| (, )| (,)(, )xy xx yy1(, )特别地： 中nniiiR x y x y1/2 1/22211 1 nn nii i iii ixy x y(,)在内积空间 中，若令 x xxU 内积可诱导范数 2(,)即 x xx可验证满足范数公理， 故
4、 是按内积导出的 。 赋范线性空间U内积诱导出的范数范进 数一步也可由 导出距离(, ) ( , ) x yxy xyxy距则也是 。离空间U（ Cauchy Schwarz 不等式） ：,xy U ，有 ,xy x y (,)xxx xRe( , ) ( , ) xy xy x y模 显然 验证(,)xxx满足范数的三条公理。 因为2(,)(,)(,)(,)(,)x yxyxyx xyxyyy222Re( , )xxyy xy x y2()x y2x xy y22222( )x yxy xy 证明： 22(,)(,) xy x y x y x y x y x y 内积导出的范数满足平行四边形
5、公式 22(, ) (,) (, ) (,) x x yyx y xxyyx y222( )x yyxyx+yx-y判别定理 若赋范线性空间 X 的范数满足平行四边形公式22222( )x yxy xy ，则由范数可诱导出内积使得 X 成为内积空间。 证： 1.当 X 为 实 赋范线性空间时，定义221(, ) ( )4x yxyxy则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理； 2. 当 X 为 复 赋范线性空间时，定义22 2 21(, ) ( ) ( )44ixy x y x y x iy x iy 则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理。 注： 若赋范线性空间 X 的范数不满足平行四
6、边形公式，则 X 不能成为内积空间。 虚数单位定理： 赋范线性空间成为内积空间范数满足平行四边形公式 内积的连续性 内积空间 U 中， 内积(, )x y是两个变元,xy的连续函数，即当,nnxxyy（按范数）时，数列(, ) (,)nnx yxy3）希尔伯特（ Hilbert）空间 利用Cauchy-Schwarz不等式求证定义 完备的内积空间 U 称为 Hilbert 空间，记作 H （即内积空间 U 按距离(, ) ( , )xy xy xyxy 是完备的，亦是 Banach 空间） 例 1 在nn 维（实或复数）向量空间中， 12 12(, , , ), (, , , )nnnxxx
7、xyyy y ， 定义 内积 1(, )niiix yxy（满足内积公理） 特别的， 在Rn中， 内积1(, )niiix yxy，范数21niixx。举例 则n按范数是完备的内积空间，即 Hilbert 空间。 范数 21(,)niix xx x， 若2,abL为复值函数，则定义内积 (, ) () ()bax yxtytdt（满足内积公理） 复数取共轭范数 122()baxxtdt， 例2 在2,abL中，2,(), ()abx tyt L， 定义内积 (, ) () ()baxy xt ytdt（满足内积公理）则2,abL按范数是 完备 的内积空间。 例3 在22121 (, , ),
8、| , iiilxxxx x x 为复数中， 212 12(, , ), (, , )xxx yyy l ，定义 内积 1(, )iiixy x y（满足内积公理） 则2l是 Hilbert 空间。 范数 1221()iixx ， 例 4 空间,abC中的范数,max ( )tabx xt不能从内积导出（因为不满足平行四边形公式） ， 也不能按该范数定义内积 x(t)x(t)+y(t)y(t)211x(t)-y(t)0 t0.5. 2 正交分解与投影定理 12 11, ,., , ,.,设矢量 ，nnA aa a B bb b解析几何中内积：11 2 2 nnA Babab abA BABco
9、s 0,为向量 和向量 的夹角（ ）AB 1 若 为单位向量，即 时， ，B BABAcos表示向量 在 方向的投影长度。 AB两向量内积为零， 那么就说这两个向量是正交的。两向量正交意味着它们是相互垂直的。记为 。 A BA BA(|1)BB内积空间中正交1) 定义 （正交性） 设 U 是内积空间，,xy U MN U （2） 若,(,)0 yN xy有， 称 x 与N正交， 记作xN；（3） 若,(,)0xMyN xy 有，称 M 与 N 正交， 记作 M N； （1） 若(, ) 0xy，称x与y正交，记作x y； （ 4） U 中与 M 正交的所有元素的全体 称为 M 的正交补，记作
10、M， （ 5） 设 M 为 U 的线性子空间， 即 ,M yy M y U。 01,xU x Mx M若，使得 01xx x （ *） 则称0x为 x 在 M 上的正交投影， （ *）式称为 x 关于 M 的正交分解。 2) 性质 （ 1） 设 U 是内积空间，,xy U x y 若，则 222xy x y称为“ 商高定理 ” ，即勾股定理。 （ 2） 设 U 是内积空间，M U ，则M为 U 的 闭线性子空间 。 （ 3） 设 U 是内积空间，,xUM U 为线性子空间，若 x0为 x 在 M 上的投影，则 0infyMxx xy （ *） 而且 x0是 M 中使（ *）成立的唯一点。 (说
11、明 x0是 M 中逼近 x 的最好元） 3）投影定理 设 M 是 Hilbert 空间中 闭 线性子空间，则xH，必存在唯一的01xMxM及，使得 01xx x 注 ：完备线性子空间一定是闭线性子空间，反之不成立；问： 当 U、 M 满足什么条件时，xU 在 M 中有投影？ 完备空间中：是闭线性子空间是完备线性子空间； 有限维赋范空间 (内积空间 )一定是完备并可分的空间。 问题： 如何求 U 中 x 在 M 中的投影 x0？ 推广 ：当 M 是内积空间 U 的完备线性子空间时，定理仍然成立。 情形 1 设 12, nM span e e e是有限维线性子空间 情形 2 设 12, nM sp
12、an e e e是无限维线性子空间 0.5.3 Hilbert空间中的 Fourier分析即通过正交性可得到的唯一分解表达式。 同样在内积空间 U 中，由正交性也可以将 U 中的元素表示为唯一分解的形式，这将十分有意义。 其中112 23 3(,), (, ), (, )xexexe （由正交性可得） ， 则对于3R ，有唯一分解 11 2 2 3 3x exexe ， 在 R3中，123(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)eee是三个相互正交的单位向量， 1正交系及规范正交系 注： 规范正交系12, , , , nee e中任一有限组12 ,knn nee e线性无关。 1）定
13、义 设在 U 空间中有一组非零的元素列（或点列）ne， 若(, ) 0( )ijee i j ，则称ne为 正交系 ； 若0,(, )1,ijijeeij，则称ne为 规范正交系 （ 或标准正交系 ） 。 例 1 在 Rn中，元素组 12(1,0,0), (0,1,0),ee (0,0, ,1)ne 为 Rn中的规范正交系。 例 2 在 l 2中，元素列12(1,0,0, ), (0,1,0, ),ee 按内积1(, )iiix y x y为规范正交系。 例 3 在2,L 中，若规定内积 (, ) ()()x y xty tdt， 则三角函数系11 1 1 1,cos,sin,cos,sin,2tt nt t 是2,L 中的规范正交系。 在20,2 L中，若规定内积 201(, ) ()()x y xty tdt则三角函数系1,cos,sin , ,cos ,sin ,2t t nt nt是20,2 L中的规范正交系。
