1、东城区 2017-2018 学年度第一学期期末教学统一检测高三数学（理科）本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 ）（1）若集合 ， 或 ，则2,10,3A|1Bx2xAB（A） （B）,3 ,3（C） （D）0 0（2） 函数 图象的两条相邻对称轴之间的距离是 sin(2)4yx（A） （B） （C） 2 （D） 4（3）执行如图所示的程序框图，输出的 x
2、值为（A）1（B）2（C） 3（D） 74（4）若 满足则 的最小值为,xy32,xy y（A） （B） （C） （D）5 21（5）已知函数 ，则 的41()2xf()fx（A）图象关于原点对称，且在 上是增函数 ,0（B）图象关于 y 轴对称，且在 上是增函数结束否是开始 x=1 输出 xb=x 12b2x=1 3x(x+ )（C）图象关于原点对称，在 上是减函数),0（D）图象关于 y 轴对称，且在 上是减函数（6）设 为非零向量，则 “ ”是“ ”的,aba+b-0ab=（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（7）某三棱锥的三视图如
3、图所示，则该三棱锥 的体积为（A） 16（B） 3（C） 12（D）（8）现有 个小球，甲乙两位同学轮流且不放回抓球，每次最少抓 1 个球，最多抓 3 个球，n规定谁抓到最后一个球谁赢. 如果甲先抓，那么以下推断正确的是（A）若 ，则甲有必赢的策略 （B）若 ，则乙有必赢的策略4 6n（C）若 ，则甲有必赢的策略 （D）若 ，则乙有必赢的策略9n 1第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（ 9 ）若复数 为纯虚数，则实数 (1+i)aa（10） 的展开式中， 的系数等于 52x2x（11）已知 n为等差数列， nS为其前 项和，若 16， ，
4、则46a_5S（12）在 极 坐 标 系 中 ， 若 点 在 圆 外 ， 则 的 取 值 范 围 为 (,)3Am02cosm（13）已知双 曲 线 ： 的 一 个 焦 点 到 它 的 一 条 渐 近 线 的 距 离 为 1， 则C21()yxb= ； 若 双 曲 线 与 不 同 ， 且 与 有 相 同 的 渐 近 线 ， 则 的 方 程 可 以b1C1C为 （ 写 出 一 个 答 案 即 可 ）（14）如图 1，分别以等边三角形 的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点AB正（主）视图 侧（左）视图俯视图1间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形 称为勒洛三角形 ，等边三角形的中心ABCABC
5、称为勒洛三角形的中心. 如图 2，勒洛三角形 夹在直线 和直线 之间，P 0y2y且沿 轴滚动. 设其中心 的轨迹方程为 ，则 的最小正周期为 x(,)Pxy()fx()f； 的图象与性质有以下描述：()yf中心对称图形； 轴对称图形；一条直线； 最大值与最小值的和为 .2其中正确结论的序号为_.（注：请写出所有正确结论的序号）图 1 图 2三、解答题（共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 ）（15） （本小题 13 分）在 中，角 所对的边分别为 , ， ABC , abc2siniAC() 求 的长；c() 若 为钝角， , 求 的面积1os24ABC（16
6、） （本小题 13 分）中国特色社会主义进入新时代，我国经济已由高速增长阶段转向高质量发展阶段. 货币政策是宏观经济调控的重要手段之一，对我国经济平稳运行、高质量发展发挥着越来越重要的作用. 某数学课外活动小组为了研究人民币对某国货币的汇率与我国经济发展的关系，统计了 2017 年下半年某周五个工作日人民币对该国货币汇率的开盘价和收盘价，如下表：周一 周二 周三 周四 周五开盘价 164 165 170 172 a收盘价 164 164 169 173 170（）已知这 5 天开盘价的中位数与收盘价的中位数相同，求 a 的值；（） 在（）的条件下，从这 5 天中随机选取 3 天，其中开盘价比当
7、日收盘价低的天数记为 ，求 的分布列及数学期望 ；E（III）在下一周的第一个工作日，收盘价为何值时，这 6 天收盘价的方差最小.（只需写出结论）（17） （本小题 14 分）如图，在四棱锥 中，平面 平面 , 分别EABCDEABCDOM为线段 的中点四边形 是边长为 1 的正方形，,， . A（）求证： /平面 ；MABE（）求直线 与平面 所成角的正弦值；D（III）点 在直线 上，若平面 平面 ，求线段 AN 的长.NMNABE（18） （本小题 13 分）已知函数 .xxfln216)(3（）求曲线 在点（ 1， ）处的切线方程；fy)(f（）若 对 恒成立，求 的最小值.()fxa
8、(,ea（19） （本小题 14 分）已知椭圆 的离心率等于 ，经过其左焦点 且与 轴21(0)xyCab： 2(1,0)Fx不重合的直线 与椭圆 交于 两点l,MN() 求椭圆 的方程；() 为原点，在 轴上是否存在定点 ，使得点 到直线 ， 的距离总相OxQFQMN等？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由Q（20） （本小题 13 分）已知数列 满足 且 ，数列12:,()nAa *iaN1(,2)i n满足 ，其中 ， 表示12:,nBb (,2)iibn 10a(2,3)in中与 不等的项的个数.1i i（I）数列 ： 1，1，2，3，4，请直接写出相应的数列 ；AB（II）证明
9、： ；(1,2)iban（III）若数列 相邻两项均不等， 与 为同一个数列，证明： .ABA(1,2)ian东城区 2017-2018 学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1）A （2）C （3）D （4）B（5）B （6）C （7）A （8）C 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9） （10） 0（11） （12） 20(1,)（13）1， 等 （14） ， 2xy23三、解答题（共 6 小题，共 80 分）（15） （共 13 分）解:（）因为 ， ，由正弦定理 ，得 2asin
10、iACsiniacAC4（）由 ，得 .1co4C23co8因为 ，得 026cs所以 . 210sin1()4C方法一：因为 ，所以2siiA36sin,cos.88A所以 ini()i()scosn106310845.BC所以 1sin52ABCSac方法二：由余弦定理 ，得 ，22coscabC2610b解得 或 （舍） 6b所以 1sin152ABCS（16） （共 13 分）解：（I）由于收盘价的中位数为 169，且开盘价的中位数与收盘价的中位数相同，所以a=169. （II）由于只有周四和周五的开盘价比其收盘价低，所以 的所有可能取值为 0,1,2.， ， .351(0)CP213
11、5()CP1235()0CP所以 的分布列为0 1 2P350故 的数学期望 . 36125E（III）168. （17） （共 14 分）证明：（）取线段 中点 .连接 、 .AEPBMP因为点 为 中点，所以 ， .MD/AD12又因为 为正方形，所以 ， ，所以BCOC=， ./P所以四边形 为平行四边形，所以 ./MBP因为 平面 ， 平面 ，AEBPAE所以 平面 . /CM（）连接 .O因为 ， 为 中点，所以 DOD因为 平面 ，平面 平面 ，EAEABC平面 平面 所以 BC,又因为正方形 ，所以 . BCDOBD如图所示，建立空间直角坐标系 .xyz， ， ， ， ， .0,
12、1A,01,0,10,1E1,2M设平面 的法向量为 ，E,mxyz， ，则有,B,即0.Am0.xyz令 ，则 ，即平面 的一个法向量为 .1y1ABE1,m， .0,DE 26cos, 3D所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . ABE（）设 ，所以 ，所以 ， .ON0,N1,0NB1,2MB设平面 的法向量为 ，则有M,nuvw即0,.Bn10.2u令 ，则 . 1v,因为 ，则 .0CNn,1uw即平面 的一个法向量为 .BM,2n因为平面 平面 ，所以 .ABE0m解得 ，所以 . 2353（18） （本题满分共 13 分）解：（） 的定义域为 .()fx(0,)由已知得 ，且 .
13、21ln2x32(f所以 .0)1(f所以曲线 在点（1， ）处的切线方程为 . xfy)(fy（）设 ， （ ）()gxe则 . 21()xgx令 得 .0当 变化时， 符号变化如下表：x()gx1(,)e1 (1,)e()x0 g极小则 ，即 ，当且仅当 时， .()10gx()0fx1x()fx所以 在 上单调递增.f,)e又 ，26)(3所以 的最小值为为 . a31e（19） （本题满分共 14 分）解：（I）由题意得 解得21,.ab2,1.a故椭圆 的方程为 . C2xy（II）当直线 斜率存在时，设直线 的方程为 .MNMN(1)0ykx由 消去 得 .2(1),ykxy222
14、()4()kx易得 .设 ，012(,)(,)xN则21224.kx，设 .由点 在 轴异侧，则问题等价于 “ 平分 ”，且(,0)Qt,MNxQFMN，又等价于“ ”，即 .12,xt120QMNykxtt1221()()0yxtt将 代入上式，整理得 .12(),(1)ykyx122xt将代入上式，整理得 ，即 ，0tt所以 .(0)Q，当直线 的斜率不存在时，存在 也使得点 到直线 ， 的距离相等.MN(2)Q， FQMN故在 轴上存在定点 ，使得点 到直线 ， 的距离总相等. x(20)，（20） （共 13 分）解：（I）1，1，3，4，5. （II） 时，由 知 ，由题意知 ，结论
15、成立；i1a111ba时，设 ，若 ，则 ；2()ikikii若 ，则由 知 均不与 相等.121,kaa 121,k ia于是 ， .()ik()iiib综上， . ,i n（III）当 时，由 知 ，结论成立；11a1当 时，假设 中存在一项和 相等，设为 .2i2,i iaka在数列 中，由 ， 可知，第 项之前与 不相等的11,kia 1iiiiia项比第 项之前与 不相等的项至少多了一项 ，则 .i()ik于是 ，可得 ，与 矛盾.()()iikkbabikabi于是 均不与 相等，则 .121,ia i ()1ii综上，若数列 相邻两项均不相等，且 与 为同一个数列，ABA则 .(,)i n
