1、北京市西城区2017 2018学年度第一学期期末试卷 高三数学（理科） 2018.1第卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1若集合，则（A）（B）（C）（D）2下列函数中，在区间上单调递增的是（A）（B）（C）（D）3执行如图所示的程序框图，输出的值为（A）（B）（C）（D）4已知为曲线：（为参数）上的动点设为原点，则的最大值是（A）（B）（C）（D）5实数满足 则的取值范围是（A）（B）（C）（D）6设是非零向量，且不共线则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充
2、分也不必要条件7已知，是函数的图象上的相异两点若点，到直线的距离相等，则点，的横坐标之和的取值范围是（A）（B）（C）（D）8在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作）的乘积等于常数已知pH值的定义为，健康人体血液的pH值保持在7.357.45之间，那么健康人体血液中的可以为（参考数据：，）（A）（B）（C）（D）第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9在复平面内，复数对应的点的坐标为_10数列是公比为的等比数列，其前项和为若，则_；_11在中，的面积为，则 _ 12把
3、件不同的产品摆成一排若其中的产品与产品都摆在产品的左侧，则不同的摆法有_种（用数字作答） 13从一个长方体中截取部分几何体，得到一个以原长方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图所示该几何体的表面积是_ 14已知函数 若，则的值域是_；若的值域是，则实数的取值范围是_ 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）已知函数（）求的最小正周期；（）求在区间上的最大值16（本小题满分13分）已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表日期升旗时刻日期升旗时刻日期升旗时刻日期升旗时刻1月1日7
4、:364月9日5:467月9日4:5310月8日6:171月21日7:314月28日5:197月27日5:0710月26日6:362月10日7:145月16日4:598月14日5:2411月13日6:563月2日6:476月3日4:479月2日5:4212月1日7:163月22日6:156月22日4:469月20日5:5912月20日7:31表2：某年2月部分日期的天安门广场升旗时刻表日期升旗时刻日期升旗时刻日期升旗时刻2月1日7:232月11日7:132月21日6:592月3日7:222月13日7:112月23日6:572月5日7:202月15日7:082月25日6:552月7日7:172月
5、17日7:052月27日6:522月9日7:152月19日7:022月28日6:49（）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7:00的概率；（）甲，乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立记为这两人中观看升旗的时刻早于7:00的人数，求的分布列和数学期望（）将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7:31化为）记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为，判断与的大小（只需写出结论）17（本小题满分14分）如图，三棱柱中，平面，.过的平面交于点，交于点.（）求证：平面；（）求证：四边形为平行四边形；（）若，
6、求二面角的大小.18（本小题满分13分）已知函数，其中（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）证明：在区间上恰有个零点 19（本小题满分14分）已知椭圆过点，且离心率为（）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆交于两点若直线上存在点，使得四边形是平行四边形，求的值20（本小题满分13分）数列：满足：，或对任意，都存在，使得，其中且两两不相等（）若，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号； ； ； （）记若，证明：；（）若，求的最小值北京市西城区2017 2018学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准 2018.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1A 2D 3C 4
7、D 5D 6C 7B 8C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9 10， 1112 13 14；注：第10，14题第一空2分，第二空3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15（本小题满分13分）解：（）因为 4分 5分 ， 7分所以的最小正周期 8分（）因为 ，所以 10分当 ，即时， 11分取得最大值为 13分 16（本小题满分13分）解：（）记事件A为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”， 1分在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7:00，所以 3分（）X可能的取值为 4分 记事件B为“
8、从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，则 ， 5分 ； ； 8分所以 X 的分布列为：X012P 10分注：学生得到X ，所以，同样给分（） 13分17（本小题满分14分）解：（）因为 平面，所以 1分因为 三棱柱中，所以 四边形为菱形，所以 3分 所以 平面 4分 （）因为 ，平面，所以 平面 5分 因为 平面平面，所以 6分 因为 平面平面，平面平面，平面平面， 所以 7分 所以 四边形为平行四边形 8分（）在平面内，过作因为 平面， 如图建立空间直角坐标系 9分由题意得，因为 ，所以 ， 所以 由（）得平面的法向量为 设平面的法向量为， 则 即 令，则，所以 11分
9、所以 13分由图知 二面角的平面角是锐角，所以 二面角的大小为 14分18（本小题满分13分）解：（）当时，所以 2分 因为 ， 4分所以曲线在点处的切线方程为 5分 （） 6分由 ，得 7分因为 ，所以 8分当 时， 由 ， 得 所以 存在唯一的， 使得 9分与在区间上的情况如下：极大值所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减 11分因为 ， 12分且 ，所以 在区间上恰有2个零点 13分19（本小题满分14分）解：（）由题意得 ， 所以 2分因为 ， 3分 所以 ， 4分所以 椭圆的方程为 5分（）若四边形是平行四边形，则 ，且 . 6分 所以 直线的方程为，所以 ， 7分设，由 得， 8
10、分由，得 且， 9分所以 10分因为 ， 所以 整理得 ， 12分解得 ，或 13分经检验均符合，但时不满足是平行四边形，舍去所以 ，或 14分20（本小题满分13分）解：（） 3分 注：只得到 或只得到 给 1分，有错解不给分（）当时，设数列中出现频数依次为，由题意 假设，则有（对任意），与已知矛盾，所以 同理可证： 5分 假设，则存在唯一的，使得那么，对，有 （两两不相等），与已知矛盾，所以 7分 综上：， 所以 8分（）设出现频数依次为同（）的证明，可得，则 取， ，得到的数列为： 10分下面证明满足题目要求对，不妨令， 如果或，由于，所以符合条件； 如果或，由于， 所以也成立； 如果，则可选取；同样的，如果， 则可选取，使得，且两两不相等； 如果，则可选取，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立综上，对任意，总存在，使得，其中且两两不相等因此满足题目要求，所以的最小值为 13分
