1、25.（10 分）已知四边形 ABCD 是菱形，AB=4 ，ABC=60，EAF 的两边分别与射线 CB、DC 相交于点E、 F，且 EAF=60 .（1）如图 12-1，当点 E 是线段 CB 的中点时，直接写出线段 AE，EF，AF 之间的数量关系；（2）如图 12-2，当点 E 是线段 CB 上任意一点时（点 E 不与 B、C 重合） ，求证：BE=CF；（3）如图 12-3，当点 E 在线段 CB 的延长线上，且EAB=15时，求点 F 到 BC 的距离。(2016济宁 )如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，延长 CB 至点 F，使 CFCA，连接 AF，ACF
2、 的平分线分别交 AF，AB，BD 于点 E，N ，M，连接EO.(1)EO ，求正方形 ABCD 的边长；2(2)猜想线段 EM 与 CN 的数量关系并加以证明(2016玉林 )如图 1，菱形 ABCD 对角线 AC，BD 的交点 O 是四边形 EFGH 对角线 FH的中点，四个顶点 A，B，C，D 分别在四边形 EFGH 的边 EF，FG，GH，HE 上(1)求证：四边形 EFGH 是平行四边形；(2)如图 2， 若四边形 EFGH 是矩形，当 AC 与 FH 重合时，已知 2，且菱形 ABCD 的面积是 20，求矩形 EFGH 的长与宽ACBD9 如 图 ， 四 边 形 ABCD 是 菱
3、 形 ， AC=8， DB=6， DHAB 于 H， 则 DH 等 于 （ ）A B C 5 D 417 如 图 ， 在 ABC 中 ， C=90， AC=BC= ， 将 ABC 绕 点 A 顺 时 针 方 向 旋 转 60到 ABC的位 置 ， 连 接 CB， 则 CB= 1 【 考 点 】 旋 转 的 性 质 【 分 析 】 连 接 BB， 根 据 旋 转 的 性 质 可 得 AB=AB， 判 断 出 ABB是 等 边 三 角 形 ， 根 据 等 边 三 角 形的 三 条 边 都 相 等 可 得 AB=BB， 然 后 利 用 “边 边 边 ”证 明 ABC和 BBC全 等 ， 根 据 全
4、等 三 角 形 对 应角 相 等 可 得 ABC=BBC， 延 长 BC交 AB于 D， 根 据 等 边 三 角 形 的 性 质 可 得 BDAB， 利 用 勾股 定 理 列 式 求 出 AB， 然 后 根 据 等 边 三 角 形 的 性 质 和 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 求 出 BD、 CD， 然 后根 据 BC=BDCD 计 算 即 可 得 解 【 解 答 】 解 ： 如 图 ， 连 接 BB，ABC 绕 点 A 顺 时 针 方 向 旋 转 60得 到 ABC，AB=AB， BAB=60，ABB是 等 边 三 角 形 ，AB=BB，在 ABC和 BBC中 ，ABCBBC（ S
5、SS） ，ABC=BBC，延 长 BC交 AB于 D，则 BDAB，C=90， AC=BC= ，AB= =2，BD=2 = ，CD= 2=1，BC=BDCD= 1故 答 案 为 ： 1【 点 评 】 本 题 考 查 了 旋 转 的 性 质 ， 全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质 ， 等 边 三 角 形 的 判 定 与 性 质 ， 等 腰 直 角 三 角形 的 性 质 ， 作 辅 助 线 构 造 出 全 等 三 角 形 并 求 出 BC在 等 边 三 角 形 的 高 上 是 解 题 的 关 键 ， 也 是 本 题 的难 点 24 如 图 ， 把 EFP 放 置 在 菱 形 ABCD 中
6、， 使 得 顶 点 E， F， P 分 别 在 线 段 AB， AD， AC 上 ， 已知 EP=FP=6， EF=6 ， BAD=60， 且 AB 6 （ 1） 求 EPF 的 大 小 ；（ 2） 若 AP=10， 求 AE+AF 的 值 ；（ 3） 若 EFP 的 三 个 顶 点 E、 F、 P 分 别 在 线 段 AB、 AD、 AC 上 运 动 ， 请 直 接 写 出 AP 长 的 最 大值 和 最 小 值 【 考 点 】 菱 形 的 性 质 ； 几 何 问 题 的 最 值 【 分 析 】 （ 1） 根 据 锐 角 三 角 函 数 求 出 FPG， 最 后 求 出 EPF（ 2） 先
7、判 断 出 RtPMERtPNF， 再 根 据 锐 角 三 角 函 数 求 解 即 可 ，（ 3） 根 据 运 动 情 况 及 菱 形 的 性 质 判 断 求 出 AP 最 大 和 最 小 值 【 解 答 】 解 ： （ 1） 过 点 P 作 PGEF 于 点 G， 如 图 1 所 示 PE=PF=6， EF=6 ，FG=EG=3 ， FPG=EPG= EPF在 RtFPG 中 ， sinFPG= = = ，FPG=60，EPF=120（ 2） 过 点 P 作 PMAB 于 点 M， 作 PNAD 于 点 N， 如 图 2 所 示 AC 为 菱 形 ABCD 的 对 角 线 ，DAC=BAC，
8、 AM=AN， PM=PN在 RtPME 和 RtPNF 中 ， PM=PN， PE=PF，RtPMERtPNF，ME=NF又 AP=10， PAM= DAB=30，AM=AN=APcos30=10 =5 ，AE+AF=（ AM+ME） +（ ANNF） =AM+AN=10 （ 3） 如 图 ，当 EFP 的 三 个 顶 点 分 别 在 AB， AD， AC 上 运 动 ， 点 P 在 P1， P 之 间 运 动 ，P1O=PO=3， AO=9，AP 的 最 大 值 为 12， AP 的 最 小 值 为 6，【 点 评 】 此 题 是 菱 形 的 性 质 题 ， 主 要 考 查 了 菱 形 的
9、 性 质 ， 锐 角 三 角 函 数 ， 特 殊 角 的 三 角 函 数 ， 解 本 题 的关 键 是 作 出 辅 助 线 (2015柳州 T2410 分)如图 ，在四边形 ABCD 中，ADBC，B 90，AB8 cm，AD12 cm，BC 18 cm，点 P 从点 A 出发以 2 cm/s 的速度沿 AD C 运动 ，点 P 从点 A 出发的同时点 Q 从点 C 出发，以 1 cm/s 的速度向点 B 运动，当点 P 到达点 C 时，点 Q 也停止运动设点 P，Q 运动的时间为 t 秒(1)从运动开始，当 t 取何值时，PQCD?(2)从运动开始，当 t 取何值时，PQC 为直角三角形？【
10、思路点拨】 (1)已知 ADBC，添加 PDCQ，即可判断以 P，Q ，D，C 为顶点的四边形是平行四边形；(2) 点P 处可能为直角，点 Q 处也可能是直角，故需要分类讨论求解解：(1)当 PQCD 时，四边形 PDCQ 是平行四边形，此时 PDQC，2 分122tt.解得 t4.当 t4 时，PQ CD.4 分(2)过 D 点作 DFBC 于 F.DFAB8，FCBCAD18126，由勾股定理得 CD10.当 PQBC 时，则 BQCQ18，即 2tt18，解得 t6；6 分当 QPPC 时，此时 P 一定在 DC 上，CP110 122t222t，CQ 1t ，易知CDF CQ1P1.
11、.解得 t ；8 分22 2t6 t10 11013当 PCBC 时，DCB90 ，此种情形不存在综上所述，当 t6 或 时， PQC 是直角三角形.10 分11013(2014柳州)如图，正方形 ABCD 的边长为 1，AB 边上有一动点 P，连接 PD，线段 PD 绕点 P 顺时针旋转 90后，得到线段 PE，且 PE 交 BC 于 F，连接 DF，过点 E 作 EQAB 的延长线于点 Q.(1)求线段 PQ 的长；(2)问：点 P 在何处时，PFD BFP，并说明理由解：(1)根据题意，得PDPE ，DPE90，APD QPE90.四边形 ABCD 是正方形，A90.ADP APD90.
12、ADP QPE.EQAB，AQ90.在ADP 和 QPE 中， A Q， ADP QPE，PD EP， )ADP QPE(AAS) PQAD1.(2)当 P 点为 AB 的中点时，PFDBFP.理由：ADPBPF ，AFBP，DAP PBF. .PDPF APBFP 点为 AB 的中点 ，PA AB PB.12 ，即 .PBBF PDPF PBPD BFPF又PBFDPF，PFDBFP.2(2017海南)如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，点 E 在 AD 边上运动，且不与点 A 和点 D 重合，连接CE，过点 C 作 CFCE 交 AB 的延长线于点 F，EF 交 BC 于点 G
13、.(1)求证：CDECBF；(2)当 DE 时 ，求 CG 的长；12(3)连接 AG，在点 E 运动过程中，四边形 CEAG 能否为平行四边形？若能，求出此时 DE 的长；若不能，说明理由解：(1)证明：在正方形 ABCD 中，DC BC ，DABCDCB90，CBF180ABC 90，DCEECB DCB90.CF CE， ECF90.BCFECBECF90.DCEBCF.在CDE 和CBF 中， D CBF 90，DC BC， DCE BCF， )CDECBF(ASA)(2)在正方形 ABCD 中，ADBC，GBF EAF. .BGAE BFAF由(1)知CDECBF，BF DE .12
14、正方形的边长为 1，AFAB BF ，AEADDE .32 12 .BG .BG121232 16CGBCBG .56(3)不能理由：若四边形 CEAG 是平行四边形，则必须满足 AECG，AECG，ADAE BCCG.DE BG.由(1)知CDECBF，DEBF ，CECF.GBF 和 ECF 是等腰直角三角形GFB 45 ，CFE45.CFA GFBCFE 90.此时点 F 与点 B 重合，点 D 与点 E 重合，与题目条件不符，点 E 在运动过程中，四边形 CEAG 不能是平行四边形4(2017贵港)已知在 RtABC 中，ACB90，AC4，BC2，D 是 AC 边上的一个动点，将AB
15、D 沿 BD所在直线折叠，使点 A 落在点 P 处(1)如图 1，若点 D 是 AC 中点，连接 PC.写出 BP，BD 的长；求证：四边形 BCPD 是平行四边形；(2)如图 2，若 BDAD，过点 P 作 PHBC 交 BC 的延长线于点 H，求 PH 的长解：(1)BP2 ，BD 2 .5 2证明：延长 BD 至 E，D 是 AC 边的中点，AC4，BC 2，DCADBC.又ACB90，BDC 是等腰直角三角形，BDCADE45.由折叠(轴对称)性质可知，EDPADE45，PDAD2，PDA 90 .PDBC，且 PDBC2.四边形 BCPD 是平行四边形(2)连接 AP 并延长与 BC 的延长线交于点 F，延长 BD 与 AP 交于点 E，由折叠(轴对称)性质可知，PDAD，PDEADE ， BEAP，PEAE.BDAD，在 RtBDC 中，由勾股定理，得BD2(4BD) 22 2，BD .52ADBD，ADEBDC，RtPDERtADERt BDC.PA2BC4，FAC DBC.RtFACRtDBC. .FAAC BDBCFA5，则 PF1.PHBC，PHAC.RtFPHRtFAC. .PHPF ACFAPH .45
