1、,二面角的求法,1、掌握二面角的定义法； 2、掌握二面角的三垂线法； 3、掌握二面角的垂面法; 4、掌握二面角的射影面积法;,学习目标:,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.,二面角的定义:,复 习:,2、二面角的表示方法,二面角AB ,二面角 l ,二面角CAB D,二面角CAB E,1、定义,二面角的平面角:,二面角的平面角必须满足：,二面角的平面角的范围: 0180,二面角的大小用它的平面角的大小来度量,以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。,注意:
2、,(与顶点位置无关),APB= A1P1B1,例1、 如上图，长方体AC1中，AB=3，BC=1，CC1= 3，,求平面A1BC与平面ABCD平面C1AB与平面ABCD所成二面角的大小 ？,解,ABBC，A1BBC,连接A1B、D1C，,A1BA就是二面角A1-BC-A的平面角，,又在RtA1AB中tan A1BA=A1A/AB=, A1BA=30。,二面角A1-BC-A为30。,连接C1B、D1A，,BCAB， BC1 AB,C1BC就是二面角C1AB-C的平面角，,又在RtA1AB中tan C1BC=C1C/BC=, C1BC =60。,二面角A1-BC-A为60。,一、几何法：,1、定义
3、法:,以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a 的两条射线OA,OB，则AOB就是此二面角的平面角。,2、射影面积法:,如图所示， AD平面M， 设AHD= 是二面角A-BC-D的平面角， 由cos =AD/AH可得，ABC与它在过其底边BC的平面M上的射影DBC以及两者所成的二面角之间的关系：,A,B,C,D,H,M,练习1、已知在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点 （1）求证：AF平面PEC； （2）求PC与平面ABCD所成角的大小； （3）求二面角P一EC一D的大小,练习2,【解】 法一：(
4、1)如图，取CD中点O，连接OB，OM， 则OBCD，OMCD. 又平面MCD平面BCD，则MO平面BCD.2分 所以MOAB，A、B、O、M四点共面延长AM，BO相交于E, 则AEB就是AM与平面BCD所成的角.4分,(2)CE是平面ACM与平面BCD的交线 由(1)知，O是BE的中点，则四边形BCED是菱形 作BFEC于F，连接AF，则AFEC，AFB就是二面角AECB的平面角，设为.8分,例2、已知二面角 l ，A为面内一点，A到 的 距离为 2 ，到 l 的距离为 4。求二面角 l 的大小。,A .,D,O,作业、 如图，PAB是边长为2的正三角形,AD平面PAB,BCAD,ADBC
5、.又点N为线段AB的中点，点M在线段AD上，且MNPC. (1)求线段AM的长； (2)求二面角PMCN的大小.,练习2、如图，在四面体ABCD中，平面ABC平面ACD，ABBC，AC=AD=2,BC=CD=1. ()求四面体ABCD的体积; ()求二面角 C-AB-D 的平面角的正切值.,解法一：（I）如答（20）图1，过D作DFAC垂足为F， 故由平面ABC平面ACD，知DF平面ABC，即DF 是四面体ABCD的面ABC上的高，设G为边CD的中点， 则由AC=AD，知AGCD，从而,故四面体ABCD的体积,例3如图P为二面角内一点，PA,PB,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度
6、数。,过PA、PB的平面PAB与棱 交于O点,PA PA,PB PB,平面PAB,AOB为二面角的平面角,又PA=5，PB=8，AB=7,由余弦定理得,P= 60 AOB=120,这二面角的度数为120,解：,O,一、几何法：,1、定义法:,以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a 的两条射线OA,OB，则AOB就是此二面角的平面角。,在一个平面 内选一点A向另一平面 作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足 为O，连结AO，则AOB就是二面角的平面角。,3、垂面法:,过二面角内一点A作AB 于B，作AC 于C，面ABC交棱a于点O，则BOC就是二面角的平面角。,
7、2、三垂线法:,4、射影面积法:,如图所示， AD平面M， 设AHD= 是二面角A-BC-D的平面角， 由cos =AD/AH可得，ABC与它在过其底边BC的平面M上的射影DBC以及两者所成的二面角之间的关系：,A,B,C,D,H,M,几点说明：,定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法。,三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法。,垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选择，所以此法一般不用。,以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。,射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式,这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。,再见,
