1、1华中师范大学 2010-2011 学年第一学期_ 专业 _ 级 概率统计 期末试卷（A）考试形式：（ 闭卷 ） 考试时间-监考老师：-一、填空题（共 20 分，每小题 2 分）1设 独立，则 0.28 . ,7.0)(,6.)(BPAA)(ABP2一袋中装有 5只球，编号为 1，2，3，4，5. 在袋中同时取 3只，最大号码为 4的概率是 0.3 . 3设随机变量 服从泊松分布，且 ， X)2()(XP则 .)(P23e4. 设随机变量服从 ，则 _-0.4 1.07.3P)(E, 1.44 .)(XD5. 若 ，则 = )9,3(N6|X13(用标准正态分布函数表示).6.设随机变量 的密
2、度函数为 , 则0)(21xkexf0.5 ,k0 . )2(XP7.设随机变量 的数学期望 ，方差 ，则由切EX2D比雪夫不等式有 _ _ . )5(48. 设 是 次独立试验中事件 发生的次数， 为 在每次试AnApA验中发生的概率，则对任意的 ，有00 . pnPAnlim9若总体 ， 是来自 的样本，令),0(2NX621,X统计量 ，则当 25431 )(Yc时， 服从 分布，自由度为 2 .32c10. 设总体 的均值 已知，方差 未知.2为来自 的一个样本, nXX,21为 的无偏估计，则 = _ _ . niiC22)(Cn1二、选择题（共 10 分，每小题 2 分） 1、设随
3、机变量 在 上服从均匀分布，则 （ X4,243XPB ）A. B. 5P 252C. D. 43X4XP2、设相互独立的随机变量 具有同一分布，且 的分布律为Y,（ A ）21PX令 ，则 （ ）.YZ,maxZA. B. C. D.4123113、如果 和 满足 ，则必有（ B XYXD）A. 与 独立 B. 与 不相关YC. D.0D0YX4、设 1,2,2,3,4 为来自均匀分布总体 的样本值，则未知参),(U数的最大似然估计为（C）A. 1.2 B. -1 C. 4 D. 2.45、设总体 ， 均未知,现从中抽取容量为 的),(2X2 n样本， 分别为样本均值和样本方差，则 的置信水
4、平为2,S的置信区间为（ A ）1A. B.)1(),1( 2/2/ ntSnt,2/2/ zXzSX 班级： 姓名： 学号： .OOOO装O订O线OOO2C. D.)1(),1( 2/2/ ntXntX,2/2/ zz三、计算及证明（共 60 分，每小题 10 分）1、设某地区应届初中毕业生有 70%报考普通高中，20%报考中专，10%报考职业高中，录取率分别为 90%，75%，85%，试求：（1） 随机调查学生，他如愿以偿的概率；（2） 若某位学生按志愿被录取了，那么他报考普通高中的概率是多少？解： 表示该学生被录取， 表示该生报考普通高中，A1B表示该生报考中专， 表示该生报考职业高中.
5、2B3(1) 865.031i iiAP（5 分）(2) 723.11BB（5 分）2、证明题：若随机变量 ，则 .2,NXXZ1,0N解法一： 的分布函数为ZdtexXPxPx xt 221（5 分）令 ，得uxduexZPx21所以 . X,0N（5 分）解法二：令 ，则xg在 上严格单调递增,其反函数为 ， ，zh zh（4 分）,z的密度函数为XZ21zXZ ezhfzf 所以 . Z,0N（6 分）3、已知随机变量 的联合分布律为YX,Y-1 0 1-1 8180 0 11 818试求：（1） ， ，XDYX,cov（2）问 是否相关，是否独立。,解：(1) 与 的边缘分布律分别为8
6、3210PX83210PYYEXYE8622XYD（3 分）0,covYEXX（3 分）（2） ，从而0,cYXY所以 与 不相关. X又 ，故二者不11,PP独立。 （4 分）4、已知 的联合密度函数为YX,，其 它0, yxAeyxfy求： 常数 ； ； 边缘密度函数 ,2PxfX.fY解、 由 dxyf, 10xydAe3得到 1A（3 分） 2YXP102xyde102dxex1e（3 分） 显然，当 时， ，0x0xfX当 时，dy,xyexe即 xfX0xe（2 分）同理，可得 yfY021ye（2 分）5、规定某种药液每瓶容量的为 毫升，实际灌装时其量总有一定的波动。假定灌装量的
7、方差 1，每箱装 36 瓶，试求2一箱中各瓶的平均灌装量与规定值 相差不超过 0.3 毫升的概率？（结果请用标准正态分布函数表示）解：记一箱中 36瓶药液的灌装量为 ，它们是来3621,X自均值为 ，方差 1 的总体的样本。本题要求的是事件2| |0.3的概率。根据定理的结果，P nnnPP 3.03.0.3.0.）（）（ nn（6 分）=2 13.02）（ n18.）（4 分）6、设总体 的密度函数为Xelswhrxxf,01,1其中 ， 为未知参数. 为总体的一个样本，nX,21为一相应的样本值,求未知参数 的矩估计量和最大nx,21 似然估计量.解：矩估计：.11 01dx由此得 .21
8、令 ，得 的矩估计量为 . XA121X（5 分）最大似然估计：设 是一个样本值. 似然函数为nx,2111211niii xLnii1lln2l令 0ll1niixLd得 的最大似然估计值为 21lniix得 的最大似然估计量为 21lniiX（5 分） 四、应用题（共 10 分，每小题 10 分）某厂用自动包装机装箱，额定标准为每箱重 100kg，设每箱质量服从正态分布， ，某日开工后，随机抽取 10 箱，15.称得质量(kg)为5.10,9.,8.,.10,2.,7.98,6.,0.,98,现取显著水平 ，试检验下面假设5.， 1:0H:1是否成立.（附: ,96.,645.02.05.Z)(831)9( tt ,8125.)0(5.t)025.解：检验假设 ， 0:0H:1检验统计量 ,NnXZ（3 分）4显著性水平 ，查表可得 05.96.12z拒绝域为 96.12z（3 分）经计算得样本均值是 27.0x检验统计量的值为 4.1nXz（2 分）所以，在显著性水平 下，接受原假设，表明这天包装机05.正常工作。 （2 分）
