1、 WORD 格式整理 专业知识分享 数值计算方法试题一一、 填空题（每空 1 分，共 17 分）1、如果用二分法求方程 043x在区间 2,1内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。2、迭代格式 )2(1kkx局部收敛的充分条件是 取值在（ ） 。3、已知 31)()1()(20)(23 xcxbaxS是三次样条函数，则a=( )， b=（ ） ， =（ ） 。4、 )(,(,10xllxn 是以整数点 nx,10 为节点的 Lagrange 插值基函数，则nkl0)( )， kkjl0)( )，当 2时 )(3(204xlkk( )。5、设 1326247xxf 和节点 ,1,/xk 则,10
2、nx和 7f 。6、5 个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5 个节点的求积公式最高代数精度为 。7、 0)(kx是区间 1,上权函数 x)(的最高项系数为 1 的正交多项式族，其中 )(x，则 104dx。8、给定方程组 21ba， a为实数，当 a满足 ，且 20时，SOR 迭代法收敛。9、解初值问题 0(,)yfx的改进欧拉法 ),(),(201101nnn yxfyxfhy是 阶方法。10、设 10aA，当 （ ）时，必有分解式 TLA，其中 L为下三角阵，当其对角线元素 )3,21(il满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。WORD 格式整理 专业知识分享 二、 二、选择题（每
3、题 2 分）1、解方程组 bAx的简单迭代格式 gBxkk)()1(收敛的充要条件是（ ） 。（1） 1)(, (2) )(B, (3) A, (4) 1)(B2、在牛顿-柯特斯求积公式： baniiixfCadxf0)()中，当系数)(niC是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1） 8， （2） 7n， （3） 1n， （4） 6n，3、有下列数表x 0 0.5 1 1.5 2 2.5f(x) -2 -1.75 -1 0.25 2 4.25所确定的插值多项式的次数是（ ） 。（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次4、若用二阶
4、中点公式 ),(,2(1 nnnn yxfhyxhfy求解初值问题1)0(,2y，试问为保证该公式绝对稳定，步长 的取值范围为（ ） 。(1) h, (2) 2h, (3) 0, (4) 20h三、1、 （8 分）用最小二乘法求形如 2bxay的经验公式拟合以下数据： ix19 25 30 38iy19.0 32.3 49.0 73.32、 （15 分）用 8n的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算dxe10时，(1)(1) 试用余项估计其误差。（2）用 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。四、1、 （15 分）方程 013x在 5.x附近有根，把方
5、程写成三种不同的等价形式（1） 对应迭代格式 31nnx；(2)x对应迭代格式 nnx1；（3） 3对应迭代格式31n。判断迭代格式在 5.0的收敛性，选一种收敛格式计算5.附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立WORD 格式整理 专业知识分享 Steffensen 迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。2、 （8 分）已知方程组 fAX，其中413A， 2430f（1） （1） 列出 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。（2） （2） 求出 Jacobi 迭代矩阵的谱半径，写出 SOR 迭代法。五、1、 （15 分）取步长 1.0
6、h，求解初值问题 1)0(ydx用改进的欧拉法求 ).0(y的值；用经典的四阶龙格库塔法求 .的值。2、 （8 分）求一次数不高于 4 次的多项式 )(p使它满足)00xfp, )(11xfp, )(00xfp, 11xf, )(22xf六、 （下列 2 题任选一题，4 分）1、 1、 数值积分公式形如 0 )()()( fDfCBfAfxSdxf（1） （1） 试确定参数 ,使公式代数精度尽量高；（2）设 1,0)(4f，推导余项公式 10)()()(xSdxfR，并估计误差。2、 2、 用二步法),(),( 1101 nnnn yxfyxfhyy 求解常微分方程的初值问题 0,时，如何选择
7、参数 ,10使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。数值计算方法试题二一、判断题：（共 16 分，每小题分）、若 A是 n阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵 L和上三角阵U，使 L唯一成立。 （ ）、当 8时，Newtoncotes 型求积公式会产生数值不稳定性。（ ）3、形如)()(1inibaxfAdxf的高斯（Gauss）型求积公式具有最高WORD 格式整理 专业知识分享 代数精确度的次数为 12n。 （ ）、矩阵 102A的范数 2A。 （ ）5、设 a，则对任意实数 0a，方程组 bAx都是病态的。 （用 ） （ ）6、设 nRA， nQ，且有 IQT（单位阵）
8、，则有2。 （ ）7、区间 ba,上关于权函数 )(xW的直交多项式是存在的，且唯一。（ ）8、对矩阵 A 作如下的 Doolittle 分解： 601321254273ba，则 ba,的值分别为a2， b2。 （ ）二、填空题：（共 20 分，每小题 2 分）1、设 39)(248xxf ，则均差,10 _， 3,910f_。2、设函数 f于区间 ba,上有足够阶连续导数， bap,为 )(xf的一个 m重零点，Newton 迭代公式 )(1kkxfmx的收敛阶至少是 _阶。、区间 ba,上的三次样条插值函数 )(S在 ba,上具有直到_阶的连续导数。4、向量 TX)2,1(,矩阵 1327
9、A，则A_， )(cond_。5、为使两点的数值求积公式： 110)(xffxf 具有最高的代数精确度，则其求积基点应为 1x_， 2x_。6、设 nRA， AT，则 )(（谱半径） _ 2A。 （此处填小于、大于、等于）WORD 格式整理 专业知识分享 7、设 2140A，则 kAlim_。三、简答题：（9 分）1、 1、 方程 x在区间 2,1内有唯一根 *x，若用迭代公式：ln/)l(kkx)0(k，则其产生的序列 k是否收敛于 *？说明理由。2、 2、 使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主元的技术？3、 3、 设 01.x，试选择较好的算法计算函数值 2cos1)(xf。
10、四、 （10 分）已知数值积分公式为：)(0)(2)(20 hffhfhdxfh ，试确定积分公式中的参数 ，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。五、 （8 分）已知求 )(a的迭代公式为：2,10210 kxxkk证明：对一切 , ，且序列 kx是单调递减的，从而迭代过程收敛。六、 （9 分）数值求积公式 30 )2(1)(fdxf是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？七、 （9 分）设线性代数方程组 bAX中系数矩阵 A非奇异， X为精确解， 0b，若向量 是 的一个近似解，残向量 Abr，证明估计式： brcondX)(（假定所用矩阵范数与向量范数相容） 。八、(1
11、0 分) 设函数 )(xf在区间 3,0上具有四阶连续导数，试求满足下列插值条件的一个次数不超过 3 的插值多项式 )(xH，并导出其余项。 i0 1 2ix0 1 2WORD 格式整理 专业知识分享 )(ixf-1 1 3i3 九、(9 分) 设 )(xn是区间 ,ba上关于权函数 )(xw的直交多项式序列， 1,2,(xi 为 )(1xn的零点，1li 是以 i为基点的拉格朗日 (Lagrange)插值基函数， 1)()(kkbafAdxwf为高斯型求积公式，证明：（1） （1）当 jnj,0时， 0)(1ijikni xA（2） bajk kdxlx)()()(（3） 12nk baw十
12、、 （选做题 8 分）若 )()()()( 101 nn xxxf ，,0ix互异，求 ,pf 的值，其中 1np。数值计算方法试题三一、 （24 分）填空题(1) (1) (2 分) 改变函数 fxx()1 ( 1)的形式，使计算结果较精确。(2) (2) (2 分)若用二分法求方程 0xf在区间1,2内的根，要求精确到第 3 位小数，则需要对分 次。(3) (3) (2 分)设21xf，则 xf (4) (4) (3 分)设 21,0,23cbaS是 3 次样条函数，则a= , b= , c= 。WORD 格式整理 专业知识分享 (5) (5) (3 分)若用复化梯形公式计算 10dxe，
13、要求误差不超过610，利用余项公式估计，至少用 个求积节点。(6) (6) (6 分)写出求解方程组 24.0161x的 Gauss-Seidel 迭代公式，迭代矩阵为 ，此迭代法是否收敛 。(7) (7) (4 分) 设A543,则 A ， CondA 。(8) (8) (2 分) 若用 Euler 法求解初值问题 10,1yy，为保证算法的绝对稳定，则步长 h 的取值范围为 二. (64 分)(1) (1) (6 分)写出求方程 1cos4x在区间0,1 的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(2) (2) (12 分)以 100,121,144 为插值节点，用插值法计算 15的近似值，并
14、利用余项估计误差。(3) (3) (10 分)求 xef在区间0,1上的 1 次最佳平方逼近多项式。(4) (4) (10 分)用复化 Simpson 公式计算积分10sindxI的近似值，要求误差限为 510.。(5) (5) (10 分)用 Gauss 列主元消去法解方程组：WORD 格式整理 专业知识分享 276234534211xx(6) (6) (8 分)求方程组 1251x的最小二乘解。(7) (7) (8 分)已知常微分方程的初值问题：2)1(2.,yxydx用改进的 Euler 方法计算 y(.)1的近似值，取步长 2.0h。三(12 分，在下列 5 个题中至多选做 3 个题)
15、(1) (1) (6 分)求一次数不超过 4 次的多项式 p(x)满足：1p， 20， 01p， 572p， 2(2) (2) (6 分) 构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度： 12010 fAfdxf(3) (3) (6 分) 用幂法求矩阵 10的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于 0.05，取特征向量的初始近似值为 T0,。(4) (4) (6 分)推导求解常微分方程初值问题0, yabxyxfy的形式为 101iiii fh,i=1,2,N的公式，使其精度尽量高，其中 iiyx, ihaxi, i=0,1,N,WORD 格式
16、整理 专业知识分享 Nabh(5) (5) (6 分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题0, ,byabxarxqp所得到的三对角线性方程组。数值计算方法试题三一、 （24 分）填空题(9) (1) (2 分) 改变函数 fxx()1 ( 1)的形式，使计算结果较精确。(10)(2) (2 分)若用二分法求方程 0xf在区间1,2内的根，要求精确到第 3 位小数，则需要对分 次。(11)(3) (2 分)设21xf，则 xf (12)(4) (3 分)设 21,0,23cbaS是 3 次样条函数，则a= , b= , c= 。(13)(5) (3 分)若用复化梯形公式计算 10dxe，要求
17、误差不超过610，利用余项公式估计，至少用 个求积节点。(14)(6) (6 分)写出求解方程组 24.0161x的 Gauss-Seidel 迭代公式，迭代矩阵为 WORD 格式整理 专业知识分享 ，此迭代法是否收敛 。(15)(7) (4 分) 设A543,则 A ， CondA 。(16)(8) (2 分) 若用 Euler 法求解初值问题 10,1yy，为保证算法的绝对稳定，则步长 h 的取值范围为 二. (64 分)(8) (1) (6 分)写出求方程 1cos4x在区间0,1 的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(9) (2) (12 分)以 100,121,144 为插值节点，
18、用插值法计算 15的近似值，并利用余项估计误差。(10)(3) (10 分)求 xef在区间0,1上的 1 次最佳平方逼近多项式。(11)(4) (10 分)用复化 Simpson 公式计算积分10sindxI的近似值，要求误差限为 510.。(12)(5) (10 分)用 Gauss 列主元消去法解方程组：276234534211xx(13)(6) (8 分)求方程组 1251x的最小二乘解。(14)(7) (8 分)已知常微分方程的初值问题：WORD 格式整理 专业知识分享 2)1(2.1,yxydx用改进的 Euler 方法计算 y(.)的近似值，取步长 2.0h。三(12 分，在下列
19、5 个题中至多选做 3 个题)(6) (1) (6 分)求一次数不超过 4 次的多项式 p(x)满足：1p， 20， 01p， 572p， 2(7) (2) (6 分) 构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度： 12010 fAfdxf(8) (3) (6 分) 用幂法求矩阵 10的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于 0.05，取特征向量的初始近似值为 T0,。(9) (4) (6 分)推导求解常微分方程初值问题0, yabxyxfy的形式为 101iiii fh,i=1,2,N的公式，使其精度尽量高，其中 iiyx, ihaxi,
20、i=0,1,N,Nabh(10)(5) (6 分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题0, ,byabxarxqp所得到的三对角线性方程组。WORD 格式整理 专业知识分享 数值计算方法试题一答案一、 一、填空题（每空 1 分，共 17 分）1、 （ 10 ） 2、 （ )0,(2(） 3、 a=( 3 )， b=（ 3 ） ，c=（ 1 ）4、( 1 )、 ( jx )、( 24x) 5、 6 、 25.6492!76、 9 7、 0 8、 1a9、 2 10、 （ , ） 、 （ il）二、 二、选择题（每题 2 分）1、 （(2) ） 2、 （1） ） 3、 （1） ） 4、 （3）
21、）三、1、 （8 分）解： ,xspan223859TA.709.2Ty解方程组 ACTT其中 96014.1863AT解得：052.7所以 9257.a， 0512.b 2、 （15 分）解： 37681)(1 2efhbfRT)()()8(71kfxfafhT 367894.0)41682.047235.0536.88926 4.0四、1、 （15 分）解：（1）3()）x， 1.5.）（，故收敛；（2） xx2)(， 17.05.1）（ ，故收敛；（3） 3)(， 3.2）（ ，故发散。选择（1）： 5.0x， 72.1， 9.x， 39.x， 3249.4x，WORD 格式整理 专业知
22、识分享 32476.15x， 3247.1xSteffensen 迭代： kkkk x )()(212133kkkx计算结果： 5.10x， 2489.1， 478. 有加速效果。2、 （8 分）解：Jacobi 迭代法： ,3210)4()()(3(3(1)1(2(2)(kxxkkkGauss-Seidel 迭代法： ,3210)4()(1()(3(3)1(2()(kxxkk0430)(1ULDBJ， 79056.)41(85)(或JBSOR 迭代法： ,3210)4()(32)1(1(2()1(3 )()(2)(2 )()(kxxxkkkkk五、1、 （15 分）解：改进的欧拉法： 095
23、),(),(290(11)0(1 nnnn yyxfyxfhy所以 .1；经典的四阶龙格库塔法：WORD 格式整理 专业知识分享 ),(2),(26343121431hkyxfkfyxkkhynnnn 04321k，所以 1).(y。2、 （8 分）解：设 )(3H为满足条件 1,)(3ixfHii的 Hermite插值多项式，则 21203)()( xxkxp 代入条件 )(22fp得：21203(f六、 （下列 2 题任选一题，4 分）1、解：将 3,)(xxf分布代入公式得： 20,07,3DBA构造 Hermite 插值多项式 )(3xH满足 1,0)(3ixfii其中1,0x则有：
24、03)()(SdxH， 2)4(3)!)( ffdxfxR210)4(1 1!)(0)(6)(!4) 4)(1023( ffdx2、解： )(!3)(!2)()(1() )(!3)(!2)()()( 401, nnnnn nnnnnhn xyhxyxyhxyh xyhxyyhyxR)()16()(2(1 43110 Oxynn WORD 格式整理 专业知识分享 所以 01202301主项： )(53nxyh该方法是二阶的。数值计算方法试题二答案一、 一、判断题：（共 10 分，每小题分）1、 （ ） 2、 （ ） 3、 （ ） 4、 （ ） 5、 （ ） 6、 （ ）7、 （ ） 8、 （ ）
25、二、 二、填空题：（共 10 分，每小题 2 分）1、 !89、0 2、_二_ 3、_二_4、_16 、90_5、3,6、 = 7、0三、 三、简答题：（15 分）1、 1、 解：迭代函数为 2ln/)4l()x1l2ln14)( x2、 2、 答：Gauss 消去法能进行到底的条件是各步消元的主元素 )(ka全不为 0，如果在消元过程中发现某个主元素为 0，即使 detA，则消元过程将无法进行；其次，即使主元素不为 0，但若主元素 )(ka的绝对值很小，用它作除数，将使该步消元的乘数绝对值很大，势必造成舍入误差的严重扩散，以致于方程组解的精确程度受到严重影响，采用选主元的技术，可避免主元素
26、)(k=0 或 )(k很小的情况发生，从而不会使计算中断或因误差扩大太大而使计算不稳定。3、 3、 解： )!2(1!421cos nxxx)(!12142 n !)(!)( xxf n四、 四、解： 1f显然精确成立；xf)(时， 10220hhdx；2时，WORD 格式整理 专业知识分享 12200233202 hhhdxh ；)(f时， 304303dx；4x时， 64120554hhh；所以，其代数精确度为 3。五、 五、证明：2,1021)(21 kaxxaxkkk故对一切 , 。又1)()1(2kkxax所以 kx1，即序列 kx是单调递减有下界，从而迭代过程收敛。六、 六、解：是
27、。因为 )(xf在基点 1、2 处的插值多项式为12)(1)(fxp30 )(fd。其代数精度为 1。七、 七、证明：由题意知： rbXA,rrXA1)( 又 bXb所以AcondbrAX)(1。八、解：设 )2()(2xaxNH)1(021)(0,1)0(1,)0(2 xxffxN所以 )(2axx由 3)0(H得： 4aWORD 格式整理 专业知识分享 所以 13451)(23xxH令 )(xfR，作辅助函数 )2(1)()(2ttxktHftg则 tg在 3,0上也具有 4 阶连续导数且至少有 4 个零点： ,0，反复利用罗尔定理可得： !)()4(fxk， )()g所以 2(14)2(
28、1)()(2(2 xfHxf九、 九、证明：形如 )1kbankxAdxwf的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精度 2n+1 次，它对 )(f取所有次数不超过 2n+1次的多项式均精确成立1） 0)()()(bajkijikni dxwxxA2）因为 )(li是 n 次多项式，且有 jilji1所以 0)()(1ijikbanijk xlAdxx( jk)3）取 )(2lfi，代入求积公式：因为 2i是 2n 次多项式，所以 ijibanjji xldxwl 21)()(112nk bakdAl故结论成立。十、 十、解： npxfxfpiijji 0)(,010 1)!(,110nfx
29、fn数值计算方法试题三答案一.(24 分)(1) (2 分) xxf1 (2) (2 分) 10WORD 格式整理 专业知识分享 (3) (2 分) 12x(4) (3 分) 3 -3 1 (5) (3 分) 477(6) (6 分) ,0,4.61122kk 64.收敛(7) (4 分) 9 91 (8) (2 分) h0.2二. (64 分)(1) (6 分) nnnxxcos141，n=0,1,2,si4 x 对任意的初值 1,0x,迭代公式都收敛。(2) (12 分) 用 Newton 插值方法：差分表：1001211441011120.04761900.0434783-0.00009
30、411361510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.72275552583xf0163.29615083645!2fR(3) (10 分)设 xccx212 2121212 , f， ,01d， 21,021xd，30dx， )exp(,10， )ep(,02fWORD 格式整理 专业知识分享 13122ec， 690.18732c, xx690.1873.xx6804=0.873127+1.69031x(4) (10 分)0.946158214061fffS 0.9468332 fffff 5-122 093.5SSI
31、.2SI或利用余项： !97!1sin864xxxf!492751)4(xf51)4(f4)4( 0.580180nfnabR， 2n， 2SI(5) (10 分)3.0000 1.0000 5.0000 34.00000.0000 3.6667 0.3333 12.66670.0000 5.3333 -2.3333 4.33333.0000 1.0000 5.0000 34.00000.0000 5.3333 -2.3333 4.33330.0000 0.0000 1.9375 9.6875Tx0.5,.3,0.2WORD 格式整理 专业知识分享 (6) (8 分) bAxTT， 20814
32、63x， 0.231x若用 Householder 变换，则： 52073.36.108725.,bA8.442.3.1最小二乘解： (-1.33333，2.00000) T.(7) (8 分)5.0,01yxfk， 0.52389.21.,012 hkyxfk74.538921h三. (12 分)(1) 差分表：11122151515575720204272152230781432 3345 2171501xx xxp 其他方法：设 bap 32520WORD 格式整理 专业知识分享 令 572p， 2，求出 a 和 b(2) 取 f(x)=1,x，令公式准确成立，得：210A， 310A0
33、， 61Af(x)=x2 时，公式左右=1/4; f(x)=x 3 时，公式左=1/5, 公式右=5/24 公式的代数精度=2(3) 101Avu, 0.1,)(vu, 095.21uv 095.12, 8.,12)(1, 83.412，)(1)( 02.23Avu, 10.,23)(1vu, 109.423uv，5)(1)2( .01， 109.4x(4) 局部截断误差= 1iiyt 32110 32 hOxyhxhyxy ii iiii iii 令 10， 01得 ， 21，计算公式为 1132iiii fhy，i=0,1,2,WORD 格式整理 专业知识分享 ( 局部截断误差= 4312
34、5hOxyhi)(5) 记 Nabh)(, i, iip, iixq, ir,iixy,i=0N iiiiiiii ryqyhph 1112 2, i=1N-1即 iiii hpqyp211 2 , i=1N-1 (1)043210,与(1)取 i=1 的方程联立消去 y2 得1211rhypqhyp(2)N，与(1) 取 i=N-1 的方程联立消去 yN 得121221 NNrhyqhyph(3)所求三对角方程组：方程(2)，方程组(1)(i=1N-2)，方程(3)根据企业发展战略的要求，有计划地对人力、资源进行合理配置，通过对企业中员工的招聘、培训、使用、考核、评价、激励、调整等一系列过程，调动员工地积极性，发挥员工地潜能，为企业创造价值，确保企业战略目标的实现。读书是一种感悟人生的艺术读杜甫的诗使人感悟人生的辛酸，读李白的诗使人领悟官场的腐败，读鲁迅的文章使人认清社会的黑暗，读巴金的文章使人感到未来的希望每一本书都是一个朋友，教会我们如何去看待人生读书是人生的一门最不缺少的功课，阅读书籍，感悟人生，助我们走好人生的每一步
