1、巧设方程避免分类讨论舒云水 求圆锥曲线方程是一类基本问题，待定系数法是常用方法之一，对一些焦点位置不确定的题目常常需要分类讨论求解椭圆方程（或双曲线方程 ）中的 、 和抛物线方程2xa1yb21xyabab中 的都有几何意义，若设更具有一般性的参数 、 、2p AB等，可避免分类讨论，事半功倍，提高解题效率下面举例说明m例 1 求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点 ， 1,3P的椭圆的标准方程0,2Q分析：本题焦点位置不确定，可分焦点在 轴、焦点在 轴两种xy情况分类求解事实上，不论焦点在 轴上还是在 轴上，椭圆方程都可化为 的形式本题可直接设椭圆方21(0,)AxByAB程为 的形式，不
2、但避免分类讨论还可简化运算解：设所求椭圆的方程为 21(0,)AxByAB依题意有 ，解得 194AB54所以所求椭圆的方程为 ，其标准方程为 251xy2145yx例 2 与椭圆 有相同焦点的椭圆方程为21(0,)xymn，与双曲线 有相同1(,)xyknmkn 21(0,)xyab渐近线的双曲线系方程为 ；最后，由题设中的条件2(0)xyab找到“式”中选定系数的等量关系，通过解方程得到量的值例 3 求与双曲线 有公共的渐近线，且经过2196xy的双曲线方程(,2)A分析：本题的一般解法是对双曲线的焦点在 轴或在 轴上进行xy分类讨论其实，无论焦点在哪条坐标轴上，与已知双曲线共渐近线的双曲
3、线方程都可写成 的形式，不需对焦点位置2916xy(0)分类讨论解：设所求双曲线方程为 ，将 点坐标代入所2916xy(0)A设双曲线方程，求得 ，故所求双曲线方程为 42194xy例 4 已知顶点在原点，焦点在 轴上的抛物线与直线x相交于两点 、 ，且 ，求抛物线方程21yx1A2125A分析：本题只知道焦点在 轴上，开口方向不确定，常规思路x是分抛物线开口向左和向右两种情况分类讨论求解事实上，不论抛物线开口方向是向左还是向右，抛物线方程都是 的形2(0)ymx式因此可设抛物线方程为 ，和直线方程联立，由弦长2(0)ymx公式求得参数 的值这样巧设参数 避免了分类讨论，事半功倍m解：设抛物线方程为 ，则直线 与抛物线的2(0)ymx21yx交点 、 是方程组 的解，消去 整理得：1(,)Axy2(,)Bx21240m 或 2()168m由韦达定理得： ， 214x24x由题意得： 21ABkx 222211 1()()4mkxx5即 2134m解得 或 4故符合题意的抛物线方程为 或 21yx24yx
