1、 城 关 镇 中 学,24.1.2 垂直于弦的直径,第二十四章 圆, 城 关 镇 中 学,学习目标,1.了解圆的对称性； 2.理解并掌握垂径定理及其推论；3.体会转化及数形结合的思想；4.体验探索数学的乐趣., 城 关 镇 中 学,把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴,实践探究, 城 关 镇 中 学,如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？,O,A,B,C,D,E,（1
2、）是轴对称图形直径CD所在的直线是它的对称轴,（2） 线段： AE=BE,思考讨论, 城 关 镇 中 学,已知：在O中，CD是直径，AB是弦，CDAB，垂足为E.,O,C,D,E,B,A, 城 关 镇 中 学,O,A,B,C,D,E,题设,结论,（1）直径（2）垂直于弦,（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧,符号语言： CD是直径且CDAB,经过圆心的一条直线或线段, 城 关 镇 中 学,如图，AB是O的一条弦(不过圆心)，直径CD与AB交于E，且AE=BE（1）CD与AB位置关系如何？（2）图中有哪些相等的弧？,O,A,B,C,D,E,（1）CDAB.,（2）,思考讨论,
3、 城 关 镇 中 学,O,A,B,C,D,E,题设,结论,(1)直径(2)平分弦(非直径),（3）垂直于弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧,过圆心, 城 关 镇 中 学,一条直线： (1)过圆心 (2)垂直于弦 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧注意:当具备了(1)(3)时,应对另一条弦增加“不是直径”的限制.,“知二推三”,归纳总结, 城 关 镇 中 学,(1),(2),(3),(4),基础训练, 城 关 镇 中 学,例 如图，已知在O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求O的半径。,若OA=10cm,OE=6cm,求弦AB的长。若圆心到
4、弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？,若下面的弓形高为h，则r、d、h之间有怎样的关系?,r=d+h,应用举例,图中OE叫做弦心距,r,h,d,a, 城 关 镇 中 学,赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？,O,A,B,应用举例, 城 关 镇 中 学,解得：R279（m）,在RtOAD中，由勾股定理，得,即 R2=18.72+（R7.2）2,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.,OA2=AD2+OD2,又OD=OCCD=（R7.2）m,如图，用 表示主桥拱，设 所在圆
5、的圆心为O，半径为R经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与 相交于点C，根据垂径定理，D 是AB 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高,AB,AB,AB,AB, 城 关 镇 中 学,课堂小结,圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.,垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.,垂径定理:,在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化为解直角三角形的问题 。,一条直线： (1)过圆心(2)垂直于弦 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧,垂径定理推论:,“知二推三”, 城 关 镇 中 学,1半径为4cm的O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是 。2 O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 。3半径为2cm的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是 。,8cm,反馈训练, 城 关 镇 中 学,4.在O中，若CD AB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是（ ）,5.已知O的直径AB=10，弦CD AB，垂足为M，OM=3，则CD= .,6.在O中，CD AB于M，AB为直径，若CD=10，AM=1，则O的半径是 .,C,8,13,反馈训练, 城 关 镇 中 学,作业,1.作业本：课本P87，习题24.1第1题；,2.质量监测：P68-69.,
