1、异面直线所成的角,例1 在正方体ABCDA1B1C1D1中,求以下各对异面直线所成的角： (1)AB与CC1； （2）AB1与CD1； （3）AB1与CD； （4）AB1与BC1。,例1 在正方体ABCDA1B1C1D1中,求以下各对异面直线所成的角： （1）AB与CC1；,A,B,C,D,D,1,C,1,B,1,A,1,例1 在正方体ABCDA1B1C1D1中,求以下各对异面直线所成的角： (1)AB与CC1； （2）AB1与CD1； （3）AB1与CD； （4）AB1与BC1。,例1 在正方体ABCDA1B1C1D1中,求以下各对异面直线所成的角： （1）AB与CC1；,A,B,C,D,D
2、,1,C,1,B,1,A,1,例1 在正方体ABCDA1B1C1D1中,求以下各对异面直线所成的角： (1)AB与CC1； （2）AB1与CD1； （3）AB1与CD； （4）AB1与BC1。,例1 在正方体ABCDA1B1C1D1中,求以下各对异面直线所成的角： （1）AB与CC1；,A,B,C,D,D,1,C,1,B,1,A,1,例1 在正方体ABCDA1B1C1D1中,求以下各对异面直线所成的角： （1）AB与CC1； （2）AB1与CD1；,D,1,A,B,C,D,D,1,C,1,B,1,A,1,例1 在正方体ABCDA1B1C1D1中,求以下各对异面直线所成的角： （1）AB与CC1
3、； （2）AB1与CD1；,D,1,A,B,C,D,D,1,C,1,B,1,A,1,例1 在正方体ABCDA1B1C1D1中,求以下各对异面直线所成的角： (1)AB与CC1； （2）AB1与CD1； （3）AB1与CD； （4）AB1与BC1。,例1 在正方体ABCDA1B1C1D1中,求以下各对异面直线所成的角： （1）AB与CC1； （2）AB1与CD1；,D,1,A,B,C,D,D,1,C,1,B,1,A,1,例1 在正方体ABCDA1B1C1D1中,求以下各对异面直线所成的角： (1)AB与CC1； （2）AB1与CD1； （3）AB1与CD； （4）AB1与BC1。,例1 在正方体
4、ABCDA1B1C1D1中,求以下各对异面直线所成的角： （1）AB与CC1； （2）AB1与CD1；,D,1,A,B,C,D,D,1,C,1,B,1,A,1,例1 在正方体ABCDA1B1C1D1中,求以下各对异面直线所成的角： (1)AB与CC1； （2）AB1与CD1； （3）AB1与CD； （4）AB1与BC1。,例1 在正方体ABCDA1B1C1D1中,求以下各对异面直线所成的角： （1）AB与CC1； （2）AB1与CD1；,D,1,A,B,C,D,D,1,C,1,B,1,A,1,例1 在正方体ABCDA1B1C1D1中,求以下各对异面直线所成的角： (1)AB与CC1； （2）A
5、B1与CD1； （3）AB1与CD； （4）AB1与BC1。,例1 在正方体ABCDA1B1C1D1中,求以下各对异面直线所成的角： （1）AB与CC1； （2）AB1与CD1； （3）AB1与CD；,A,B,C,D,D,1,C,1,B,1,A,1,例1 在正方体ABCDA1B1C1D1中,求以下各对异面直线所成的角： (1)AB与CC1； （2）AB1与CD1； （3）AB1与CD； （4）AB1与BC1。,例1 在正方体ABCDA1B1C1D1中,求以下各对异面直线所成的角： （1）AB与CC1； （2）AB1与CD1； （3）AB1与CD； （4）AB1与BC1。,A,B,C,D,D,1
6、,C,1,B,1,A,1,例1 在正方体ABCDA1B1C1D1中,求以下各对异面直线所成的角： (1)AB与CC1； （2）AB1与CD1； （3）AB1与CD； （4）AB1与BC1。,例1 在正方体ABCDA1B1C1D1中,求以下各对异面直线所成的角： （1）AB与CC1； （2）AB1与CD1； （3）AB1与CD； （4）AB1与BC1。,A,B,C,D,D,1,C,1,B,1,A,1,例1 在正方体ABCDA1B1C1D1中,求以下各对异面直线所成的角： (1)AB与CC1； （2）AB1与CD1； （3）AB1与CD； （4）AB1与BC1。,例1 在正方体ABCDA1B1C1
7、D1中,求以下各对异面直线所成的角： （1）AB与CC1； （2）AB1与CD1； （3）AB1与CD； （4）AB1与BC1。,A,B,C,D,D,1,C,1,B,1,A,1,例1 在正方体ABCDA1B1C1D1中,求以下各对异面直线所成的角： （1）AB与CC1； （2）AB1与CD1； （3）AB1与CD； （4）AB1与BC1。,A,B,C,D,D,1,C,1,B,1,A,1,例2 已知空间四边形ABCD中， F、G分别是BC,AD的中点，AC=BD=2，FG= ，求异面直线AC,BD所成的角。,F,G,A,B,C,D,例2 已知空间四边形ABCD中， F、G分别是BC,AD的中点，
8、AC=BD=2，FG= ，求异面直线AC,BD所成的角。,M,F,G,A,B,C,D,例2 已知空间四边形ABCD中， F、G分别是BC,AD的中点，AC=BD=2，FG= ，求异面直线AC,BD所成的角。,M,F,G,A,B,C,D,例3 如图，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中点，求： （1）异面直线AM与CN所成角的大小；,N,M,A,1,B,1,C,1,D,1,D,C,B,A,例3 如图，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中点，求： （1）异面直线AM与CN所成角的大小；,N,M,A,1,B,1,C,1,D,1,D,C,B,A,Q,例3 如图，在正方体AC
9、1中，M、N分别是A1B1、BB1的中点，求： （1）异面直线AM与CN所成角的大小；,N,M,A,1,B,1,C,1,D,1,D,C,B,A,P,例3 如图，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中点，求： （1）异面直线AM与CN所成角的大小； （2）异面直线AM与BD所成角的大小；,M,A,1,B,1,C,1,D,1,D,C,B,A,例3 如图，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中点，求： （1）异面直线AM与CN所成角的大小； （2）异面直线AM与BD所成角的大小；,M,A,1,B,1,C,1,D,1,D,C,B,A,R,例3 如图，在正方体AC1中，M、N分别
10、是A1B1、BB1的中点，求： （1）异面直线AM与CN所成角的大小； （2）异面直线AM与BD所成角的大小； （3）异面直线AM与BD1所成角的大小。,M,A,1,B,1,C,1,D,1,D,C,B,A,例3 如图，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中点，求： （1）异面直线AM与CN所成角的大小； （2）异面直线AM与BD所成角的大小； （3）异面直线AM与BD1所成角的大小。,M,A,1,B,1,C,1,D,1,D,C,B,A,S,例4：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。,取BB1的中点M，连
11、O1M，则O1MD1B，,如图，连B1D1与A1C1 交于O1，,于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角）,O1,M,解：,为什么？,解法二：,方法归纳：,补形法,把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。,在A1C1E中，,由余弦定理得,A1C1与BD1所成角的余弦值为,如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面,连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角)，,BC1的方体B1F，,例5、解答题,已知正方体的棱长为 a , M 为 AB 的中点, N 为 BB1的中点，求 A1M 与 C1
12、 N 所成角的余弦值。,解：,E,G,如图，取AB的中点E, 连BE, 有BE A1M,取CC1的中点G,连BG. 有BG C1N,则EBG即为所求角。,BG=BE= a, F C1 = a,由余弦定理，,cosEBG=2/5,F,取EB1的中点F，连NF,有BENF,则FNC为所求角。,想一想：,还有其它定角的方法吗？,在EBG中,定角一般方法有：,（1）平移法（常用方法）,小结：,1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角，体现了化归的数学思想。,2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围：,（1） 当 cos 0 时，所成角为 ,（2） 当 cos 0 时，所成角为 ,（3） 当 cos = 0 时，所成角为,3、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有 关知识解决。,90o,（2）补形法,化归的一般步骤是：,定角,求角,说明：异面直线所成角的范围是（0， ，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，当余弦值为负值时，其对应角为钝角，这不符合两条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意。,注意,补形平移,直接平移，,中位线平移，,、平移：,、若用余弦定理求出cos，则异面直线所成的角为,如：若求出,则异面直线所成的角的余弦值为,异面直线所成的角,
