1、异面直线及其夹角,异面直线及其夹角知识结构,3、应用举例,异面直线,2、判定异面的方法：,1、定义：,不同在任何一个平面内的两条直线,（1）能证到两直线不平行也不相交,（2）反证法.如果不异面,则会出现异常的结论,3、画法,a与b是相交直线，a与c也是相交直线，它们之间又有什么区别？,“定量”研究相交直线，必须引入“角”的概念,直线a与b， 直线a与c, 直线a与d 都是异面直线，它们之间有什么区别？,想一想？,异面直线所成的角,1、定义：直线a,b是异面直线，经过空间任意一点o，分别引直线a1a, b1b, 我们把直线a1和b1所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。,若O是空间中的
2、任意一点,所成的锐角是否相等？,a,M,b,o,点o常取在两条异面直线中的一条上,通过画平行线的方式,使两条异面直线移动到一个 平面的位置上,是研究异面直线所成的角时使用的方法.,【 例1 】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为4(1) 求直线BA1和CC1所成的角的大小(2) 若M，N分别为棱A1B1和B1B的中点，求直线AM与CN所成的角的余弦值.,四、例题选讲,M,N,P,Q,BQ=1,BN=2,【 例2 】S是正ABC所在平面外一点，SA=SB=SC且ASB=BSC=CSA=90，M，N分别是AB和SC的中点，求异面直线SM与BN所成的角的余弦值.,P,a,a,a,课堂练习：,
3、1、,设图中的正方体的棱长为a，,图中哪些棱所在的直线与BA1成异面直线？ 直线BA1与C1C所成角的大小？ 直线BA与C1C所成的角多大？与棱BA垂直的棱有多少条？,四、课堂小结,1、异面直线的定义与判定,2、求异面直线所成的角是把空间角转化为 平面 角，体现了化归的数学思想。,定角一般方法有：,（1）平移法（常用方法）,（1） 当 cos 0 时，所成角为 ,（2） 当 cos 0 时，所成角为 ,（3） 当 cos = 0 时，所成角为,90o,（2）补形法,化归的一般步骤是：,定角,求角,3、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意 范围：,2、等角定理,如果一个角的两边和另一个角的两边分
4、别平行并且方向相同，那么这两个角相等.,如果两条异面直线所成的角是直角,我们说这两条异面直线互相垂直,问题1：图中AB与BC是什么关系？,问题2：图中CC1与BC是什么关系？,问题3：图中AB与CC1是什么关系？,又垂直又相交,又垂直又相交,与两条异面直线都垂直相交的直线，叫做两条异面直线的公垂线,两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做这两条异面直线的的距离,异面,任意两条异面直线都 有唯一的一条公垂线,异面直线的证法之一 反证法,求证：过平面外一点与平面内上点的直线，和平面内不经过这点的直线是异面直线,A,B,n,已知：如图,平面内一直线n和n外一点B，A在平面外,求证：直线AB与直线n异面,作业,习题9.2 第4、7、10,
