1、1解析几何的最值求解策略湖南省武陵源一中 高飞 (高级教师) 邮编：427400 电话：解析几何最值问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点。 解析几何最值有两类:一类是利用曲线的几何定义或问题的几何背景，先确定几何上达到最值的位置，再计算；另一类是通过建立目标函数，转化为函数最值求解。本文举例探求解析几何最值问题的求解策略一 利用曲线的几何定义或问题的几何背景例 1(辽宁卷) 已知 F 是双曲线 的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，求124yx|PF|+|PA|的最
2、小值。解析:设右焦点为 ，由题设知 坐标(4，0)，根据双曲线的定义，|PF|-|P |=4，所以 F|PF|+|PA|=4+|P |+|PA|， 由题设知要使|PF|+|PA|最小，只需|P |+|PA|最小即可，|P |+|PA|最小F只需 P, ,A 三点共线，最小值即 4+| A|=4+ 。F 954169点评：本题考查了解析几何的最值问题，关键是要运用双曲线的定义将 P 到左焦点距离转化为 P 到右焦点距离解决。例 2(四川卷) 已知直线 : 和直线 : ，求抛物线 上一动点 P1l0634yx2lxxy42到直线 和直线 的距离之和的最小值1l2解析: 动点 P 到直线 : 的距离
3、可转化为 P，F 的距离，作图可知距离之和的最小值lx即 F 到直线 的距离1l22346d练习，已知动点 在椭圆 上，若 A 点坐标为(3 ，0)， ，且yx,165yx 1AM，求 的最小值0AMPP解析；由条件可知点 M 轨迹是以 A 为园心，1 为半径的圆，又 所以0P所以 问题转化为求 的最小值，因为 在椭圆上。22Ayx,则 即 则 的最小值为 。caPF,P3例 3(广东卷) 已知曲线 C： 与直线 交于两点 A,B，记曲线 C 在点 A2xy02:yl和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域(含边界)为 D，若曲线 G：x2-2ax+y2-4y+a2+ =0 与
4、 D 有公共点，试求 a 的最小值51解析:由 x2-2ax+y2-4y+a2+ =0 整理得 曲线 G 表示以点(a,2)为圆25492)()(yx2心，半径为 的圆，即圆心是直线 y=2 上的一动点，作图分析知，曲线 G 与 D 有公共点且57a 取最小值时，圆 G 应与直线 相切且 a1 即 m0,把 代入 得xy121mx。由 =0342xx 2162m，解得 或 (舍去) 此时|EF 1|+|EF2|=01m21当且仅当 m=2 时|EF 1|+|EF2|取得最小值 此时椭圆方程为 。3123yx解析几何最值问题要根据题设条件建立等量与不等关系，再运用函数，方程，不等式等知识求得最值
5、，关键是不等关系的确定。例 5 已知椭圆 C: ，设点 M(m,0)在椭圆 C 的长轴上，点 P 是椭圆上任意一342yx点，当|MP| 最小时，点 P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数 m 的取值范围；若经过椭圆右焦点作直线 交椭圆于 A,B 两点，求 面积的最大值。l 1ABF解 设点 P(x,y)为椭圆上的动点则 ，|MP| 2=2x2)(mxy42213)(xmx= 因为当|MP| 最小时，点 P 恰好落在椭圆的右41 3)(21m顶点，即当 x=2 时 |MP|2 取得最小值，而 故有 又点 M 在椭圆x214mC 的长轴上即 故实数 m 的取值范围是 。设直线 AB 的方程为2,1把
6、代入 得 显然1myxR1yx342yx096y设 A ，B 则 又因为0,2, 212S2121， ， =48 令 则4362m21y4392m1)(y)(yy2)43(m23t3由于函数 在 上单调递增，所以 故,3t21)(yt148ty1,3310t即 故 面积的最大值等于 3.923S1ABF解析几何的最值求解离不开目标函数的建立，因目标函数引入变量的背景不同，求法也不同，具体求最值可用到配方法，不等式法等。例 6（福建卷）抛物线 y2=4x 上两点 A，B 满足| 求 AB 的中点 C 到|OBA直线 的距离最小值0:xl解 由题设知 OA 点 C 的坐标为（ 设 C 到直线 的距
7、离为O),21yx 02:yxl则d所以，当 时5212yx 521218yy582121yy5816421y 421取最小值点评：本题为点到直线的距离最值，注意坐标特征和配方法的运用例 7(全国竞赛题)在平面直角坐标系中，已知点 A（ ，0） ，点 B 在直线 L：x=- 上运动，21 21过点 B 与 L 垂直的直线和 AB 的中垂线相交于点 M。（）求动点 M 的轨迹 E 的方程（）设点 P 是轨迹 E 上的动点，点 R，N 在 y 轴上，圆 C： 内切于1)(2yx，求 的面积的最小值。RN解， （）设 M(x,y)，由题设知 |MB|=|MA|，所以动点 M 的轨迹 E 是以 A（
8、，0）为焦点，21以 x=- 为准线的抛物线，其方程为 （）设 P(x0,y0)，R（0，b）,N(0,c),且 bc,21 xy2故直线 PR 的方程为 ，由题设知圆心 (1，0)到直线 PR 的距离为00bxby1，即 注意到 化简上式得 ，同理可得1200xby 200xyx由上可知 b,c 为方程 的两根，根据求cx根公式可得 b-c= = 故 的面积为 S= = +28400xy2xPRN021xcb20,当且仅当 x0=4 时等号成立此时点 P 的坐标为(4， )4200 x或(4，- )所以 的面积的最小值为 8.PRN点评:本题主要考查直线，圆，抛物线，函数等基础知识，同时考查
9、运算能力以及分析问题和解决问题的能力，利用方程思想建立面积函数，然后用基本不等式求最值。例 7 (陕西卷) 点 P 是双曲线 上一点，点 A,B 在双曲线的两条渐近线上，且分124xy4别位于第一，二象限，若 求 面积的最值2,31PBAAOB解析:因为双曲线的两条渐近线方程为 ，可设点 A(m,2m),B(-n,2n),m,n0,由xy得 P ，将点 P 坐标代入 化简得 设BA12,nm124y 412mn又 所以5212sin,ta,ta, O OBA5,= , , 在 上单ABS sin21 31S121,3调递减, 在 上单调递增,所以当 时, 面积取得最大值 当 时, 318面积取
10、得最小值 2.例 8 (浙江卷 )设点 A 是椭圆 C1: 的右顶点，点 P 在抛物线 C2：y=x 2+h24xy上，C 2 在点 P 处的切线与 C1 交于点 M,N，当线段 AP 的中点与 MN 的中点的横坐)(Rh标相等时，求 h 的最小值。分析:设点 P 的横坐标为 t，利用线段 AP 的中点与 MN 的中点的横坐标相等，建立变量 h与 t 的关系，再用函数与方程思想求 h 的最小值。解析:设点 M ，N ,P（ ）则抛物线在点 P 处的切线即直线 MN 的方1,yx2,t2,程为 将 代入椭圆 C1 的方程得 ，ht2tx04242htx即 直线 MN 与椭圆 C1 有两个不同的交
11、点，所,0442hx以有 设 MN 的中点的横坐标为 x3 则216ttx3= 。221th设线段 PA 中点的横坐标为 x4 因为点 A(1，0)则 。由题意得 x3= x4 则有214tx12tht=0 于是 或 ，当 时有 从而1022h3h0,22h不符合要求，因此 。此时 成立，故 h 的最小值为 1010点评:由 =0 得 由于自变量 t 的取值范围不易求得，所以不宜2tht 1t用函数法求 h 的最小值，因此采用不等式先求得 h 的取值范围，再确定其最小值。举例 9 已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F，过焦点 F 且不平行于 x 轴的动直线 交抛物线l于 A,B 两点，抛物线在
12、 A,B 两点处的切线交于点 M。(1)求证:A,M,B 三点的横坐标成等差数列；(2)设直线 MF 交该抛物线于 C,D 两点，求四边形 ABCD 面积的最小值。5分析: 利用垂直关系建立面积关于 k 的函数，然后运用均值不等式求最值。解析:(1)由已知，得 F（0，1） ，显然直线 AB 的斜率存在且不为 0，则可设直线 AB 的方程为 y=kx+1(k0), A ，B ,由 ，消去 y，得 x2-4kx-4=0,显然1,yx2142kxy=16k2+160. x1+x2=4k, x1x2=-4,由 x2=4y，得 y= x2, = x, 直线 AM 的斜率为42kAM= x1. 直线 A
13、M 的方程为 y-y1= x1(x-x1),又 x12=4y1, 直线 AM 的方程为 x1x=2(y+y1)2同理，直线 BM 的方程为 x2x=2(y+y2)由-并据 x1x 2，得，点 M 的横坐标 x= ( 2x1+x2).即 A,M,B 三点的横坐标成等差数列。 （2）由易得 y=-1, 点 M 的坐标为(2k,-1) (k0). kMF= ,则直线 MF 的方程为 y= x+1,又|AB|=k12k12k21214xx=4(k2+1).用 代换 k 得|CD|= =4( +1), kMF kAB=-1, 221214x2kABCD. SABCD= |AB|CD|=8( +1) (k2+1)=8(k2+ +2)32, 当且仅当 k=1 时取等2121kk号,所以四边形 ABCD 面积的最小值我 32.点评:本题综合考查了导数应用，弦长求法，直线与抛物线的位置关系，四边形面积，函数最值求法等知识。综合运用知识解题能力。
