1、解析几何的诞生近代数学本质上可以说成是变量数学。文艺复兴以来资本主义生产力的兴起，对科学技术提出了全新的要求，机械的普遍使用引起了对机械运动的研究；世界贸易的高涨促使航海事业的空前发达，而测定船舶位置问题要求准确地研究天体运行的规律；武器的改进刺激了弹道问题的探讨，等等；总之，到了十六世纪，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题，这就迫切地需要一种新的数学工具，从而导致了变量数学亦即近代数学的诞生。变量数学的第一个里程碑是解析几何的诞生。解析几何的基本思想是在平面上引进所谓“坐标”的概念，并借助这种左边在平面上的点和有序实数对( x , y)之间建立一一对应的关系。每一对实数( x , y
2、)都对应于平面上的一个点，反之，每一个点都对应于它的坐标( x , y)，以这种方式可以将一个代数方程 f (x , y) = 0 与平面上一条曲线对应起来，于是几何问题便可归结为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果。借助坐标来确定点的位置的思想古代曾经出现过，古希腊阿波罗尼乌斯(apollonius,约 bc262bc190)关于圆锥曲线性质的推导、阿拉伯人通过圆锥曲线交点求解三次方程的研究，都蕴涵这种思想。解析几何最重要的前驱是法国数学家奥雷斯姆(nicole oresme, 13231382)，他在论形态幅度这部著作中提出的形态幅度原理（或称图线原理），甚至已接触到直角坐
3、标系中用曲线表示函数的图象，在这里，奥雷斯姆借用了“经度”、“纬度”这两个地理学术语来叙述他的图线，相当于纵坐标与横坐标。不过他的图线概念是模糊的，至多是一种图表，还未形成清晰的坐标与函数图象的概念，是解析几何的酝酿阶段。解析几何的真正发明还要归功于法国另外两位数学家笛卡儿(r.descartes , 15961650)与费尔马(p. de fermat, 16011665)。他们工作的出发点不同，但方式都是采用代数方法来研究几何问题。笛卡儿的工作是由于他的机械哲学的需要而形成的。1637 年他发表了著名的哲学著作更好地指导推理和寻求科学真理的方法论(discours de la mthode
4、 pour bien conduire sa raison, et chercher la vrit dans les sciences，1637)，该书有三个附录：几何学、折光和陨星，解析几何的发明包含在几何学这篇附录中。其发明与著名的古希腊数学问题即所谓的帕普斯(pappus)问题有关。四世纪希腊数学家帕普斯提出这样的一个轨迹问题：设在平面上给定 3 条直线 l1 、 l2 和 l3，从平面上的点 c 作点作三条直线分别与 l1 、 l2 、 l3交于 p、 r、 q，交角分别等于已知角 1 、 2 和 3，求使cpcr = kcq 2的点 c 的轨迹。如果给定四条直线（如图 5.2），则
5、求使 的c 点的轨迹。这一问题称作帕普斯四直线问题。问题还可以类似地推广到 n 条直线的情形。帕普斯曾宣称，当给定的直线是三条或四条时，所得的轨迹是一条圆锥曲线。笛卡儿在几何学第二卷中，证明了四直线问题的帕普斯结论。他的做法是这样的：记 ap 为 x， pc 为 y，经简单的几何分析，他用已知量表出 cr、 cq 和 cs 的值，代入 cpcr = cscq，就得到一个关于 x 和 y 的二次方程： y 2 = ay + bxy + cx + dx 2 (* )其中 a、 b、 c、 d 是由已知量组成的简单代数式。于是他指出，任给 x 一个值，就得到一个关于 y 的二次方程，从这个方程可以解
6、出 y，并根据他在几何学第一卷中所给的方法，用圆规直尺将 y 画出。如果我们取无穷多个 x 值，就得到无穷多个 y 值，从而得到无穷多个点 c，所以这些点 c 的轨迹就是方程（*）代表的曲线。在这个具体的问题中，笛卡儿选定一条直线（ ag）作为基线（相当于一根坐标轴），以点 a 为原点， x 值是基线的长度，从 a 点量起； y 值是另一条线段的长度，该线段从基线出发，与基线交成定角。正是于此，笛卡儿建立了历史上第一个倾斜坐标系。在几何学第三卷中，我们还可以看到笛卡儿也给出直角坐标系的例子。有了坐标系和曲线方程的思想，笛卡儿又提出了一系列新颖的想法，如：曲线的次数与坐标轴选择无关；坐标轴选取应
7、使曲线方程尽量简单；利用曲线的方程表示来求两条不同曲线的交点；以及曲线的分类等等。几何学作为笛卡儿哲学著作方法论的附录，意味着他的几何学发现乃至其它方面的发现都是在其方法论原理指导下获得的。其方法论原理的本旨是寻求发现真理的一般方法，他认为在一切领域中可以建立一种普适的推证真理的方法，这个方法就是数学方法，称之为“通用数学”。因为立足于公理之上的证明是无懈可击的，而且数学方法超乎其对象，是一个知识工具。同时他认为，代数具有作为一门普遍的科学方法的潜力，强调了代数的一般性以及它在推理程序机械化和减小解题工作量方面的价值。他由此出发提出一种大胆的计划，即：任何的问题数学问题代数问题方程求解由于通过
8、“广延”(extension)（笛卡儿对有形物广延的一种推广）的比较将一切度量问题化为代数方程问题，为此需要确定比较的基础，即定义“广延”单位，以及建立“广延”符号系统及其算术运算，特别是要给出算术运算与几何图形之间的对应。这就是笛卡儿几何学的方法论背景。当然，笛卡儿的方法论著作并没有告诉人们，在将一切问题化归为代数方程问题后将如何继续，这还是几何学需要完成的任务。几何学开宗明义，在任意选取单位线段（广延单位）的基础上定义了线段的加、减、乘、除、乘方、开方等运算。他以特殊的字母符号( a, b, c, )（广延符号系统）来表示线段，由于他可用线段表示积、幂，这样就突破了“齐次性”的束缚，而在几
9、何中自由运用算术或代数术语。运用这些算术术语又可以将一切几何问题化为关于一个未知线段的单个代数方程：z = b z2 = az + bz3 = az2 + b z + cz4 = az3 + bz2 + cz + d 几何学的主要篇幅或者说主要目标就是讨论如何给出这些方程的标准解法（由线段作图画出）。笛卡儿依下列次序对这一问题进行分类解答：(1) 一、二次方程；(2) 三、四次方程；(3) 五、六次方程； 他在几何学第一卷中从最简单的第（1）类方程出发，这相应于只用尺规作图的所谓“普通几何”问题。讨论了三种形式的二次方程：z2 = az + b2z2 = az + b2z2 = az b2 并
10、分别给出作图（解），它从本质上是利用了圆与直线的交点。以 z2 = az + b 为例，笛卡儿作一直角三角形 nlm，使其一边 lm = b，另一边 ln = ，延长斜边 mn 至 o，使 no = nl，则 om 即所求线段 z 。为了接着讨论三次及三次以上方程的作图，就需要研究曲线的性质与分类，这就引出了作为几何学第二卷与第三卷一部分的一个很长的过渡，其中包括了他的成为近代数学先兆的坐标几何。然而对笛卡儿本人来说，所有这些都不过是为了达到他的最终目标高次方程作图的准备。在这个很长的过渡之后，笛卡儿在几何学第三卷的后半部分，又回到他的主题高次方程的标准作图，利用刚得到的坐标几何工具，解决了三
11、、四次方程的作图（利用圆与抛物线的交点）和五、六次方程的作图（利用圆与比抛物线更高一次的所谓“笛卡儿抛物线”的交点），并指出，可以依此类推地解决更高次方程的作图问题。我们看到，笛卡儿几何学的整个思路与传统的方法大相径庭，在这里表现出笛卡儿与传统和权威挑战的巨大勇气。笛卡儿在方法论中尖锐批判经院哲学特别是被奉为教条的亚里士多德“三段论”法则，认为三段论法则“只是在交流已经知道的事情时才有用，却不能帮助我们发现未知的事情”。他认为“古人的几何学”所思考的只限于形相，而近代的代数学则“太受法则和公式的束缚”，因此他主张“采取几何学和代数学中一切最好的东西，互相取长补短。”这种怀疑传统与权威、大胆思索
12、创新的精神，反映了文艺复兴时期的时代特征。笛卡儿的哲学名言是：“我思故我在”，他解释说：“要想追求真理，我们必须在一生中尽可能把所有的事物都来怀疑一次”，而世界上唯一先需怀疑的是“我在怀疑”，因为“我在怀疑”证明“我在思想”，说明我确实存在，这就是“我思故我在”，成为笛卡儿唯理主义的一面旗帜。它虽然在物质与精神的关系上有所颠倒，但主张用怀疑的态度代替盲从和迷信，认为只有依靠理性才能获得真理，在当时不仅打击了经院哲学的教会权威，而且也为笛卡儿自己的科学发现开辟了一条崭新的道路。笛卡儿出生于法国都伦的拉哈耶，贵族家庭的后裔，父亲是一个律师。他早年受教于拉福累歇的耶稣会学校。1612 年赴巴黎从事研
13、究，曾于 1617 年和1619 年两次从军，离开军营后，旅行于欧洲，他的学术研究是在军旅和旅行中作出的。关于笛卡儿创立解析几何的灵感有几个传说。一个传说说，笛卡儿终身保持着在耶稣会学校读书期间养成的“晨思”习惯，他在一次 “晨思”时，看见一只苍蝇正在天花板上爬，他突然想到，如果知道了苍蝇与相邻两个墙壁的距离之间的关系，就能描述它的路线，这使他头脑中产生了关于解析几何的最初闪念。另一个传说是，1619 年冬天，笛卡儿随军队驻扎在多瑙河畔的一个村庄，在圣马丁节的前夕（11 月 10 日），他做了三个连贯的梦。笛卡儿后来说正是这三个梦向他揭示了“一门奇特的科学”和“一项惊人的发现”，虽然他从未明说
14、过这门奇特的科学和这项惊人的发现是什么，但这三个梦从此成为后来每本介绍解析几何诞生的著作必提的佳话，它给解析几何的诞生蒙上了神秘色彩，当然未必可信。事实上笛卡儿之所以能创立解析几何，主要是他艰苦探索，潜心思考，运用科学的方法，同时批判地继承前人的成就的结果。与笛卡儿怀疑、批评希腊几何学思想相反，费尔马工作的出发点是竭力恢复希腊几何，他试图恢复失传的阿波罗尼乌斯的著作论平面轨迹，从而写了一本题为论平面和立体的轨迹引论（1629）的书，他试图用他所熟悉的代数形式描述阿波罗尼乌斯的结果，在书中他清晰地阐述了他的解析几何原理，指出：“只要在最后的方程中出现两个未知量，我们就有一条轨迹，这两个量之一的末端描绘出一条直线或曲线。直线只有一种，曲线的种类则是无限的，有圆、抛物线、椭圆等等”（如图 5.4）。费尔马在书中还提出并使用了坐标的概念，不仅使用了斜坐标系，也使用直角坐标系，他所称的未知量 a、 e 实际就是“变量”，也就是我们今天所称的横坐标与纵坐标。书中费尔马解析地定义了曲线：直线方程、圆、椭圆、抛物线、双曲线以及新曲线.费尔马没有说明他解析几何思想是如何形成的，我们可以认为，他与笛卡儿的创造都是文艺复兴以来欧洲代数学复兴所带来的必然结果。
