1、线性代数复习,1,复 习 时 注 意 准确掌握每个概念 灵活应用所学定理 注意解题思路清晰 证明问题时,先用反向思维(从结论入手)分析问题,再按正向思维写出证明过程.,第一章 行列式,3,二阶行列式的计算,主对角线,副对角线,即：主对角线上两元素之积副对角线上两元素之积,对角线法则,4,一、二阶行列式,三阶行列式的计算,对角线法则,注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.,5,二、三阶行列式,沙路法则,三、行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式相等,即 .,6,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,性质3 行列式的某一行（
2、列）中所有的元素都乘以同一个倍数 ，等于用数 乘以此行列式.,推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,把 称为元素 的代数余子式,在n 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划后，留下来的n1阶行列式叫做元素 的余子式，记作 .,四、行列式按行（列）展开法则,定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,推论 行列式任一行（列
3、）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,(1) 对角行列式,(2),8,特殊行列式：,(3) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0）,(4) 下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为0）,9,例1：,则,10,第二章 矩阵及其运算,11,由 mn 个数 排成的 m 行 n 列的数表,称为 m 行 n 列矩阵，简称 mn 矩阵,记作,一、矩阵的定义,12,行数不等于列数 共有mn个元素 本质上就是一个数表,行数等于列数 共有n2个元素 是一个数,矩阵,行列式,13,行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵可记作 .只有一行的矩阵 称为行矩阵(或行向量) .只有一列
4、的矩阵 称为列矩阵(或列向量) .元素全是零的矩阵称为零距阵可记作 O .,例如：,二、特殊的矩阵,14,形如 的方阵称为对角阵特别的，方阵 称为单位阵,记作,记作 ,15,5. 纯量矩阵，对角线上的元素是相同的；对角矩阵，对角线上的数字可以是不同的。,6.对称阵：设 A 为 n 阶方阵，如果满足 ，即那么 A 称为对称阵.,如果满足 A = AT，那么 A 称为反对称阵.,对称阵,反对称阵（对角元素为0 ）,16,7.同型矩阵 两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.,例如,为同型矩阵.,两个矩阵 与 为同型矩阵，并且对应元素相等，即则称矩阵 A 与 B 相等，记作 A = B .,1
5、7,三、矩阵运算,1、矩阵的加法：设有两个 mn 矩阵 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩阵 A 与 B 的和记作 AB。,说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,18,2、数与矩阵相乘：数 l 与矩阵 A 的乘积记作 l A 或 A l ，规定为,3、矩阵与矩阵相乘： 设 ， ， 那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个 mn 矩阵 ，其中,并把此乘积记作 C = AB,19,只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.,例2：,注意： 矩阵乘法不一定满足交换律. 矩阵 ，却有 ，从而不能由 得出 或 的结论 3. 矩阵乘法不一定满足交换律，
6、但是纯量阵lE 与任何同阶方阵都是可交换的.,20,(1) 乘法结合律,(3) 乘法对加法的分配律,(2) 数乘和乘法的结合律 （其中 l 是数）,(4) 单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即,4、 矩阵的幂 若 A 是 n 阶方阵，定义,显然,思考：下列等式在什么时候成立？,A、B可交换时成立,21,四、矩阵的转置,定义：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作AT .,22,转置矩阵的运算性质,五、方阵的行列式,定义：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作|A|或detA.,运算性质,23,例1：设A为n级方阵，|A|=5，则|-6A
7、|= ？ 5*(-6)n,定义：行列式 |A| 的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下矩阵称为矩阵 A 的伴随矩阵.,元素 的代数余子式 位于第 j 行第 i 列,性质,24,定义： n 阶方阵 A 称为可逆的，如果有 n 阶方阵 B，使得,这里 E 是 n 阶单位矩阵.那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵.,根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式. 对于任意的 n 阶方阵 A，适合上述等式的矩阵 B 是唯 一的（如果有的话）.,定义： 如果矩阵 B 满足上述等式，那么 B 就称为 A 的逆矩阵，记作 A1 .,25,六、逆矩阵,定理：若 ，则方阵A可逆，而且,推论：若 ，则
8、 .,26,定理：若方阵A可逆，则 ,推论： 如果 n 阶方阵A、B可逆，那么 、 、 与AB也可逆，且,注意：如果N 阶矩阵A 或B 不可逆，则AB 必不可逆,因为:矩阵的秩越乘越小, r(AB)=minr(A),r(B),七、矩阵分块法,定义：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作 称为对矩阵进行分块； 每一个小块称为矩阵的子块； 矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.,27,定义：由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为 初等矩阵.,三种初等变换对应着三种初等矩阵. 对调单位阵的两行（列）； (2)以常数 k0 乘单位阵的某一 行（列）； (3)以 k 乘单位
9、阵单位阵的某一 行（列）加到另一 行（列） ,28,八、矩阵初等变换,有限次初等变换,矩阵 A 与矩阵 B 等价，记作,性质2 方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1, P2, , Pl，使 A = P1 P2 , Pl ,推论1 方阵 A 可逆的充要条件是 .,推论2 方阵 A 与 B 等价的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P 及 n 阶可逆矩阵 Q ，使 PAQ = B .,29,初等变换的应用,30,即,初等行变换,31,32,定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有 r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称
10、为矩阵 A 的秩，记作 R(A),规定：零矩阵的秩等于零,33,九、矩阵的秩,定义：在 mn 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k m，kn)， 位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处 的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式,概念辨析： k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式,矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数,显然， 若矩阵 A 中有某个 s 阶子式不等于零，则 R(A) s ；若矩阵 A 中所有 t 阶子式等于零，则 R(A) t 若 A 为 n 阶矩阵，则 A 的 n 阶子式只有一个，即|A| 当|A|0 时， R(A) = n
11、 ;可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵当|A| = 0 时， R(A) n ;不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵 若 A 为 mn 矩阵，则 0R(A)min(m, n) R(AT) = R(A) ,34,定理：若 A B，则 R(A) = R(B) ,35,例1、问：如果n阶矩阵A与B相似，那么A与B同时可逆或同时不可逆？,应用：根据这一定理，为求矩阵的秩，只要用初等行变换把 矩阵化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是 该矩阵的秩,例2、若可逆方阵 满足 则,例3、已知,36,例4、A 和B 都是三阶方阵，E是三阶单位矩阵，,则,如果的矩阵 则可以约去,例5、如果矩阵 满足 ，
12、则 推得 不可逆 或 不可逆,例6、设A是mn矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵B=AC，则所以有 r(B) = r(AC) = r(A),矩阵的秩的性质,若 A 为 mn 矩阵，则 0R(A)min(m, n) R(AT) = R(A) 若 A B，则 R(A) = R(B) 若 P、Q 可逆，则 R(PAQ) = R(B) maxR(A), R(B)R(A, B)R(A)R(B) 特别地，当 B = b 为非零列向量时，有R(A)R(A, b)R(A)1 R(AB)R(A)R(B) R(AB)minR(A), R(B) ,37,第三章 线性方程组,38,定理：n 元线性方程组 Ax = b 无解
13、的充分必要条件是 R(A) R(A, b)； 有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ； 有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) n ,39,一、 线性方程组的解,对于 AX = 0 必有 R(A, 0) = R(A) ，所以可从 R(A) 判断齐次线性方程组的解的情况,非齐次线性方程组,无解,否,是,无限多个解,否,是,唯一解,包含 n-R(A) 个自由变量 的通解,40,41,例1：若齐次线性方程组Ax=0中，方程的个数小于未知量的个数，则Ax=0一定有非零解,例2：若非齐次线性方程组Ax=b中，方程的个数小于未知量的个数，则Ax=b一定有无穷多个
14、解,例3：P75，6（1）,定义：给定向量组 A：a1, a2, , am 和向量 b，如果存在一组 实数 l1, l2, , lm ，使得 b = l1a1 + l2a2 + + lmam 则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组A 的线性表示,42,二、 向量组及其线性组合,定义：设有向量组 A：a1, a2, , am 及 B：b1, b2, , bl ， 若 向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向 量组 B 能由向量组 A 线性表示 若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个向量 组等价,43,推论：向量组 A：a1, a2, ,
15、 am 及 B：b1, b2, , bl 等价的充分 必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B),向量 b 能由 向量组 A 线性表示,线性方程组 Ax = b 有解,向量组 B 能 由向量组 A 线性表示,矩阵方程组AX = B 有解,向量组 A 与 向量组 B 等价,44,注意,定义,则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关,45,三、 向量组的线性相关性,定理 向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示,46,定理2,例5：已知向量组a1=（1，0，1） a2=（2，2，3） a3=（1，3，t）线性无关，求t的值 解：已知向量
16、组a1=（1，0，1） a2=（2，2，3） a3=（1，3，t）线性相关，求t的值。应该是行列式=0，通过|A|=0，求出t,47,定义,四、最大线性无关向量组,48,定理,五、向量组的秩,49,定理,六、线性方程组的解的结构,定义：设有齐次线性方程组 Ax = 0 ，如果 x1 = x11， x2 = x21，.， xn = xn1 为该方程组的解，则称为方程组的解向量,50,齐次线性方程组的解的性质,性质1：若 x = x1， x = x2 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，则 x = x1 + x2 还是 Ax = 0 的解性质2：若 x = x 是齐次线性方程组 Ax = 0 的
17、解，k 为实数，则 x = kx 还是 Ax = 0 的解结论：若 x = x1, x = x2, ., x = xt 是齐次线性方程组 Ax = 0的解， 则 x = k1x1 + k2x2 + + ktxt 还是 Ax = 0 的解.,51,基础解系的概念,定义：齐次线性方程组 Ax = 0 的一组解向量：x1, x2, ., xr 如果满足 x1，x2，.，xr 线性无关； 方程组中任意一个解都可以表示x1, x2, ., xr 的线性组合， 那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系,52,定理：设 mn 矩阵的秩 R(A) = r，则 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 的解集 S
18、的秩 RS = n r ,非齐次线性方程组的解的性质,性质3：若 x = h1， x = h2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解， 则 x = h1 h2 是对应的齐次线性方程组 Ax = 0 （导出组）的 解 性质4：若 x = h 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解， x = x 是 导出组 Ax = 0 的解，则 x = x + h 还是 Ax = b 的解,53,若 x = h* 是 Ax = b 的解， x = x 是 Ax = 0 的解，那么x = x + h* 也是 Ax = b 的解 设 Ax = 0 的通解为 x = c1x1+c2x2+cn-rxn-r 于是 Ax
19、 = b 的通解为 h = c1x1+c2x2+cn-rxn-r +h*,第四章 矩阵的特征值,54,一、向量的内积,定义：设有n 维向量令 x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn ， 则称 x, y 为向量 x 和 y 的内积 说明： 内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数 内积可用矩阵乘法表示：当x 和 y 都是列向量时， x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y ,55,x, x = x12 + x22 + + xn2 0,内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）： 对称性： x, y = y,
20、x 线性性质： l x, y = lx, yx + y, z = x, z + y, z 当 x = 0（零向量） 时， x, x = 0；当 x 0（零向量） 时， x, x 0 施瓦兹（Schwarz）不等式 x, y2 x, x y, y,56,二、向量的长度,定义：令 称 | x | 为 n 维向量 x 的长度（或范数） 当 | x | = 1时，称 x 为单位向量 向量的长度具有下列性质： 非负性：当 x = 0（零向量） 时， | x | = 0；当 x0（零向量） 时， | x | 0 齐次性： | l x | = | l | | x | ,57,三、向量的正交性,当 x, y
21、= 0，称向量 x 和 y 正交 xy 结论：若 x = 0，则 x 与任何向量正交都正交,定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组 定理：若 n 维向量a1, a2, , ar 是一组两两正交的非零向量， 则 a1, a2, , ar 线性无关,定义： n 维向量e1, e2, , er 是向量空间 中的向量， 满足 e1, e2, , er 是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）； e1, e2, , er 两两正交； e1, e2, , er 都是单位向量， 则称 e1, e2, , er 是V 的一个规范正交基,第一步：正交化施密特（Schimidt）正交化过程 设 a1,
22、 a2, , ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令于是 b1, b2, , br 两两正交，并且与a1, a2, , ar 等价，即b1, b2, , br 是向量空间 V 中的一个正交基 特别地，b1, , bk 与a1, , ak 等价（1 k r）,59,求规范正交基的方法,第二步：单位化 设 b1, b2, , br 是向量空间 V 中的一个正交基，那么令因为从而 e1, e2, , er 是向量空间 V 中的一个规范正交基,60,定义：如果 n 阶矩阵A 满足 ATA = E，即 A1 = AT， 则称矩阵A 为正交矩阵，简称正交阵 方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的行（列
23、）向量都是单位向量，且两两正交即 A 的行（列）向量组构成Rn 的规范正交基,即 A 的行（列）向量组构成Rn 的规范正交基.,61,正交矩阵具有下列性质： 正交矩阵都是可逆矩阵 若 A 是正交阵，则 A1 也是正交阵，且|A| = 1 或1 若 A 和B是正交阵，则 AB 也是正交阵,四、正交阵,定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x， 那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量Ax = l x = lE x 非零向量 x 满足 (AlE) x = 0（零向量）齐次线性方程组(AlE) x
24、= 0有非零解系数行列式 | AlE | = 0,62,五、方阵的特征值与特征向量,特征方程,特征多项式,特征方程 | AlE | = 0 特征多项式 | AlE |,63,基本性质,性质 设A为n阶矩阵，则A与AT有相同的特征值,性质2 如果n 阶方阵A的全部特征值为l1,l2, ,ln,（k重特征值算作k个特征值），则1)l1+l2+ +ln= Tr(A) (矩阵A的迹）Tr(A)=a11+ a22+ a33+ ann2) l1l2 ln|A|如果 A的行列式|A|=0,则A必有一个特征根为0,性质3 设l是可逆方阵A的一个特征值，P是它对应的特 征向量，则1/l 是A-1的一个特征值，且
25、P也是A-1 的对应于1/l 的特征向量,性质n阶矩阵A互不相同的特征值l1，l2， ，lm，对应的特征向 量x1，x2， ，xm线性无关,性质4 设l是方阵A的一个特征值，X为对应的特征向量，m是一个正 整数，则lm是Am的一个特征值，X为对应的特征向量,66,例1：设0是矩阵 的特征值，求a,有非0解，即|A|=0，即可求a,例2：已知三阶方阵A的特征值为a1,a2,a3, (均不为0），计算A的伴随矩阵的特征值和伴随矩阵的迹？,例3：求矩阵 的特征值和特征向量解：所以 A 的特征值为 l1 = 1，l2 = l3 = 2 ,67,解（续）：当 l1 = 1 时，因为解方程组 (A + E
26、) x = 0解得基础解系 ,k p1（k 0）就是对应的特征向量,68,解（续）：当 l2 = l3 = 2 时，因为解方程组 (A2E) x = 0 解得基础解系 k2 p2 + k3 p3 （k2 , k3 不同时为零）就是对应的特征向量,69,六、相似矩阵,推论 若 阶方阵A与对角阵,（1）相似矩阵有相同的秩。,若矩阵A与B相似, 则 与 也相似。,（2）相似矩阵的行列式相等。,（3）相似矩阵具有相同的可逆性，当他们可逆式，他们的逆矩阵也相似,注意：若A与B的特征值相同，A与B不一定相似。如,问：什么情况下相似？当A和B均为实对称矩阵时,例1：设A,B都是实对称矩阵，证明：存在正交矩阵
27、P， 使得 的充分必要条件是A,B的特征值全部相同 必要性: 定理。 充分性:由A,B都是实对称矩阵且A,B的特征值全部相同, 设为 a1,a2,.,an，则存在正交矩阵C,D满足: C-1AC = diag(a1,a2,.,an),D-1BD = diag(a1,a2,.,an), 所以有 C-1AC = D-1BD,所以 B = D(C-1AC)D-1 = (DC-1)A(CD-1) = (CD-1)-1A(CD-1).令 P = CD-1,则 P-1AP = B,因为正交矩阵的逆,乘积仍是正交矩阵,所以P是正交矩阵.,P-1AP=B,矩阵的相似对角化,定理3 设 是n阶矩阵 的 重特征值，如果 ，则 可以对角化。,当A可以对角化时，将A对角化并求相应变换矩阵的具体步骤是：,(1) 求A的特征值 ;,(2) 求A的线性无关的特征向量 ;,(3) 写出与A相似的对角阵 和相应的变换矩阵P:,七、实对称矩阵的对角化,利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：,2.,1.,5. 写出正交矩阵及与相似的对角矩阵.,三、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法,
