1、高等数学 I 1. 当 0x时， ,x都是无穷小，则当 0x时（ D ）不一定是无穷小. (A) (B) 22(C) )(1lnx(D) )(x2. 极限aaxsim的值是（ C ）.（A） 1 （B） e （C） aecot （D ） aetn3. 01sin)(2xaxfa在 处连续，则 a =（ D ）.（A） 1 （B） 0 （C） e （D ） 14. 设 )(xf在点 处可导，那么 hffh)2()(lim0（ A ）.（A） 3a （B） 2a(C) )(f （D） )(31f二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）5. 极限 )0(lnlim0axx的值是
2、 a.6. 由 ye2cos确定函数 y(x)，则导函数 y xeyyln2si.7. 直线 过点 M(,)13且与两平面 xyzxyz20356,都平行，则直线 l的方程为 13.8. 求函数 2)4ln(xy的单调递增区间为 （，0）和（1，+ ） .三、解答题（本大题有 4 小题，每小题 8 分，共 32 分）9. 计算极限10()limxxe.解：11ln() 2000() ln(1)limiimxxxxxe xee10.设 )(f在a，b上连续，且,)()( badtfFa，试求出 )(xF。解：xaxadtftfF)()()( xaxa tfffdtf )()(xfF11.求 3c
3、os.inx解：21sindx2221 1siiicotxC 四、解答题（本大题有 4 小题，每小题 8 分，共 32 分）12. 求 231xd.令 t21322)(1dtt原 式dt2123arcsint123613. 求函数 xy 的极值与拐点.解：函数的定义域（，+） 2)1(32)1(4xy令 0y得 x 1 = 1, x 2 = -1)x 1 = 1 是极大值点， 0x 2 = -1 是极小值点极大值 (，极小值 )(y令 得 x 3 = 0, x 4 = 3, x 5 = -x(-,- ) (- ,0) (0, 3) ( 3,+)y + +故拐点（- 3，- 2） ， （0， 0
4、） （ 3， 2）14. 求由曲线 4xy与 2x所围成的平面图形的面积 .解 :, ,x32341x() . 6060223 Sxdxd)()320 34(4360202161652715. 设抛物线 24xy上有两点 (,3)A， (,5)B，在弧 A B 上，求一点(,)Px使 AB的面积最大 .xyxx连 线 方 程 ： 点 到 的 距 离 的 面 积 10452513() Sx() ()124322 当 xSx)10 当 时 取 得 极 大 值 也 是 最 大 值x()01此 时 所 求 点 为 ，y33()另 解 ： 由 于 的 底 一 定 故 只 要 高 最 大 而 过 点 的 抛 物 线的 切 线 与 平 行 时 高 可 达 到 最 大 值 问 题 转 为 求 ，使 解 得 所 求 点 为ABCCxfx,(),() ,00200 04251213六、证明题（本大题 4 分）16. 设 ，试证 xe)(.证明：设 ),()2xf1()(2exf， ef24， 0)(,xf，因此 )(xf在（0，+ ）内递减。在（0，+）内， 0(f 在（0，+ ）内递减，在（0，+ ）内， ),0ff即 )1(2x亦即当 x0 时， e12 试证 xex)1(2.
