1、1总复习(上)一、求极限的方法：1、利用运算法则与基本初等函数的极限；、定理 若 , 则lim(),li()fxAgxB(加减运算) (乘法运算) li()f:(除法运算) ()0,lifxABgB若推论 1: ( 为正整数) lim(),li()lim()nnfxAffxA推论 2: ccx结论 1: ,linxnababn 当当 当010结论 2: 是基本初等函数，其定义区间为 D，若 ，则()fx 0x0 0lim()xffx2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质；定义 1: 若 或（ ）0li()xflim()0xf则称 是当 (或 )时的无穷小. f0定义 2: 是自变量在同一变化过程
2、中的无穷小: ,若 , 则称 与 是等价无穷小, 记为 . lim1:性质 1：有限个无穷小的和也是无穷小.性质 2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.2推论 1: 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论 2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小.定理 2(等价无穷小替换定理) 设 , ,且 存在, 则lim.lili(因式替换原则)常用等价无穷小: sin,tan,arcsin,arctn,xxxx211co,1,l1elxa0x3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则；准则 I(夹逼准则)若数列 (n=1,2,)满足下列条件: ,nyz(1) ;()nyz123(2) ,lima则数列 的极限存在, 且 .
3、xlinxa准则 II: 单调有界数列必有极限.4、利用两个重要极限。0sinlm1xx10lim()xxe1lim()xxe5、利用洛必达法则。未定式为 类型.,03定理( 时的 型): 设xa0(1) ;lim()li()xaxafF(2) 在某 内, 及 都存在且 ; Uf(x()0Fx3li()xa存 在 或 为 无 穷 大 )li(xa则 ，二、求导数和微分：1.定义导数：函数 在 处的导数：()yfx00 0000()()()limlim.x xfxff函数 在区间 I 上的导函数：yf0()()()li .xffdyxx函数的微分： ().dyfd2.导数运算法则（须记住 P14
4、0 导数公式） 函数和差积商求导法则：函数 、 可导，则：()ux()v4()()()()uxvxuxvx. 2()0uvuvxv反函数求导法则：若 的导数存在且 ，y()0y则反函数 的导数也存在且为 ()yfx1.()y复合函数求导法则(链式法则)： 可导， 可导，()ux()yfu则 可导，且()yfx.dydux隐函数求导法则:参数方程求导法则:(),xty若 则 .()0t()dytx52 ()()1tdyxdxtt3.微分运算法则三、求积分： 1.概念：原函数、不定积分。定积分是一个数，是一个和的极限形式。 1()lim()nb iiafxdfx性质 1： ()0,()()aba
5、baf fdfxd性质 2： ()b ba aafxgdxfxg性质 3： (),().bbaakfkfk是 常 数性质 4： (去绝对值, 分() )ccb bxdxdfxd 段函数积分)性质 5：baa62.计算公式： P186 基本积分表； P203 常用积分公式；第一换元法(凑微分) ： () ()()()()uxuxfxdxfxdfd221arcsinarcos,1(),2.dxxdxxx第二换元法： ()2.()()xtfdfttd7分部积分法： 3.()()()uxvduxvuxvd )反 对 幂 指 三 ”， 前 ,后uv循环解出; 递推公式有理函数积分：分部化简 ;8混合法
6、(赋值法+特殊值法)确定系数牛顿莱布尼茨公式： 4.()()()()()()b baafxdFbaFxFxf 其 中定积分换元法： 5.()()()bafxfttdb )=（换元换限，配元(凑微)不换限） 定积分分部积分法： 6.()()()b baauxvduxvuxvd 结论(偶倍奇零 )：9 若函数 为偶函数，则 。()fx 0()2()aafxdfxd若函数 为奇函数，则 f af注意:1. 利用“偶倍奇零”简化定积分的计算；2. 定积分几何意义求一些特殊的积分(如 )2204aaxd 变限积分求导四、微分和积分的应用1. 判断函数的单调性、凹凸性、求其极值、拐点、描绘函数图形 判断单
7、调性：第一步：找使 的点和不可导点。()0fx第二步：以驻点和不可导点划分单调区间，在每个区间上讨论的正负， 函数递增，()f ()0,fx()0,fx函数递减。 判断凹凸性：第一步：找使 的点和不可导点。()0fx10第二步：以这些点划分定义区间，在每个区间上讨论 的正()fx负， ，是凹区间， ，是凸区间。()0fx()0fx（拐点：左右两边 的符号相反）()fx 判断函数极值：第一步：找使 的点和不可导点。()0fx第二步：判断这些点两边 的正负，若左正右负极大值点()fx左负右正极小值点。2.1 定积分的几何应用-求面积，体积和弧长 y=f上(x)y=f下 (x)O xya b所求图形
8、的面积为： ()()aSffxd下上O xy ()xy右()x左cy所求图形的面积为： ()()dcSyyd右 左d ydy y11旋转体：由连续曲线 yf ( x)、直线 xa 、xb 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体。O xbay x()yfxy旋转体：由连续曲线 、()xy直线 yc 、 yd 及 y 轴所围曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体 2()dcVydV baf(x)2dxbaf(x)2dx。 122.3 定积分的物理应用 变力沿直线做功；水(侧)压力；引力思路: 建立坐标系，选取积分变量(如 x)，在x, x+ dx上给出微元第六 空间解析几何1. 向量
9、 在坐标轴上的投影分别为：xyzaiajk；在坐标轴上的分量分别为： 。,xyz ,xyzaijak，222|xyzaa(cos,cos)|ae2. 利用坐标作向量的线性运算(,),xyzaa (,),xyzbb，b,xxyyzza，a(,)xyza数量积(数):13|cos(,)xyzabababab 向量积(向量)xyzijkabab， ，且 ， 构成右手系，abaab,b(几何意义 : 平行四边形的面积)|sin(,)bb3向量之间的关系ab 0xyzabab/ 00yxz xyzijkaababaabbb （ ）4平面图形及其方程平面的法向量：和平面垂直的非零向量。点法式方程：设平面过
10、点 法向量 (其中00(,)Mxyz(,)nABC不全为 0), 则平面的方程为,ABC000()()()xBCz14一般方程： 0AxByCzD 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面;当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 表示平行于 x 轴的平面;Ax+Cz+D = 0 表示平行于 y 轴的平面;Ax+By+D = 0 表示平行于 z 轴的平面Cz + D = 0 表示平行于 xoy 面 的平面;Ax + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面；By + D =0 表示平行于 zox 面 的平面设平面 1的法向量为 ，111
11、(,)nABC平面 2的法向量为 ，222则两平面夹角 的余弦为 ：。12cosn平面外一点 到平面 的距离：00,Pxyz 0AxByCzD022ABCzDd5空间直线及其方程一般方程：直线可视为两平面交线，其一般式方程为： 111122220AxByCzD15方向向量: 12sn点向式方程方向向量: (,)smnp参数方程 (求交点) ,11pznyxL 02m22 . :),(1ns0s1/21cozymx000 tpzytx00,0 DzCyBxA CpBnAm:LL / 0CpBnAmsin ,pzznyymxx L: ),( CBAn),( pnms0ns0ns nsns16小结: 通过向量的点积和叉积，将对平面和直线的研究转化为法向量和方向向量的研究.
