1、高数期末考试（A）一、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）1. ,)(cos xf xfdcos)( .2. lim(coscs2221n nn.3.2121arsi dxx.二、单项选择题 (本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分)4. 13)1)( xxx .（A） (与 是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）()与是等价无穷小；（C） )x是比 )高阶的无穷小； （D） ()x是比 ()高阶的无穷小.5. (0),sin(co( xf .（A） 0)2 （B ） (01f（C） )f （D） ()f不可导.6. 若 ()0xFttd，其中 ()f在区
2、间上 (1,)二阶可导且)f，则（ ）.（A）函数 必在 处取得极大值；（B）函数 ()x必在 处取得极小值；（C）函数 在 0处没有极值，但点 (0,)F为曲线 ()yFx的拐点；（D）函数 ()F在 处没有极值，点 也不是曲线 的拐点。7. )() ,)(2)( 10xfdtfxfxf （A）2（B）2x（C） （D） .8.三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分）9. 设函数 ()yx由方程 sin()1xye确定，求 ()yx以及 (0)y.10.d17 11.1 32 )(0)( dxfxxef12. 设函数 )(f连续，10()()gftd，且 0limxA，
3、 为常数. 求 gx并讨论 x在 处的连续性.13. 求微分方程 2lnyx满足1()9y的解.四、 解答题（本大题 10 分）14. 已知上半平面内一曲线 )0()y，过点 (,)1，且曲线上任一点Mxy(,)0处切线斜率数值上等于此曲线与 x轴、 y轴、直线 x0所围成面积的 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题 10 分）15. 过坐标原点作曲线 xyln的切线，该切线与曲线 ln及 x 轴围成平面图形 D.(1) 求 D 的面积 A；(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 8 分）16. 设
4、函数 )(xf在 0,1上连续且单调递减，证明对任意的 ,01q，00()qdqfdx.17. 设函数 )(xf在 ,上连续，且0)(0xdf，cos0d.证明：在 ,内至少存在两个不同的点 21,，使 .0)()(21ff（提示：设 xdfF0)()(）解答一、单项选择题(本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）5. 6e . 6. cx2)os(1 .7. . 8. 3.三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分）9. 解：方程两边求导(1)cos()0xyycos(
5、)()xyey0,， 0110. 解： 76udu 1()2()d ln|2l|1|)7c71|xxC11. 解：012330()fdexd010()x23cossin)e 321412. 解：由 (0)f，知 (0)g。100()()xtufdgxfd(0)x02()()x020()()A()limli2xxxfudfg0200()li()lixxfu ， ()gx在 0处连续。13. 解： ndy2(l)xdexC21l39(),0yC，1ln39y四、 解答题（本大题 10 分）14. 解：由已知且 02dx， 将此方程关于 x求导得 y2特征方程： 02r解出特征根： .2,1r其通解
6、为 xeCy21代入初始条件 ()，得 3,21C故所求曲线方程为：xxey3五、解答题（本大题 10 分）15. 解：（1）根据题意，先设切点为 )ln,(0，切线方程：)(ln00xxy由于切线过原点，解出 e，从而切线方程为： xey1则平面图形面积 1012)(dyAy（2）三角形绕直线 x = e 一周所得圆锥体体积记为 V1，则23e曲线 yln与 x 轴及直线 x = e 所围成的图形绕直线 x = e 一周所得旋转体体积为 V2 1022)(dyD 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 )3125(621eV六、证明题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 12 分）
7、16. 证明：100()()qfdxfdx 100()()()qqqfxfdxf10(1)qqff12 12,1 ()()12()()0q fffq 故有： 100()()qfxdfxd证毕。17.证：构造辅助函数：xtfFx0,)()(0。其满足在 ,0上连续，在),0(上可导。 ，且 )(F由题设，有 000 )(sincocoss)( |dxFdxf，有 00sin)(xdF，由积分中值定理，存在 ),0(，使 0sin)(F即综上可知 ),(,0)()(F.在区间 ,上分别应用罗尔定理，知存在 ,01和 ,2，使 1及 02F，即 0)(21f. 高数期末试题(B)一、单项选择题 (本
8、大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分)18. (0)sinco)( xxf .（A） 02 （B ） (01f（C） )f （D） (fx不可导.19. 13)1)( .（A） (x与 是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）()与是等价无穷小；（C） )是比 )高阶的无穷小； （D） ()x是比 ()高阶的无穷小. 20. 若 (02xFtftd，其中 ()fx在区间上 (1,)二阶可导且)f，则（ ）.（A）函数 )必在 处取得极大值；（B）函数 (x必在 处取得极小值；（C）函数 在 0处没有极值，但点 (0,)F为曲线 ()yFx的拐点；（D）函数 ()F在 处没有极值，
9、点 也不是曲线 的拐点。21. )() ,)(2)( 10xfdtfxfxf （A）2（B）2x（C） （D） .二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）22. xxsin20)31(lim.23. ,(co f xfdcos)( .24. li(scoscs2221n nn.25.2121arcsin dxx.三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分）26. 设函数 ()y由方程 sin()1xye确定，求 ()yx以及 (0)y.27.d17x 28.1 32 )(0)( dxfxefx29. 设函数 )(xf连续，10()()gftd，且 0li
10、mxA， 为常数. 求 g并讨论 在 处的连续性.30. 求微分方程 2lnyx满足1()9y的解.四、 解答题（本大题 10 分）31. 已知上半平面内一曲线 )0()y，过点 (,)1，且曲线上任一点Mxy(,)0处切线斜率数值上等于此曲线与 x轴、 y轴、直线 x0所围成面积的 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题 10 分）32. 过坐标原点作曲线 xyln的切线，该切线与曲线 ln及 x 轴围成平面图形 D.(1) 求 D 的面积 A；(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 8 分）33.
11、 设函数 )(xf在 0,1上连续且单调递减，证明对任意的 ,01q，00()qdqfdx.34. 设函数 )(xf在 ,上连续，且0)(0xdf，cos0d.证明：在 ,内至少存在两个不同的点 21,，使 .0)()(21ff（提示：设 xdfF0)()(）一、单项选择题(本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）6. 6e . 6. cx2)os(1 .7. . 8. 3.三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分）18. 解：方程两边求导(1)cos()0xyyxe0
12、,， ()119. 解： 76udu 1(2)d ln|2l|1|)7c71|xxC20. 解：012330()fdexd010()x23cossin)e 321421. 解：由 (0)f，知 (0)g。100()()xtufdgxfd(0)x02()()x020()()A()limli2xxxfudfg0200()li()lixxfu ， ()gx在 0处连续。22. 解： ndy2(ln)dxyedxC21l39(),0yC，1l39y四、 解答题（本大题 10 分）23. 解：由已知且 02dx， 将此方程关于 求导得 y特征方程： r解出特征根： .2,1r其通解为 xxeCy21代入
13、初始条件 ()0，得 3,21C故所求曲线方程为：xxey3五、解答题（本大题 10 分）24. 解：（1）根据题意，先设切点为 )ln,(0，切线方程：)(ln00xxy由于切线过原点，解出 e，从而切线方程为： xey1则平面图形面积 1012)(dyAy（2）三角形绕直线 x = e 一周所得圆锥体体积记为 V1，则23e曲线 yln与 x 轴及直线 x = e 所围成的图形绕直线 x = e 一周所得旋转体体积为 V2 1022)(dyD 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 )3125(621eV六、证明题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 12 分）25. 证明：100()()qfdxfdx 100()()()qqqfxfdxf10(1)qqff12 12,1 ()()12()()0q fffq 故有：100()()qfxdqfxd证毕。26.证：构造辅助函数：xtfFx0,)()(0。其满足在 ,0上连续，在),0(上可导。 ，且 )(F由题设，有 000 )(sincocoss)( |dxFdxf，有 0sin)(xdF，由积分中值定理，存在 ),(，使 i)(即综上可知 ),0(,)()(F.在区间 ,0上分别应用罗尔定理，知存在 ,01和 ,2，使 1及 2F，即 0)(21f.
