1、试卷第 1 页，总 16 页双曲线练习题（ 20141226）1已知点 F 是双曲线 （a0，b0）的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶21xy点，过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点，ABE 是直角三角形，则该双曲线的离心率是（ ）A、3 B、2 C、 D、23【答案】B【解析】ABx 轴，又已知ABE 是直角三角形，且必有 AEBE，ABE 是等腰直角三角形，所以AEB90，AEF45，于是 AFEF不妨设 A 点在 x 轴上方，则 A（c， ） ，故 ac2b2即 b2a（ac） ，得 c2ac2a 20即 e2e20，得 e2（e1 舍去）考点：双曲线标准方程，双曲
2、线的性质，直线与双曲线位置关系2已知点 在双曲线 上，直线 过坐标原点，且直线 、,PAB12byaxABPA的斜率之积为 ，则双曲线的离心率为（ ）31A. B. C. D.252210【答案】A【解析】试题分析：因为直线 过原点，且在双曲线上，所以 两点关于原点对称，则可AB,AB设 ，所以 ， ，由题意得112,AxyyPx21Pykx21Pykx，又由 ， ，相减得2121213PABkxx21ab2ab，即 ， ，所以22110yab21ybax2.故正确答案为 A.2243ce考点：1.直线与双曲线；2.双曲线的离心率.试卷第 2 页，总 16 页3已知双曲线 的右焦点为 F，若过
3、点 F 的直线与双曲线的右支有且只有214xy一个交点，则此直线的斜率的取值范围是（ ）A. B. C. D.,33, 3,【答案】A.【解析】试题分析：双曲线 的渐近线方程是 ，过右焦点 分别作214xyxy3)0,4(F两条渐近线的平行线 和 ，由下图图像可知，符合条件的直线的斜率的范围是1l2.故应选 A.3,考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；双曲线的简单性质.4设 、 分 别 为 双 曲 线 的 左 、 右 焦 点 若 在 双 曲 线 右 支 上1F221(0,)xyab 存 在 点 ， 满 足 ， 且 到 直 线 的 距 离 等 于 双 曲 线 的 实 轴 长 ， 则 该 双P
4、21F21PF曲 线 的 离 心 率 为 （ ）A B2 C D45 35【答案】D【解析】试题分析：由已知得，在 中， = ，由双曲线定义得，12PF21Fc，过点 作 ，垂足为 ，则在 中有12PFac21M2RtPFM，化简得 ， ，得 2()()225ac30e505e3考点：1、双曲线的标准方程；2、双曲线的简单几何性质试卷第 3 页，总 16 页5已知双曲线 的离心率为 ，则此双曲线的渐近线方程)0,(12bayx 26为（ ） A. B. C. D.2yxyxxy1【答案】C【解析】试题分析：由已知得， ，故 ，所以双曲线的渐近线方223cabe2a程为 xy2考点：双曲线的标准
5、方程和简单几何性质.6对于任意给定的实数 ，直线 与双曲线 ，m03yx 0(12abyx最多有一个交点则，双曲线的离心率等于)0bA B C D22310【答案】D【解析】试题分析：由条件可得：双曲线的渐近线方程为 ，又因为直线xaby与双曲线 ， 最多有一个交点，所以直线03myx 0(12abyx)与渐近线方程 平行，所以 ，所以双曲线的离心率x3b10ace考点：双曲线的性质7已知 F2、F 1 是双曲线 - =1(a0，b0)的上、下焦点，点 F2 关于渐近线的对称2yxb点恰好落在以 F1 为圆心，|O F1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）A3 B C2 D3 2【答案】C
6、【解析】试卷第 4 页，总 16 页试题分析：设 关于渐近线的对称点为 ， 的中点为 ，连接 ，则2FPF2M1,PFO1/POM，又 ， ，点 到渐近线的距离21c2112 bacd2，即 ，bc4ae考点：双曲线性质的应用.8已知双曲线 1(a0，b0)的两条渐近线均和圆 C：x 2y 26x502xay相切，且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A 1 B 125x4y24x5yC 1 D 1236263【答案】A【解析】由 x2y 26x50 知圆心 C(3,0)，半径 r2又 1 的渐近线为 bxay0，且与圆 C 相切2ab由直线与圆相切，得 2，3ba即 5b
7、24a 2，因为双曲线右焦点为圆 C 的圆心，所以 c3，从而 9a 2b 2，由联立，得 a25，b 24，故所求双曲线方程为 1，选 Axy9设 F1，F 2分别为双曲线 1(a0，b0)的左，右焦点，若在双曲线右支上2ab存在一点 P，满足|PF 2|F 1F2|，且点 F2到直线 PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率 e 为( )A B C D4535【答案】D【解析】设 PF1的中点为 M，连接 F2M，由题意知|F 1F2|PF 2|2c，则 F2MPF 1，所以|MF 2|即为点 F2到直线 PF1的距离，故|MF 2|2a试卷第 5 页，总 16 页由双曲线的定义
8、可知|PF 1|PF 2|2a2a2c，从而|F 1M|ac，故可得(2c) 2(ac) 2(2a) 2，得 e (负值舍去)ca5310设 分别为双曲线 的左、右焦点，双曲线上存在一21F， 0,12byx点 使得 则该双曲线的离心率为P,49|,3| 121 aPFbA. B. C. D.3345【答案】B【解析】试题分析：因为 是双曲线 上一点，P210,xyab所以 ，又12Fa123FP所以， ，所以294ba 2194PFba又因为 ，所以有， ，即1294Pab2290解得： （舍去） ，或 ；3ba3所以 ，所以22224519cbea3e故选 B.考点：1、双曲线的定义和标准
9、方程；2、双曲线的简单几何性质.11已知双曲线 的一条渐近线平行于直线 ：21xyab-=()0,bl，双曲线的一个焦点在直线 上，则双曲线的方程为10y=+l（A） （B）25x-2105xy-=（C） （D）2310y-=23-试卷第 6 页，总 16 页【答案】A【解析】试题分析：由已知得 在方程 中令 ，得2,ba210yxy所求双曲线的方程为25,55,xc b，故选 A210y考点：1双曲线的几何性质；2双曲线方程的求法12已知 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是他们的一个公共点，且12,FP,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）3PA. B. C.3 D.243【答案】A
10、【解析】试题分析：设椭圆方程为 ，双曲线方程为)0(12bayx（ ） ，半焦距为 ，由面积公式得 ，)0,(12bayx1c3212b所以 ，213c令 ， ， 为参数，cos2asin1a所以 .34i2co11e所以椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 ，故选 A.考点：椭圆、双曲线的定义与性质，利用三角换元法求最值，难度中等.13过双曲线 (a0，b0)的左焦点 F(-c，0)作圆 x2+y2=a2的切线，切点为21xyabE，延长 FE 交抛物线 y2=4cx 于点 P，O 为原点，若|FE|=|EP|，则双曲线离心率为( )A B C D152342747【答案】A【解析】试题
11、分析：设曲 线 的 右 焦 点 为 ， 则 的 坐 标 为 ， 因 为 抛 物 线 为F)0,(c试卷第 7 页，总 16 页， 所 以 为 抛 物 线 的 焦 点 因 为 为 的 中 点 ， 为 的 中 点 ，cxy42F OFEFP所 以 为 的 中 位 线 ，OEP属 于 ， 因 为 ， 所 以 ， 又 ，/aE| aP2|， 所 以 |， 设 ， 则 由 抛 物 线 的 定 义 可 得c2| b2| ),(yx， ， 过 点 作 轴 的 垂 线 ， 点 到 该 垂 线 的 距 离 为 ，axcxFa2由 勾 股 定 理 ， 即 ， 因 为 ，224y )(4)(22accace所 以
12、， 因 为 ， 所 以 .012e1e15e考点：双曲线、抛物线及圆的性质，双曲线的离心率.14已知双曲线 左、右焦点分别为 ，若2(0,)xyab12,0,Fc双曲线右支上存在点 P 使得 ，则该双曲线离心率的取值范1221sinsincFP围为（ ）A(0 ， ) B( ，1)21C D( ， )(,21【答案】【解析】由已知及正弦定理知， 即 .1221sinsinacPF21|acPF设 点 的 横 坐 标 为 ， 则 ，所以， ，Po()x0exac0xeca，2ace即 ，解得 ，选 .112eC考点：双 曲 线 的 几 何 性 质 ， 正 弦 定 理 ， 双 曲 线 的 第 二
13、定 义 .15已知 是双曲线 的左右焦点，点 关于渐近线的对21,F)0,(12bayx 2F称点恰落在以 为圆心， 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）1|1OA B C D2426【答案】A【解析】试题分析：如图所示，一方面： 关于渐近线对称的点 在圆 上，依题意有：2FN1F试卷第 8 页，总 16 页且 是线段 的中点，于是 ，即有 ；另一方面：OMNF2 2NFMONF/1 12NF焦点 到渐近线的距离 ，故 ，再加上 ，于是bb2c,1在 中由勾股定理可得 ，即 ，整理得21Rt2)()(c223)(4a， ， ，故选 A.24ca4eNMO2F1yx考点：双曲线的标准方程及其几
14、何性质.16若双曲线210xyabb，的渐近线与圆 21xy相切，则双曲线的离心率为（ ） A2 B2C23D 2【答案】C【解析】试题分析：渐近线方程为 即 ，圆的圆心为 ，半径为 1。byxa0y2,0依题意可得 ，即 。因为 ，所以 。所以21bc22cab3ab。故 C 正确。3ceab考点：1 双曲线的简单几何性质；2 点到线的距离；3 直线和圆的位置关系。17已知 F 为双曲线 C： 的左焦点，P，Q 为 C 上的点若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍，点 A(5,0)在线段 PQ 上，则PQF 的周长为（ ）A.11 B.22 C.33 D.44【答案】D【解析】由双曲线 C 的方
15、程，知 a3，b4，c5，点 A(5,0)是双曲线 C 的右焦点，且|PQ|QA|PA|4b16，由双曲线定义，|PF|PA|6，|QF|QA|6.|PF|QF|12|PA|QA|28，因此PQF 的周长为|PF|QF|PQ|281644，选 D.试卷第 9 页，总 16 页18过双曲线 的左焦点 ，作圆21xyab(0,)b(,0)Fc的切线，切点为 ，延长 交双曲线右支于点 ，若224xyEP，则双曲线的离心率为（ ） OPEFA B C D101051022F1PEOy xF【答案】C【解析】试题分析：由 可知点 E 为 PF 的中点 为右焦点.连结 ,可得2OPF1F1PF且 , .又
16、 .在三角形 中1Fa1EA12,3PaP.故选 C.220()(3),cca考点：1.双曲线的性质.2.解三角形.3.直线与圆的位置关系.19已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，点 P 在双曲线21,(0,)xyabb12,F的右支上，且 ，则此双曲线的离心率 e 的最大值为 12|4|PF【答案】 .53【解析】试题分析：由定义知 ，又已知 ，解得 ，12|PFa12|4|PF183PFa，在 中，由余弦定理，得23PFa2试卷第 10 页，总 16 页，要求 的最大值，即求 的22221 891738496cos eacPF 21cosPF最小值，当 时，解得 即 的最大值为 .s2153
17、53考点：双曲线的定义，余弦定理，三角函数的最值.20若动圆 M 与圆 C1：(x4) 2y 22 外切，且与圆 C2：(x4) 2y 22 内切，则动圆圆心 M 的轨迹方程_【答案】 1(x )2x14y2【解析】如图所示，设动圆 M 的半径为 r，则由已知|MC 1|r ，|MC 2|r ，|MC 1|MC 2|2 又 C1(4,0)，C 2(4,0)，|C 1C2|82 0，b0)，则 F1(c,0)，F 2(c,0)，在PF 1F2中，由2xayb余弦定理可得|F1F2|2|PF 1|2|PF 2|22|PF 1|PF2|cos (|PF 1|PF 2|)32|PF 1|PF2|，4c
18、 24a 2|PF 1|PF2|又 SPF1F22 ， |PF1|PF2|sin 2 3|PF 1|PF2|8，4c 24a 28，c 2a 22，b 2c 2a 22，又e 2，c2a，4a 2a 22，a 2ca双曲线的标准方程为 13xy27 （本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C1：2x 2y 21.(1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的三角形的面积；试卷第 14 页，总 16 页(2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点若 l 与圆 x2y 21 相切，求证：OPOQ；【 答 案 】
19、 (1) S |OA|y| .(2)见解析。228【 解 析 】 (1)先 把 双 曲 线 的 方 程 化 成 标 准 方 程 可 求 出 a 值 ， 从 而 得 到 左顶点A ,渐近线方程：y x,然后可设出过点 A 与渐近线 y x 平行的直022线方程为 y ，即 y x1.它再与另一条渐近线方程联立解方程组可2x求出交点坐标，从而得到所求三角形的高，度显然等于|OA|，面积得解.(2) 设直线 PQ 的方程是 yxb，因直线 PQ 与已知圆相切，故 1，即 b22.|由 得 x22bxb 210 （*）2yx设 P(x1， y1)、Q(x 2，y 2)，然后证 x 1x2y 1y2x
20、1x2(x 1b)(x 2b)OPQ=2x1x2b(x 1x 2)b 2,借助（*）式方程中的韦达定理代入此式证明 0 即可.OPQ(1)双曲线 C1： y 21，左顶点 A ，渐近线方程：y x.,022过点 A 与渐近线 y x 平行的直线方程为 y ，即 y x1.2x解方程组 得2,1yx2,4y所以所求三角形的面积为 S |OA|y| .228(2)设直线 PQ 的方程是 yxb，因直线 PQ 与已知圆相切，故 1，即 b22.|由 得 x22bxb 210.2yx设 P(x1， y1)、Q(x 2，y 2)，则 12xb试卷第 15 页，总 16 页又 y1y2 (x1b)(x 2
21、b)，所以 x 1x2y 1y22x 1x2b(x 1x 2)b 2OPQ2(1b 2) 2b2b 2b 22 0.故 OPOQ.28第（1）小题满分 4 分，第（2）小题满分 6 分，第（3）小题满分 6 分.已知点 2,F为双曲线2:1(0)yCxb的左、右焦点，过 2F作垂直于 x轴的直线，在 x轴上方交双曲线于点 M，且 0123F，圆 O的方程为 2yb. （1）求双曲线 的方程；（2）过圆 O上任意一点 0(,)Qxy作切线 l交双曲线 C于 ,AB两个不同点， AB中点为 M，求证： 2AB；（3）过双曲线 C上一点 P作两条渐近线的垂线，垂足分别是 1P和 2，求 21P的值【
22、答案】 （1） ；（2）见解析；（3）21yx 212|cos9F【解析】本试题主要考查了双曲线的运用。解：（1）设 的坐标分别为 -2,FM220(,)(,)(by1 分因为点 M 在双曲线 C 上，所以 ，即 ，所以 -22011y20b2|MFb分在 21RtF中， ， 2F，所以 -21t 0213M21|3 分由双曲线的定义可知： 21|b故双曲线 C 的方程为： -4 分2yx（2）当切线 l 的斜率存在设 ，切线 l的方程为： 12(,),)AxyB(2)ykxn代入双曲线 C 中，化简得： 22()0k所以 -6 分22122816|()AAkkx试卷第 16 页，总 16 页
23、因为直线 l 与圆 O 相切，所以 ，代入上式，得2|1nk-7 分22|4|)|AABk设点 M 的坐标为 ，则(,Mxy1222,|4|nxkkO所以-8 分即 |AB|=2|OM|成立当切线 l 的斜率不存在时，(2,)(,2)(-,2)(-,)|AB=|或此 时 ABOM即 |AB|=2|OM|成立-10 分由条件可知：两条渐近线分别为 (2,)(,2)(-,2)(-,)|=|或此 时-11 分12:0,:0lxylxy设双曲线 C 上的点 P(x0,y0)，则点 P 到两条渐近线的距离分别为 -001202| ,33|AxyxyPP-13 分因为 P(x0,y0)，在双曲线 C： 上，所以21yx20xy故 -14 分2012|3AP设 -15 分121212|()|cos33|cos9A和 的 夹 角 为 ， 则FPPF-16 分
