1、CAB初三数学培优练习 班级 姓名 1矩形 ABCD 的边 AB=8， AD=6，现将矩形 ABCD 放在直线 l 上且沿着 l 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置 A1B1C1D1时（如图所示） ，则顶点 A 所经过的路线长是_2如图，在 Rt 中， 9042CB ， ， ， 分别以 AC、 B为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 （结果保留 ）3如图，AB 是O 的直径，且 AB=10，弦 MN 的长为 8，若弦 MN 的两端在圆上滑动时，始终与 AB 相交，记点A、B 到 MN 的距离分别为 h1，h 2，则|h 1h 2| 等于（ ）A5 B6 C7 D84如图 16，已知
2、Rt ABC 的直角边 AC=24，斜边 AB=25，一个以点 P 为圆心、半径为 1 的圆在 ABC 内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中 P 一直保持与 ABC 的边相切，当点 P 第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是（ ） 563B25 C 3D56A5 将半径为 4cm 的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示） ，当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是_cm. 5.已知：如图 1，把矩形纸片 ABCD 折叠，使得顶点 A 与边 DC 上的动点 P 重合( P 不与点 D， C 重合)， MN 为折痕，点 M， N 分别在边 BC， AD 上，连接 AP， MP， AM，
3、 AP与 MN 相交于点 F O 过点 M， C， P(1)请你在图 1 中作出 O(不写作法，保留作图痕迹)；(2) 与 是否相等？请你说明理由；AD(3)随着点 P 的运动，若 O 与 AM 相切于点 M 时， O 又与 AD 相切于点 H设 AB 为 4，请你通过计算，画出这时的图形(图 2，3 供参考) AB CF PMN DFMN DO PCBAAB CPO DNMF6.定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径. 如图 1，损矩形 ABCD， ABC= ADC=90，则该损矩形的直径是线段 . 在线段 AC 上确定一点 P，使损矩形
4、的四个顶点都在以 P 为圆心的同一圆上(即损矩形的四个顶点在同一个圆上)，请作出这个圆，并说明你的理由. 友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹如图 2， ABC 中， ABC90，以 AC 为一边向形外作菱形 ACEF， D 为菱形 ACEF 的中心，连结 BD，当 BD平分 ABC 时，判断四边形 ACEF 为何种特殊的四边形？请说明理由. 若此时 AB3， BD ，求 BC 的长. 42图 16AB CD图 1EFDCBA图 2yxyx图图图图9EMRQPBAABOooA BCDEFP.OG（图 1）.A BCDE.OG（图 2）7.已知：AB 是O 的直径，弦 CDAB
5、于点 G，E 是直线 AB 上一动点（不与点 A、B、G 重合） ，直线 DE 交O于点 F，直线 CF 交直线 AB 于点 P.设O 的半径为 r.（1）如图 1，当点 E 在直径 AB 上时，试证明：OEOPr2（2）当点 E 在 AB（或 BA）的延长线上时，以如图 2 点 E 的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由.8.如图 9，在直角坐标系 xoy 中，O 是坐标原点，点 A 在 x 正半轴上，OA= cm，点 B 在 y 轴的正半轴上，32OB=12cm，动点 P 从点 O 开始沿 OA 以 cm/s 的速度向点 A 移动，动点 Q 从点
6、 A 开始沿 AB 以 4cm/s 的速度32向点 B 移动，动点 R 从点 B 开始沿 BO 以 2cm/s 的速度向点 O 移动.如果 P、Q、R 分别从 O、A、B 同时移动，移动时间为 t（0t6）s.（1）求OAB 的度数.（2）以 OB 为直径的O 与 AB 交于点 M，当 t 为何值时，PM 与O 相切？（3）写出PQR 的面积 S 随动点移动时间 t 的函数关系式，并求 s 的最小值及相应的 t 值.（4）是否存在APQ 为等腰三角形，若存在，求出相应的 t 值，若不存在请说明理由.9我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆例如线段 的最小覆盖圆就是以B线段
7、 为直径的圆AB（1）请分别作出图 1 中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ；（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明） ；（3）某地有四个村庄 （其位置如图 2 所示） ，现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村EFGH， ， ，庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小） ，此中转站应建在何处？请说明理由10一种电讯信号转发装置的发射直径为 31km现要求：在一边长为 30km 的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市问：（1）能否找到这
8、样的 4 个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由 （下面给出了几个边长为 30km 的正方形城区示意图，供解题时选用）图 2 图 3 图 4A ABB CC80 10 G32.498HEF5.07.1.50【解】 （1）证明：连接 FO 并延长交 O 于 Q，连接 DQ.FQ 是O 直径，FDQ90. QFDQ 90. CDAB ，PC90.QC，QFD P.FOEPOF，FOEPOF. .OE OPOF 2r 2
9、.OEFP（2）解：（1）中的结论成立.理由：如图 2，依题意画出图形，连接 FO 并延长交O 于 M，连接 CM.FM 是O 直径，FCM90，MCFM90.CDAB ，ED90.MD，CFME. POFFOE，POFFOE. ，OE OPOF 2r 2.PFO【思路分析】 （1）要证等积式，需要将其化为比例式，再利用相似证明. 观察图形，此题显然要连半径 OF，构造 OE、OP 所在的三角形， 这样问题便转化为证明FOEPOF 了. 而要证明FOEPOF，由于已经存在一个公共角，因此只需再证明另一角对应相等即可，这一点利用圆周角定理及其推论可获证，且方法不惟一；（2）同（1）类似.1 （0
10、8 年江苏连云港 25 题）解：（1）如图所示： 4 分（注：正确画出 1 个图得 2 分，无作图痕迹或痕迹不正确不得分）（2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆； 6 分若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆 8 分（3）此中转站应建在 的外接圆圆心处（线段 的垂直平分线与线段 的垂直平分线的交点处）EFH EFEH 10 分理由如下：由 ，47.835.12.9HEFG， ，50.故 是锐角三角形，所以其最小覆盖圆为 的外接圆，图 1A ABB CC80 10（第 25 题答图1）G32.498HEF5.07.1.50（第 2
11、5 题答图 2）Myx图10M图R图QP ABOo设此外接圆为 ，直线 与 交于点 ，OAEGAEM，则 50.3.8EMFHF故点 在 内，从而 也是四边形 的最小覆盖圆GH所以中转站建在 的外接圆圆心处，能够符合题中要求 12 分2 （2008 年无锡）解：（1）将图 1 中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这 4 个转发装置安装在这 4 个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为 ，每个转发装置都能完1302531A全覆盖一个小正方形区域，故安装 4 个这种装置可以达到预设的要求 （3 分） （图案设计不唯一）（2）将原正方形分割成如图 2 中的 3 个矩形，使得 将每个
12、装置安装在这些矩形的对角线BEDGC交点处，设 ，则 ， AEx0Dx15H由 ，得 ，BG2215()， ，51604x20.34B即如此安装 3 个这种转发装置，也能达到预设要求 （6 分）或：将原正方形分割成如图 2 中的 3 个矩形，使得 ， 是 的中点，将每个装置安装在这些矩形1BECD的对角线交点处，则 ， ， 216AE6，即如此安装三个这个转发装置，能达到预设要求 （6 分）(06)5.8DE要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点如图 3，用一个直径为 31 的 去OA覆盖边长为 30 的正方形 ，设 经过 ， 与 交于 ，连 ，则BCDOA， AEB，
13、这说明用两个直径都为 31 的圆不能完全覆盖正方形 21312A CD所以，至少要安装 3 个这种转发装置，才能达到预设要求 （8 分）评分说明：示意图（图 1、图 2、图 3）每个图 1 分解：（1）在 RtAOB 中：tanOAB= 312OABOAB=30（2）如图 10，连接 OP，O M. 当 PM 与O 相 切时，有PM O =PO O =90，PM O PO O 由（1）知OBA=60O M= OBO BM 是等边三角形B O M=60可得O O P=M O P=60OP= O O tanO O P=6tan60= 36A DCB图 1B FDA EHO图 2 图 3DCFBEA
14、OyxDHQ3Q2图11Q1PBAo又OP= t32 t= ，t=36即：t=3 时，PM 与O 相切.（3）如图 9，过点 Q 作 QEx 于点 EBAO=30，AQ=4tQE= AQ=2t21AE=AQcosOAB=4t t32OE=OA-AE= - t31Q 点的坐标为（ - t，2t）SPQR = SOAB -SOPR -SAPQ -SBRQ= )321(2)312()(22 ttttt = 3763tt= （ ）18)(260 t当 t=3 时，S PQR 最小 =（4）分三种情况：如图 11.当 AP=AQ1=4t 时， 1OP+AP= 32 t+4t=t= 6或化简为 t= -18312当 PQ2=AQ2=4t 时 2过 Q2点作 Q2Dx 轴于点 D，PA=2AD=2A Q 2cosA= t4即 t+ t =t=2当 PA=PQ3时，过点 P 作 PHAB 于点 H 3AH=PAcos30=（ - t） =18-3t1232AQ3=2AH=36-6t得 36-6t=4t，t=3.6综上所述，当 t=2，t=3.6，t= -18 时，APQ 是等腰三角形.31
