1、2.3 函数值域的求法,2019年11月20日星期三,高中数学,知识回顾,函数 y = f ( x ),自变量x的取值范围为 _ 因变量y的取值范围为 _,定义域,值域,函数的值域,1:在初中我们学习了哪几种函数?函数表达式是什么?它们的定义域各是什么?,一次函数 :,反比例函数:,二次函数 :,y=ax+b(a0),定义域为R,定义域为x|x 0,f(x)=ax2+bx+c(a0),定义域为R,值域 呢?,值域为y|y 0,当a0时，值域为:, ,当a0时，值域为:, ,值域为R,常用的求函数的值域的方法有以下几种：,1.直接法 2.配方法 3.换元法 4.判别式法 5.分离系数法 6图像法
2、,1.直接法：有的函数的结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察求出函数的值域。,例1：求函数 的值域,二、配方法：,形如 y=ax2+bx+c(a0) 的函数常用配方法求函数的值域, 要注意 f(x) 的取值范围.例2 (1)求函数 y=x2+2x+3 在下面给定闭区间上的值域: -4, -3; -4, 1; -2, 1,三：换元法,通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无理函数化为代数函数来求函数值域的方法(关注新元的取值范围). 例3 求函数 的值域:注：换元法是一种非常重工的数学解题方法，它可以使复杂问题简单化，但是在解题的过程中一定要注意换元后新元的取值范围。,3、
3、求下列函数的值域： （1）y = x +,解：设 t =,则 x = 1 t 2 且 t 0,y = 1 t 2 + t,由图知：,故函数的值域为,（2）y = 2x 3 +,解：设 t =,由图知：,故函数的值域为：,四、判别式法,例4 求函数 y = 的值域.,能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函数的值域.,求函数 y = 的值域,解：由题知 x R，则有,2yx 2 + 2yx + y = x 2 2x 3,( 2y 1 )x 2 + 2( y + 1 )x + ( y + 3 ) = 0,故函数的值域为 4，1 ,例5、求下列函数的值域: (1) y
4、 =,解：由,故函数的值域为,分离常数法-可将其分离出一个常数,练习求下列函数的值域,(1)y=3x+2(-1x1) (2),解:(1),-33x3,-13x+25,即-1y5,值域是-1，5,y=,-1x1,解:(2),y1,即函数的值域是 y| yR且y1,（3） 求下列函数的最大值、最小值与值域：, y=x2-4x+1 y=x2-4x+1 x3,4 y=x2-4x+1 , x0,1 y=x2-4x+1 x0,5,解：, y=x2-4x+1,= (x-2)2-3,顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.,(对称轴x=2),抛物线的开口向上，函数的定义域R,x=2时，ymin=-3 ,无最大值；
5、函数的值域是y|y-3 .,当x=3时，y= -2,x=4时，y=1,在3,4上,ymin =-2， ymax =1；,值域为-2，1.,顶点横坐标2 3,4，,解略:,解,顶点横坐标2 0,5,当x=0时，y=1,x=2时，y=-3,x=5时，y=6,在0,1上， ymin =-3， ymax =6,值域为-3，6.,课堂作业,求下列函数的值域： （1）y = （2）y = （3）y = x2+4x+3 (-3x1) （4）y =3-2x-x2 x-3,1,变式:(1)求函数 的值域,(2)求函数 , x 3,5 的值域,（5）、求下列函数的值域: （1）y = | x + 1 | | 1 x |,解：由 y = | x + 1 | | x 1 |,当 x 1 时，y = ( x + 1 ) + ( x 1 ) = 2,当 1 x 1 时，y = ( x + 1 ) + ( x 1 ) = 2x,当 x 1 时，y = ( x + 1 ) ( x 1 ) = 2,由图知： 2 y 2,故函数的值域为2 ， 3 ,
