1、第十一章 现代信号处理技术,这里只介绍时频分析、高阶谱分析、小波分析和独立成分分析及其在生物医学信号处理中的应用 第一节 时频分析(Time-Frequency Analysis) 一、时频分析的基本方法 一般来说, 时频分析方法具有很强的能量聚集作用, 不需知道信号频率随时间的确定关系, 只要信噪比足够高, 通过时频分析方法就可在时间频率平面上得到信号的时间频率关系。时频分析主要用来寻找信号的特征。时频分析方法主要采用一些特殊的变换来突出信号的特征点,在非平稳信号的处理中具有突出的优越性。,二、短时傅立叶变换(Short Time Fourier Transform , STFT ),我们将
2、一个信号的STFT定义如下:(11-1)其中h(t) 是窗函数. 沿时间轴移动分析窗, 我们可以得到两维的时频平面。STFT 方法最大的优点是容易实现。 STFT 分析实质上是限制了时间窗长的Fourier分析. STFT只能选定一个固定的窗函数, 且STFT 分析受限于不确定性原理, 较长的窗可以改善频域解但会使时域解变糟; 而较短的窗尽管能得到好的时域解, 频域解却会变得模糊。,三、Wigner-Ville 分布(WVD),实际信号s(t) 的Wigner-Ville 分布定义为:(11-2)式中: x(t)为s(t)的解析信号。 在Wigner-Ville 分布中使用解析信号x(t)而不
3、是原实际信号s(t)的优点在于: 第一,解析信号的处理中只采用频谱正半部分,因此不存在由正频率项和负频率项产生的交叉项；第二,使用解析信号不需要过采样,同时可避免不必要的畸变影响。,四、Choi-Williams 分布(CWD),WD分布来源于广义时频分布，定义为：(11-3),通常,在处理幅度和频率变化较大的信号时取较大的R(R1)值;反之,则取较小R(R1) 值。CWD满足多数所希望的时频特性,其抑制交叉项的能力还取决于被分析信号的时频结构。因此,实际应用中需要综合考虑。,五、Cone 核分布(CKD) 等,当核函数 时，广义时频分布进一步变成Cone核分布：(11-4)式中， 。,CKD
4、 具有较好的抑制横向交叉项的能力, 适合处理这样的信号, 即在一个小的范围内频率分布是正值, 而在此之外频率分布是负值, 参数R确定范围的大小。,六、Hilbert变换与瞬时频率,对任意时间序列x(t), 可得到它的Hilbert 变换:(11-5),定义瞬时频率为:(11-6) 定义了瞬时频率, 就可以得到信号各个时间点的频率变化情况。比起传统的小波分析等方法, 这种计算频率的方法不再受限于不确定性原理（还比如傅氏变换）。然而需要指出的是, 瞬时频率是时间的单值函数, 因而在任意给定时刻只有一个频率值, 也就是说它只能描述一种成份。对于单成份的信号, 它才能够给出比小波分析更为精确的时频描述
5、。,第二节 高阶谱分析,采用高阶累计量方法处理生理信号，它的主要优点有：抑制加性有色噪声；辨识非最小相位系统；抽取由于高斯性偏离引起的各种信息；既包含幅度信息又包含相位信息。利用高阶统计量进行频谱分析，存在着经典法和参数模型法。经典法利用快速傅里叶变换及加窗技术进行谱估计，要求有较长的观测数据，否则，估计的方差很大且分辨率低，根源还是傅立叶变换的缺点。针对这一情况，多采用基于三阶累积量的非高斯AR模型法进行参数化双谱估计。 与功率谱分析比较，运用基于高阶累计量的谱估计算法估计信号，消除了高斯噪声的影响，使估计结果更准确，并且保留了信号的相位特性，提供更多的内在信息。,第三节 小波分析基础,小波
6、分析包括小波变换到小波基的构造以及小波的应用一系列的知识，本节简单地介绍一下小波分析的产生、发展、基本要素以及一维小波变换，连续小波变换等小波基础。 一、小波的引入 小波分析是傅立叶分析最辉煌的继承、总结和发展。1. Fourier变换 1822年，Fourier正式出版推动世界科学研究进展的巨著热的解析理论（The Analytic Theory of Heat）。由于这一理论成功地求解了困扰科学家150年之久的牛顿二体问题微分方程，因此Fourier分析成为几乎每个研究领域科学工作者乐于使用的数学工具，尤其是理论科学家。目前，Fourier的思想和方法得到广泛应用。,2. Fourier分
7、析的主要内容,从本质上讲，Fourier变换就是一个棱镜（Prism），它把一个信号函数分解为众多的频率成分，这些频率又可以重构原来的信号函数，这种变换是可逆的且保持能量不变。图11-1 傅立叶变换与棱镜,二、小波分析的发展历程,1.小波分析起源与追踪 1981年，Morlet仔细研究了Gabor变换方法，对Fourier变换与加窗Fourier变换的异同、特点及函数构造做了创造性研究，首次提出了“小波分析”概念，建立了以他的名字命名的Morlet小波。 2. 多分辨分析及Mallat算法的建立Mallat与Meyer创立多分辨分析和Mallat算法。 3. Daubechies小波的提出 D
8、aubechies建立了著名的Daubechies小波，这种小波是目前应用最广泛的一种小波,不能用解析公式给出，只能通过迭代方法产生，是迭代过程的极限。,三、小波分析的基本思想、基本原理与基本方法,1 小波分析的主要内容 小波基的构造与选择，快速小波算法 ,对小波变换本身的研究 ,对应用场合的合理把握.定义 函数(t)是小波函数，如果它满足（11-16） 或者定义（11-16）对小波函数的要求非常宽松，只要具有一定振荡性即某种频率特性即可。这就为小波函数的选择提供了十分广阔的空间。小波函数（t）的平移和伸缩2-j/2（2-jt-k）|j,kZ 构成L2（R）的一组正交小波基。,2 小波函数,3
9、 尺度函数,定义函数是尺度函数，如果它满足条件 （） A，B为正常数。（）kZ，k0，m0，1，.，L1。 （III）尺度函数有两个重要作用：（1）它给出分析的起始点；（2）它使得快速计算小波系数成为可能。,4 小波包,不严格地讲，小波包就是一个小波函数与一个摆动振荡函数的乘积。小波包的严格数学定义如下 : 定义: 设（t）, （t）分别为小波函数与尺度函数，g(n),h(n)分别为高通滤波器与低通滤波器系数，g(n)=（-1）nh（1-n），令(11-21) 于是有(11-22)则由(11-23)定义的函数n,n=2+1,=0,1,称为关于正交尺度函数0= 的小波包。,四、一维小波分析,1
10、小波变换 小波变换指信号与局部化特性良好的小波函数的内积，即 。设信号 ， 为母小波函数， 。a是非零实数，b是实数。那么的小波变换为(11-24) 如果为实函数，那么上式变成(11-25),2 连续小波变换,假定 、 的窗函数的中心与半径分别为 ， ，则 及其Fourier变换的窗函数中心与半径分别为 ， ，于是连续小波变换就形成了对时间t和频率w能同时局部化的时间频率窗这就是著名的连续小波变换时间频率窗。正因为如此，小波可以在时频（t，w）两相精确定位，而被誉为数学的显微镜。,3 离散小波变换,设信号 取离散值 ， 为有限能量信号， 为母小波函数， ，则离散式 ， 那么离散小波变换为：(1
11、1-27),4 一维Mallat算法,设尺度函数为 ，对应的小波函数为 ，满足尺度方程其中 ，同时可以构造相应的MRA系统。那么 信号 在尺度j下所平滑的信号 为(11-29),在尺度j下的细节信号 为(11-30) 信号分解的过程是j1尺度到j尺度的逐步分解过程，即对信号从分辨率高到低的过程，具体是把 分解为 和 ，总结如下：(11-31),第五节 独立成分分析技术,一、ICA的定义,假设我们获得了n个线性混合信号：j=1n （11-34） 即： （11-35）混合向量x1，xn构成矩阵X，s1，sn构成矩阵S，混合矩阵A的元素是aji。那么（11-35）式可以写成：（11-36） 方程（1
12、1-36）的统计模式被称为独立成份分析或ICA模式，,图11-5 ICA混合模式 图11-6 分离独立成份模式,二、独立性,数学上，独立性可以由概率密度来解释。令p(y1,y2)为联合概率密度函数，p(y1)为边缘概率密度函数，那么：（11-38） 同理可得p(y2)。变量y1和y2相互独立，当且仅当满足下式：（11-39）,四、ICA估计的原理,非高斯就是独立的 直观地讲估计ICA模型的关键就是非高斯性。2. 峰度值（Kurtosis） 经典的测量非高斯性就是峰度值（kurtosis）或四阶累积量。y的峰度值定义为：（11-43）3. 负熵（Negentropy）和负熵近似（Approxim
13、ations of Negentropy） 负熵在某些简单假设下熵就是随机变量的编码长度。离散随机变量Y的熵H 定义为：（11-46）ai是Y的可能值。,随机向量y及其密度f(y)的微熵定义为：（11-47） 信息理论的一个基本结论是：在所有相同方差下的随机变量中，高斯变量有最大的熵。 为了让获得的非高斯性测量一直为非负值（高斯变量为0），我们经常采取对微熵的形式做一修改的办法，称为负熵。负熵J定义为：（11-48） ygauss是与y具有同样协方差矩阵的高斯随机变量。可见负熵一直非负，当且仅当y是高斯分布是为0。负熵的另一个有意义的特性是它对可逆线性变换无变化。,(2) 负熵近似 4 互信息
14、量最小化 互信息量(3) 互信息量定义的ICA 既然互信息量是随机变量独立性的信息理论测量法，我们就可以用之作为寻找ICA变换的判句。,近似负熵的经典方法是采用高阶矩。,采用微熵的概念定义m（尺度）随机变量的互信息量为：（11-53） 互信息量是随机变量间独立的自然测量。事实上它等效于联合密度f(y)和边缘密度乘积之间的著名Kullback-Leibler分散。它为零，当且仅当变量统计独立。,5 极大似然估计,一个更常用的估计ICA模型的方法是极大似然估计，它与信息极大原理密切相关。(1) 信息极大原理 假设x是输入，输出的格式是，是一些非线性尺度函数，wi是神经元的权向量。使输出的熵最大化：
15、（11-58） 如果选择得当，这个框架也能够估计ICA模式。可以证明网络熵最大化或信息极大原理相当于极大似然估计。显然极大似然估计ICA的原理就是求解神经网络输出的最大熵，也是一个最优化问题。(2) 极大似然估计与互信息量的联系,为了考察极大似然估计和互信息量间的联系，考虑对数似然（方程11-57）的期望：（11-59） 如果fi等于的实际分布（因为我们起先假设它为si的分布），上式左边第一项等于，因此似然等于负的互信息量加一个额外的常数。实际应用时，这种联系更强烈。因为实际应用中我们不知道独立成份的分布。作为极大似然估计的一部分，用一个合理的方法估计 的密度，并用它作为si的密度的近似，此时
16、似然法和互信息对于所有的实际目的是等效的。,五、快速ICA算法,ICA预处理 一些非常有用的预处理 （1）中心化（centering） 最基本的和必须的预处理是给x定中心 . （2）白化（whitening） 一个最普通的白化方法是用协方差矩阵特征值分解。 由矩阵分析理论可知，必存在一个正交阵E使ExxT=EDET，E是ExxT的特征值的正交矩阵，D是ExxT的特征值构成的对角阵。用下述的方法实现白化：,（11-61）,D-1/2是D中每一个元素开1/2次方， 称为白化阵，由它很容易证明（11-60）式。白化把混合矩阵A变成了一个新的矩阵，因为：（11-62）(3) 进一步预处理（further preprocessing）ICA获取数据的成功严重地依赖于某些应用相关的预处理步骤。 2. 快速ICA（the FastICA） FastICA算法的基本格式是：,同时可见白化减少了估计参数的个数。白化解决了ICA问题的一半。,a.选择初始权向量w（可以随机选择），设置收敛误差。b.计算 。c.计算，即归一化 。d.判断w的收敛性： 是否大于或小于。如果小于则收敛，否则重复2，3，4步。 e.收敛结果可能是-w或+w，又一次说明了独立成份的强度不能唯一重构。,
