1、1、已知式中=100HZ,以采样频率=400Hz对进行采样，得到采样信号和时域离散信号，试完成下面各题：（1）写出的傅里叶变换表示式；（2）写出和的表达式；（3）分别求出的傅里叶变换和的傅里叶变换。解：（1） 上式中指数函数和傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，它的傅里叶变换可以表示成：（2）2、用微处理器对实数序列作谱分析，要求谱分辨率，信号最高频率1KHz,是确定以下各参数：（1）最小记录时间（2）最大取样时间（3）最少采样点数（4）在频带宽度不变的情况下将频率分辨率提高一倍的N值。解：（1）已知（2） （3） （4）频带宽度不变就意味着采样间隔不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实频
2、率分辩率提高1倍（变成原来的）3、在时域对一有限长的模拟信号以4KHZ采样，然后对采到的N个抽样做N点DFT，所得离散谱线的间距相当于模拟频率100HZ。某人想使频率能被看得清楚些，每50HZ能有一根谱线，于是他用8KHZ采样，对采到的2N个样点做2N点DFT。问：他的目的能达到吗？答：不能，因为他忽略了数字频率和模拟频率的区别。 提高采样频率 ， 固然大了，数字频率（单位圆）上的样点数确实增加了，但从模拟频率谱看，样点一点也没有变得密集，这是因为数字频率总是对应模拟频率 。采样频率由到2 增加一倍，也增加一倍，但模拟频率的采样间隔 一点也没有变。所以，增大采样频率，只能提高数字频率的分辨率
3、，不能提高模拟频率的分辨率。4、在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，他们分别起什么作用？解：在 变换之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称为“抗折叠”滤波器。 在 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称为“平滑”滤波器。5、已知，分析其因果性和稳定性。解： 的极点为，（1） 收敛域，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应，这是一个因果序列，但不收敛。（2） 收敛域，对应
4、的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应，这是一个非因果且不收敛的序列。（3） 收敛域，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应，这是一个收敛的双边序列。6、什么叫做数字滤波器？FIR和IIR的比较和各自的设计方案？答：所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。FIR：有限脉冲响应滤波器IIR：无限脉冲响应滤波器 IIR极点可存在与单位圆的任何地方,有较强的幅度选择性,但相位特性差。 FIR相位呈线性，但幅度特性需高阶才可调节的较好。 FIR计算不产生振荡,误差影响小,可以采
5、用FFT算法。 IIR有稳定问题，有限字长可能产生振荡，同阶递归算法速度受到限制。 IIR可用模拟滤波器成果，得到有效的封闭式公式，设计工作量小，要求低。 FIR仅窗函数有公式，但无显式表达通、阻带，需要计算机辅助设计。 IIR设计已规格化，频率特性为分段常数的滤波器。 FIR主要适应特殊应用，且高阶IIR不易达到指标的滤波器。数字滤波器设计直接设计：原型变换（由一低通经过频率变形设计低通、高通、带通、带阻等）频域设计（零、极点配置；幅度平方函数），时域设计（帕德（Pade）逼近；波形形成） 优化技术设计（依据一定的优化准则进行设计）数字滤波器设计线性相位： 零点的镜像存在。偶对称： 奇对称：
6、窗函数（时域加权平均）：矩形，三角，余弦，布莱克曼(Blackman)系列，凯塞(Kaiser)系列，高斯频率取样：在H(z)的单位圆上等分取样(是否带初相)优化技术设计：（依据一定的优化准则进行设计）7、有一连续信号式中， ,1) 求的周期；2) 用采样间隔T=0.02S对进行采样，写出采样信号的表达式；3) 画出对应的时域离散信号（序列的波形，并求出的周期。解：（1）的周期是（2）（3）的数字频率为，周期。，画出其波形如题12解图所示。8：长度为N=10的两个有限长序列 作图表示、和(圆周卷积)，循环卷积区间长度L=10。解：、和分别如题3解图（）、（）、（）所示9：若序列是因果序列，其傅
7、里叶变换的实部为，求序列的及其傅里叶变换H(ejw)。解：10、什么是宽平稳随机过程？什么是严平稳随机过程？它们之间有什么联系？答：若一个随机过程的数学期望与时间无关，而其相关函数仅与有关，则称这个随机过程是宽平稳的或广义平稳的。所谓严平稳随机过程是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。严平稳的随机过程一定是宽平稳的，反之则不然。11、写出香农公式表示式，简述香农公式的含义？答：若噪声的单边功率谱密度为，则在信道带宽内的噪声功率为。香农公式可以表示为：。香农公式的意义：公式表明增大信号功率或减小噪声功率（或减小噪声功率谱密度）可以增加信道容量，增大信道带宽也可以增加信道容量，但不
8、能使信道容量无限制增大。香农公式给出了通信系统所能达到的极限信息传输速率。12、为消除码间干扰，基带系统特性应满足什么条件？答：码间干扰是指接收信号中除当前码元波形以外的其它码元波形在当前抽样时刻的总和，它对当前码元ak的判决起着干扰作用，所以称为码间干扰。若想消除码间干扰应有，假设延迟，无码间串扰的基带系统应满足： 时域条件：频域条件为： 13、某宽带调频系统，调制信号为，载频，最大的频率偏移，信道噪声的单边功率谱密度。若要求系统解调器输出信噪比为30dB。试求：（1） 调频指数 ？（2） 调频信号的带宽 ？（3） 调频信号的频域表达式？解： （1）（2） 得： 故14、已知电话信道的带宽为
9、3.4kHZ，信道输出信噪比S/N=30dB,该信道输出128个符号，个符号等概率出现且相互统计独立，试求：（1） 该电话信道的信道容量。（2） 无误码时最高的传输符号速率。解：（1） （2） 取模的平方FFT观测数据x(n)15、自设试题： 1/N（1）在描述随机信号的频率特性时为什么不用信号的傅里叶变换而改用功率谱估计？（2）观察上述框图，说出这是哪一种经典功率谱估计的方法，并写出描述估计关系式。（3）根据维纳-辛钦定理及相关估计方法写出另一种经典功率谱估计描述估计关系式，结合框图或关系式说明上述框图所示方法的优点。（4）两种经典功率谱估计都有一个致命的缺点，请简要说明并写出常用的改进方法
10、的名称。解：1.对于随机信号，其傅里叶变换并不存在，因此转向研究其功率谱。2.图中所示的是周期图法3. 周期图法简单，不用估计自相关函数，且可以用FFT进行计算。4.经典谱估计得致命缺点是频率分辨率低，其原因是傅里叶变换域是无限大，而用作估计的观察数据只有有限个，认为剩余的数据为0，造成系统偏差。改进的方法有：1.平均周期法2.窗函数法3.修正的周期图求平均法。16、如图所示的RC电路，若输入电压的功率谱密度为X（），求输出电压的功率谱密度Y（）。RCY()X()解：RC电路系统的频率响应函数为 H（） = = H（）= 由线性系统的输出谱密度与输入谱密度之间的关系可得：Y（） = H（）*
11、X（）= 17、已知LTI系统的传输函数为h（t），输入是实平稳随机过程X（t），输出是Y（t），求三者间的关系？解：平稳随机过程经过LTI系统输出还是平稳随机过程，所以其中是卷积运算。18、常用的自适应滤波理论与算法有哪些？从理论上讲，自适应滤波问题没有惟一的解。为了得到自适应滤波器及其应用系统，可以采用各种不同的递推算法，这些自适应算法都有各自的特点，适用于不同场合。常用的自适应滤波理论与算法有：（1）、基于维纳滤波理论的方法。（2）、基于卡尔曼滤波理论的方法。（3）、基于最小二乘准则的方法。（4）、基于神经网络理论的方法。19、简述自适应信号处理技术的应用 自适应滤波处理技术可以用来检测
12、平稳的和非平稳的随机信号。常应用于：（1）、自适应滤波与逆滤波。（2）、系统辨识。（3）、自适应均衡。（4）、自适应回波抵消。（5）、自适应噪声抵消与谱线增强。（6）、自适应谱估计。（7）、自适应波束形成。（8）、自适应神经智能信息处理。（9）、盲自适应信号处理。20、设为一随机电报信号，其样本函数如图1所示，取+1，-1概率相等，在时间间隔内波形变号次数服从参数为的泊松分布，即：求的自相关函数。10-1t解：在时间间隔内可能变号偶次，将同时去+1或-1，若变号奇次，将异号。当时， 显然当时，21、设，其中和是相互独立的随机变量，在（0，）均匀分布，试讨论的平稳性和各态历经性。解：所以，是广义
13、平稳过程。因此，具有均值各态历经性。因此，不具有自相关函数各态历经性。22、从最速下降法出发： 其中，是第j+1个抽样时刻的滤波器权矢量， 控制收敛稳定性和速率， 是误差-性能曲面的真实梯度，推导自适应噪声消除的 Widrow-Hopf 的LMS算法。解答： 梯度矢量，初级输入与刺激输入的互相关P以及初级输入的自相关R之间的关系为： =在LMS算法中，使用的瞬时估计，则有 =-2+2=-2+2 (1) =- 其中 用（1）式替换最速下降法的梯度，我们得到基本的Widrow-Hopf 的LMS算法： 其中 =23、自适应滤波器的特点及应用范围答案：由于滤波器的参数可以按照某种准则自动地调整到满足
14、最佳滤波的要求；实现时不需要任何关于信号和噪声的自相关特性，尤其当输入统计特性变化时，自适应滤波器都能调整自身的参数来满足最佳滤波的需要，即具有学习和跟踪的性能。当符合下面几个情况时都可以应用自适应滤波(1)需要滤波器特性变化以自适应改变的情况时（2）当信号和噪声存在频谱重叠时（3）噪声占据的频谱是时变或未知。例如电话回声对消，雷达信号处理，导航系统，通信信道均衡和生物医学信号增强。24、已知输入信号向量U(n)的相关矩阵及期望响应信号的互相关向量分别为 R= ，且已知期望响应的平均功率为E=30(1) 计算维纳滤波的最优权向量；(2) 推导误差性能面的表达式；(3) 计算最小均方误差。答案：
15、（1）由可得= （2）假设在时刻，输入信号为，横向滤波器输出信号（3）把代入得：25、怎样判断随机过程是宽平稳随机过程？并证明随机过程是宽平稳过程，其中，Y , Z是相互独立的随机变量，且。答：（1）如果满足，如下条件：（a）是二阶矩过程；（b）对任意，常数；（c）对任意，。则判定是宽平稳随机过程。（2）证明：因为Y,Z是相互独立的随机过程，且，所以=常数，只与时间间隔有关，与时间起点无关。所以，是宽平稳随机过程。26、若均方连续的实平稳随机过程，则其自相关函数具有那些常用性质？在计算其功率谱时有什么作用？答：（1）具有如下常用性质：（a）（b）=，是实偶函数；（c）|；（d）若是周期为T的周
16、期函数，即=，则；（e）若是不含周期分量的非周期过程，当时，与相互独立，则。（2）若，根据辛钦维纳定理 = 自相关函数和功率谱是一对傅里叶变换对。27、从随机过程的平稳性上考虑，卡尔曼滤波的适用范围？答案：卡尔曼滤波不仅适用于平稳随机过程，同样也适用于非平稳随机过程。28、简述基于卡尔曼滤波理论的方法。答： 为使自适应滤波器能工作在工作在平稳或非平稳的环境，可以借助于卡尔曼滤波器来推导自适应滤波算法。卡尔曼滤波是线性无偏最小方差递推滤波，估计性能是最优的，且递推计算形式又能适应实时处理的需要对于一个线性动态系统的卡尔曼滤波问题，可以用状态方程和测量方程来描述，前者以状态矢量刻画系统的动态，后者
17、描述系统中的测量误差。假设研究离散线性动态系统的N维参数的状态矢量为，M维观察数据的测量矢量为，通常矢量和都是随机变量，由他们表示系统模型的状态方程和测量分别为 式1 式2其中为系统在和时刻的状态转移矩阵，为已知的测量矩阵系统动态噪声和观察噪声的统计特性为， 式3， 式4 式5“H”表示共轭转置；当n=k，nk=1，当nk，nk=0；噪声矢量和统计独立的。根据观察数据的测量矢量，可求出系统状态的线性无偏最小方差估计。当时，这种最佳估计问题成为卡尔曼滤波；当时，则称为最优预测；两者之间存在密切的关系。29、设有两个线性时不变系统如图所示，它们的频率响应函数分别为和。若两个系统输入同一个均值为零的
18、平稳过程，它们的输出分别为、。问如何设计和才能使、互不相关。解答：其中，上式表明与的互相关函数只是时间函数的函数。由故当设计两个系统的频率响应函数的振幅频率特性没有重叠时，则=0，从而有=0=，即与互不相关。30、什么叫白噪声?答: 白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。 所有频率具有相同能量的随机噪声称为白噪声。理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量是无限大31、设连续时间随机信号以等时间间隔取样后得到离散时间随机序列。为使是白色随机序列，讨论应满足什么条件？ 解：设的自相关函数和功率谱分别为和，的自相关序列和功率谱分别为 和。 根据定义,有 按照定义，自相关序列为 因此就是以周期对
19、的等间隔取样。根据上式和的定义，有 另一方面，根据S(e)的定义，有 将式表示成无限个积分之和，其中每个积分都在长为的区间上进行，即 变量置换：，即得 交换求和与积分的次序，考虑到对于所有整数和有，因此再将代入式中，得 比照式与式，得 或 如果是白色随机序列,则它的自相关序列应当是一个幅度为的冲激序列,即 上式代入式,得 由式、有 ，上式表明，若要是白色随机序列，则要求=常数。32、用雷达测量地球和月球之间的距离，测量过程用下列方程描述其中是均值为零，方差为的白噪声序列，它表示测量误差。为了提高测量精度，现采用以下两种滤波器分别对进行处理，试比较其方差的大小。滤波器滤波器式中。解答：两个滤波器
20、的系统函数分别为因此两滤波器的直流增益，无直流失真。两滤波器输出噪声平均功率为因此33、简述经典功率谱估计与现代功率谱估计的差别。信号的频谱分析是研究信号特性的重要手段之一，通常是求其功率谱来进行频谱分析。功率谱反映了随机信号各频率成份功率能量的分布情况，可以揭示信号中隐含的周期性及靠得很近的谱峰等有用信息，在许多领域都发挥了重要作用。然而，实际应用中的平稳随机信号通常是有限长的，只能根据有限长信号估计原信号的真实功率谱，这就是功率谱估计。 功率谱估计分为经典谱估计和现代谱估计。经典谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零，相当于数据加窗，主要方法有相关法和周期图法；现代谱估计是通过观测数据估
21、计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱，主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的。34、两个联合平稳信号和的互相关函数为：其中为单位阶跃函数。求互功率谱密度和。解：直接查傅氏变换表，得利用互谱密度的性质有 = =35、观测信号为,其中有信号是为恒量平稳序列，其统计特征已求得为 噪声是零均值白噪声，且与有用信号不相关，即 求维纳滤波器？解：观测的自相关函数为观测有与有用信号之间的互相关函数为：则维纳-霍甫方程式为： 由此得维纳滤波器为：故滤波输出为：36、平稳信号形成的滤波器为其中为方差为0.64的零均值白噪声。观测信号为其中是零均值单位（即方差为1）白噪声。求维
22、纳滤波器（其脉冲响应序列的项数指定为2）。解：由的形成滤波器得其频率特性为的功率谱密度为：上式的收敛域必是包括平面单位圆在内的环域，因为只有这样谱密度才存在。则的自相关函数为上式的傅氏反变换即双边反变换：容易验证，符合上述收敛域的原函数为其中右边序列的变换成。的自相关函数为另外，与的互相关函数为当维纳滤波器的脉冲响应序列为2项时，维纳-霍夫方程式为把算得的相关函数代入上式，得这就是维纳滤波器的脉冲响应函数。37、白噪声的主要特点及其和色噪声的区别，在实际运用中为何可以成为重要噪声模型。38、设观测量由有用信号和与不相关的零均值白噪声相加而成，即且已估计出它们的相关函数分别为（，-1，0，1）求
23、非因果维纳滤波器的频率特性。解：又有故有最后可得，非因果维纳滤波器的频率特性为41、令x(t)是一个是不变的标量随机变量，它在加性高斯白噪声v(t)中被观测，即y(t)=x(t)+v(t)为观测数据，若用kalman滤波器自适应估计x(t)，试设计kalman滤波器。（1） 构造离散时间的状态空间方程（2） 求出状态变量想x(k)的更新公式。解：x(t)是一个时不变的随机变量，故x(t)关于时间t的一阶导数等于0，即有=0这就是连续时间的状态方程。观测方程为y(t)=x(t)+v(t)令x(t)是一个具有均值、方差的随机变量，记做x（，）;加性观测噪声v(t)的均值为0，方差为，记做v(t)（
24、0，）。现在，用T=1作为采样间隔，对x(t)和v(t)等离散化，则离散时间的状态空间模型：x(n+1)=x(n)y(n)=x(n)+v(n)式中，加性观测噪声v(n)N（0，）.上述状态空间模型的kalman滤波算法如下：g(n)=(n+1)=(n)+g(n)y(n)-(n)K(n+1,n)=K(n,n-1)1-g(n)=g(n)g(n)的一般表达式：由于K(1,0)=E|x(1)Ex(1)|=故当n=1时有g(1)=K(2,1)=g(1)当n=2时，则有g(2)=K(3,2)=g(2)=n=3时，有g(3)=K(4,3)=g(3)=若令g(n-1)=K(n,n-1)=g(n-1)=则g(n
25、)=k(n+1,n)=g(n)=42、卡尔曼滤波和维纳滤波的关系及存在的问题。答：卡尔曼滤波有一个过渡过程，而在稳态下与维纳滤波有相同的结果，是因为它们都是以最小均方误差为准则的线性估计器。卡尔曼滤波与维纳滤波中解决最佳滤波的方法也不相同。维纳滤波是用频域及传递函数的方法，而卡尔曼滤波是用时域及状态变量的方法，在理论上是维纳滤波的推广和发展，特别是在处理多变量系统，时变线性系统及非线性系统的最佳滤波等领域，提供了一种比较有效的方法，克服了基于频域处理所遇到的困难。困难包括：维纳滤波要求平稳，而卡尔曼滤波则不要求；他容许初始时间不是负无穷大，这在很多情况下是有实际意义的；卡尔曼滤波的另一个不同点
26、是把状态或信号过程的产生看成是白噪声激励有限维数系统的输出；此外，维纳滤波要求过程的自相关函数和互关函数的简单(先验)知识，而卡尔曼滤波则要求时域中状态变量及信号产生过程的详细知识。卡尔曼滤波在时域上采用线性递推形式对观测值进行处理，能实时地给出系统状态的最优估计，并突破了单维输入和输出的限制。卡尔曼滤波算法的这些优点使它在信号和信息系统中得到了比较广泛的应用。卡尔曼滤波算法在具体应用中也存在一些实际问题，包括：（1）模型误差和数值发散。即使能够获得精确的模型，也常会因精确模型太复杂，维数过高而与实时处理必须减少计算量及尽量简化模型的要求相矛盾。近似或化简的模型与精确模型之间存在误差，模型误差
27、必然会给滤波带来影响，严重时还会造成滤波结果不收敛。2）实时要求。影响卡尔曼滤波算法的实时性主要是状态维数n和增益矩阵的计算，它们往往有很大的计算量。一般在计算中采取某些措施，例如应用定常系统新算法或在精度损失允许的情况下尽量减少维数等到措施，从而减少计算量以满足实时滤波的要求。43、卡尔曼滤波的特点卡尔曼滤波具有以下的特点： 答：(1) 算法是递推的状态空间法采用在时域内设计滤波器的方法，因而适用于多维随机过程的估计；离散型卡尔曼算法适用于计算机处理。(2) 用递推法计算，不需要知道全部过去的值，用状态方程描述状态变量的动态变化规律，因此信号可以是平稳的，也可以是非平稳的， 即卡尔曼滤波适用
28、于非平稳过程。(3) 卡尔曼滤波采取的误差准则仍为估计误差的均方值最小。44、令，是一个具有概率密度函数的正态分布得到的随机观测样本，试确定均值和方差的最大似然估计。解：似然函数是均值和方差二者的函数，故有从而有 分别求关于和的偏导，然后令偏导为零，得到从可以解出将其代入可解得由样本均值和样本方差是无偏的，因此均值最大似然估计为无偏估计，而方差的最大似然估计则是有偏的。45、Burg递推较levenson递推法有什么优势，并写出Burg递推法求解AR模型参数的递推公式。答：（1）列文森（levenson）递推法需要先由信号的观测数据估计自相关函数，这是它的缺点，而伯格（Burg）递推法则由信号
29、观测数据直接计算AR模型的参数，Burg递推法利用levenson递推公式，导出前向预测误差和后向预测误差，并按照它们最小的原则求出，从而避免求自相关函数这一难题。（1） Burg递推法求AR模型参数的递推公式如下： 46、简述正交性原理信义，维纳滤波原理及其结论。解：（1）正交性原理：文字表述：使代价函数最小化的充分必要条件是估计误差与输入正交。（3） 定义输入向量则其相关矩阵为 式中使用了自相关函数的性质，类似地，输入与期望响应的互相关向量为综上式子可以将winer-Hopf方程组写成紧凑的矩阵形式 式中表示横向滤波器的最优抽头权向量：由矩阵方程，立即可以得到最优抽头权向量的解为满足这个关
30、系的离散时间横向滤波器称为维纳滤波器。47、关于维纳滤波器的两个主要结论：维纳滤波器最优抽头权向量的计算需要已经以下统计量：（1）输入向量的自相关矩阵；（2）输入向量与期望响应的互相关向量。维纳滤波器实际上是无约束优化最优滤波问题的解。48、已经信号的四个观察数据为分别用自相关法和协方差法估计AR（1）模型参数。解：自相关法： 协方差法：49、假定是一个满足差分方程式的AR（）过程，且该过程是在一与独立的加性观测白噪声中观测的，即，其中的方差为，求的功率谱。解：由已知差分方程式可得的谱密度当与互相独立时，故的功率谱所以50、分别解释“滤波”和“预测”。解：用当前的和过去的观测值来估计当前的信号
31、y(n)=（n）称为滤波；用过去的观测值来估计当前的或将来的信号 ,N0,称为预测。51、介绍维纳滤波和卡尔曼滤波解决问题的方法。解：维纳滤波是根据全部过去观测值和当前观测值来估计信号的当前值，因此它的解形式是系统的传递函数H(Z)或单位脉冲响应h(n)；卡尔曼滤波是用当前一个估计值和最近一个观测值来估计信号的当前值，它的解形式是状态变量值。 维纳滤波只适用于平稳随机过程，卡尔曼滤波就没有这个限制。设计维纳滤波器要求已知信号与噪声的相关函数，设计卡尔曼滤波要求已知状态方程和量测方程。 h(n)52、已知下图中x(n)=s(n)+w(n)，且与统计独立，其中的自相关序列为，w(n)是方差为1的单
32、位白噪声，试设计一个N2的维纳滤波器来估计s(n)，并求最小均方误差。 x(n)=s(n)+w(n)维纳滤波的输入和输出的关系解：依题意，已知信号的自相关和噪声的自相关为：，=(w),代入,得 解得：h(0)=0.451,h(1)=0.165将上式结果代入式E=-,求得最小均方误差：E=-（m）=1-h(0)-0.6h(1)=0.45考虑线性模型 y=Hx+n，其中x是待求的发射信号，y是观测信号，H是列满秩的矩阵，n为噪声。关于这个经典模型，Kay的统计信号处理基础中讨论很多。在矩阵H已知情况下，通过y求x的方法有很多，这里想谈谈最小二乘解(LS)和最小均方误差解(MMSE)。 x为连续随机
33、向量 1. 有噪声的先验概率密度函数(PDF)情况下，最大似然解(ML)是最优解；若还有x的先验分布的话，则最大后验概率(MAP)解是最优解。这两个解通常需要高维搜索，寻找似然函数或者后验概率密度函数的众数，复杂度很高。如果n是高斯的，则可很容易求得ML和MAP解，实际上就是MMSE解。 2. 若仅知道噪声先验均值和方差，则MMSE解应该是这种情况下的最优解了，它能充分利用二阶统计量的信息，但是与ML和MAP相比较则是次最优的。 3. 如果连噪声的任何信息都不知道，此时只能求伪逆得到LS解，这种情况下LS是最优的。另一种观点是根据H的列向量之间不正交的一般情况，利用斜投影的方法逐个求解向量x的
34、元素，但该方法得到的解与LS解等价。当然，在噪声均值和方差已知的情况下也可以用斜投影去求解x，但它又是与MMSE解等价的了。也就是说，斜投影只是从另外一个角度来看待LS和MMSE罢了，但它决不是噱头，因为斜投影有很好的几何意义，对理解LS和MMSE很有帮助。 x为离散随机向量 1. 如果x的每个元素都在相同的字符空间中取值(如通信中的星座图)，则最优的仍然是ML和MAP，但其复杂度与H的列数呈指数关系，指数的底数是字符集的大小。 2. 如果先把x当成连续随机向量看待，那么如上的MMSE和LS皆可应用，并且它们分别对应有无噪声均值向量和协方差矩阵信息情况下的最优解，这里说的最优其实是有条件的最优
35、，与ML和MAP相比这二者都是次优的。但是，由于MMSE利用了更多信息，因此通常MMSE解在检测的错误率性能上优于LS解。 3. 如果先将x看成连续向量，则最后必然需要进行决策，从而得到对应离散点的值。从估计的观点来看，这种两步解的方法必然比不上一气呵成的ML和MAP，问题就是出在一开始就把x看成连续取值的了，这样实际上是在比原问题的解空间大得多的空间里优化，其结果可想而知：即使是噪声为白高斯的，像MMSE这种在连续变量和白高斯情况下绝对最优的解也不一定对应一个更小解空间内的最优解。从直观的感觉上大概就可以解释为什么MMSE和LS都难以达到很好的性能了。在多输入多输出系统的检测应用中，从误比特率(BER)性能上就不难看出MMSE/LS与ML/MAP的巨大差距。然而，从减小复杂度的观点来看，前二者最多也就是三次方复杂度的求逆运算，比起ML和MAP小得多了，还是挺划算的，如果配合编码，这种性能上的差异还会进一步缩小。其实，不管什么方法，无非都是在性能和复杂度之间不断地进行折衷而已。
