1、1导数在研究函数中的应用测试题一 选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 若函数 f(x)在 R 上是一个可导函数，则 f(x)0 在 R 上恒成立是 f(x)在区间(-,+)内递增的( )A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件 D 既不充分也不必要条件2 （原创题）函数 单调递增区间是（ ）214yxA. ),0( B. C. D. ),1(,)1(,)23 已知函数 23xaxf 在 上是单调函数,则实数 a的取值范围是（ ）A. ),( B. 3, C. 3() D. )(4 对于 R上可导的任意函数
2、)fx，若满足 10xf，则必有（ ）A. (021f B. 02(fC. )( D. ()f5 函数 39yx=-0)在1，) 上的最大值为 ，则 a 的值为_.2 316 （改编题）.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20cm,要使其体积最大,则高为_.三 解答题（本大题五个小题，共 52 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 (本小题 10 分)已知 cbxaxf24)(的图象经过点 (0,1)，且在 x处的切线方程是 2yx（1）求 )(f的解析式；（2）求 )(xfy的单调递增区间. 318 (本小题 10 分) 已知函数 32()fxabxc在 23与 1x时都取得极值
3、(1)求 ,ab的值与函数 的单调区间(2)若对 1,2x，不等式 2fc恒成立，求 的取值范围. 20 (本小题 10 分) 某商品每件成本 9 元，售价 30 元，每星期卖出 432 件如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x（单位：元，0x21）的平方成正比已知商品单价降低 2 元时，一星期多卖出 24 件（1）将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数；（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大20 （改编题）(本小题 10 分 ) 已知 a 为实数， .)(4)(2axf求导数 ；)(xf若 ，求 在2，2 上的最大值和最小值；01)(f若 在
4、(，2) 和2，+上都是递增的，求 a 的取值范围 .)xf21 (原创题)(本小题 12 分)已知函数 f(x)ln(x+1)ax （a0）求函数 f(x)的单调区间；当 时，若 ，证明： 1a11ln()【挑战能力】1 已知函数 ， ，其中 2afxlngx0a（1）若 是函数 的极值点，求实数 的值；hf（2）若对任意的 （ 为自然对数的底数）都有 成立，12,e， 1fx2g求实数 的取值范围a2 已知 是函数 的一个极值点, 其中xnx)1m(3)x(f2,0m,Rn(1) 求 m 与 n 的关系式; (2) 求 的单调区间 ;)(f(3) 当 时, 函数 的图象上任意一点的切线斜率
5、恒大于 3m, 1x)x(fy求 m 的取值范围.3 两县城 A 和 B 相聚 20km，现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度 与所选地点到城市的的距离有关，对城 A 和城4B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和，记 C 点到城 A 的距离为 x km，建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明：垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比，比例系数为 4；对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比，比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 的中点时，对称 A 和城B 的总
6、影响度为 0.0065.（1）将 y 表示成 x 的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 A 的距离，若不存在，说明理由 .导数在研究函数中的应用测试题答案一 选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 【答案】A.【解析】当 f(x)0 在 R 上恒成立时， f(x)递增，反之，f(x)递增时，f(x)0.2 【答案】 C 【解析】令32218 1 0(1)4)02xyxx3 【答案】B 【解析】 2()10fxax
7、在 ),(恒成立， 24103aa4 【答案】C【解析】当 时， )f，函数 (fx在 ,)上是增函数；当 1x时，()f， (在 ,上是减函数，故 (f当 x时取得最小值，即有01,2得 0)215 【答案】C 【解析】 2369,1,3yxx得 ，当 x时， 0y；当 1x时，0当 1x时， 5y极 大 值 ； x取不到 ，无极小值6 【答案】D【解析】.由题意：f(x)=3x 2+2ax+(a+6)=0 有两个不等实根, =4a2-12(a+6)0,解得:a -3 或 a6.57 【答案】A 【解析】极小值点应有先减后增的特点，即 ()0()()0fxfxfx8 【答案】A 【解析】令
8、，当 时 ， ；当 时， 所以1ln0yxey1ey， ，在定义域内只有一个极值，所以1()fe极 小 值 min9 【答案】B【解析】.由 f(x)在1,2上是减函数，知f(x)3x 22bxc0 ，x1,2，则 f(1)3bc04 152b2c0 bc .15210 【答案】C 【解析】当 时,最大值为 4,不合题意,当 时, 在 上时减函数,a 21axf2a最大 , ,解得 ,或 (舍去).f 4532a311 【答案】B 【解析】设矩形的一边长为 x，则另一边长为 ，则25x4xl25x， ，令 ，解得 ， （舍去） .Rx0 245l0l12当 时, ,当 时, ,所以当 时,l
9、取最大值,即周长0lxl5x最大的矩形的边长为 , .412 【答案】 C.【解析】因为 y= -2cosx，所以令 y= -2cosx0，得 cosx ，此时原函数是减函数，结合余弦函数图象，可得 C 正4确.二 填空题（共 4 小题，每小题 3 分共 12 分，把答案填在相应的位置上）13 【答案】 0,e6【解析】因为 ,所以21lnxy21ln0xye14 【答案】 4, 【解析】 2 2()3,(1)3,(1)10fxaxbfabfab2 4,9ab或 ，当 时， x不是极值点15 【答案】 13【解析】f(x) ,当 x 时，222xaxaf(x)0，f(x) 单调递增，当 x 时
10、，af(x) ， 1，不合题意.f(x) maxf(1) ，a 1.a32a21316 【答案】 cm 0【解析】设圆锥的高为 x,则底面半径为 ,其体积为20x, ,令 ,解得20x31V 2 3401xV 0V(舍去 ).当 时,3,1;当 时, ,所以当 时 ,V 取最大值.x 3x三 解答题（本大题五个小题，共 52 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 【解析】：（1） cbaf24)(的图象经过点 (0,1)，则 c， 3()42,11,fxabxkf切点为 1,，则 cbxa24)(的图象经过点 (,1)得 59,c得4259()fxx（2） 31031010,f x
11、或7单调递增区间为 310(,)(,)18 【解析】：（1） 2 2) 3fxabxcfxab由 214()39f， ()0f得 1,2 (31x，函数 ()f的单调区间如下表：(,)2(,3,)f0 0 x 极大值 极小值 所以函数 (f的递增区间是 2(,)3与 (1,),递减区间是 2(,1)3；（2） 321)fxc，当 x时， 7fc为极大值，而 (f，则 ()2fc为最大值，要使 2(),x恒成立，则只需要 2cf，得 1,2或 . 20 【解析】 （1）设商品降低 x 元，则多卖的商品数为 kx2，若记商品在一个星期的销售利润为 f(x)，则依题意有 f(x)=(30-x-9)(
12、432+kx2)=(21-x)(432+kx2)又已知条件，24k2 2，于是有 k6，所以 f(x)=-6x3+126x2-432x+9 072,x0,21.（2）根据（1） ，我们有 f(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12).故 x12 时，f(x)达到极大值 11 664，因为 f(0)=9 072，f(12)=11 664，所以定价为 301218 元时能使一个星期的商品销售利润最大.20 【解析】：由原式得 ,4)(23axxf .423)(axxf由 得 ,此时有 .0)1(f21a21)()f由 得 或 x=-1 , 又34x ,0)(,)(,9(,7
13、503fff所以 f(x)在 2,2上的最大值为 最小值为9.解法一: 的图象为开口向上且过点(0,4)的抛物线,由条件得42)(axxf,0,28即 2a2.480a所以 a 的取值范围为 2,2.解法二:令 即 由求根公式得: )(xf ,0423ax21,212)x所以 在 和 上非负43)(2axf 1,x,2由题意可知,当 x-2 或 x2 时, 0,)(f从而 x1-2, x22,即 解不等式组得2a2. 6.aa 的取值范围是 2,2. 21 【解析】：函数 f(x)的定义域为 a .(1,)(fx11()ax,10,a当 (),(0;(,)(0axfxfx 当 x 时，f(x
14、)是增函数，即 f(x)的单调递增区间为 ；1a 1(,)a当 x 时，f( x)是减函数，即 f(x)的单调递减区间为 .(,证明：由知，令 ，则 1()ln)g 21()()g2(1)x 当 x（1，0）时， 0，当 x（0， ）时， 0 g 当 时， ，即 0， ()gxln()11lnx综上可知，当 时，有 1【挑战能力】1 【解析】 （1） ，其定义域为 ， 2lnahxx0， 21 是函数 的极值点， ，即 xx1h23a ， 0a39经检验当 时， 是函数 的极值点，3a1xhx （2）对任意的 都有 成立等价于对任意的12,e， 1f2g都有 1,xe， minfxax当 1，
15、 时， 0g函数 在 上是增函数lg1e， max ，且 ， 221xaf 1,e0a当 且 1， 时， ，0e2xf函数 在1， 上是增函数，2afx .minf由 ，得 ，21ee又 ， 不合题意 0a当1 时，若1 ，则 ，x20xaf若 ，则 ae 函数 在 上是减函数，在 上是增函数2afx1,ae， .minf由 ，得 ，2a1e2e又1 ， a当 且 1， 时， ，exe20xaf函数 在 上是减函数2f， .2minaxfe由 ，得 ，2ae1又 ， 10综上所述， 的取值范围为 a1,2e2 【解析】:(1) 因为 是函数 的一个极值点, nx)m(63)x(f 1)x(f所
16、以 , 即 所以0)1(f ,0163(2) 由(1)知, )(2 )m2()(当 时, 有 当 x 变化时， 与 的变化如下表:m,)xf故有上表知, 当 时, 在 单调递减, 在 单调递增, 在0m)x(f)m21,)1m2()1(上单调递减.(3) 由已知得 , 即3)(f 02x)(2又 所以 , 即 00x)12x 1,x,02)1(设 其函数开口向上, 由题意知式恒成立, m()(g2所以 , 即 m 的取值范围为034012)1( )0,34(3 【解析】：（1）如右图,由题意知 ACBC, , ，224BCx2()40kyx当垃圾处理厂建在弧 AB 的中点时,垃圾处理厂到 A、B 的距离都相等，且为 ，所以有 ，02km220.65(1)()k解得 ，9 224()0yxx（2） = = ， 2293281(40)x42360180()x令 ，得 ，解得 ，即 ，0y4601xA B C x 11又因为 ，所以函数 在 上是减函数，02x22490yx(0,41)x在 上是增函数，当 时，y 取得最小值，(41,)1所以在弧 AB 上存在一点，且此点到城市 A 的距离为 ，使建在此处的垃圾km处理厂对城市 A、B 的总影响度最小.
