1、1高考中三次函数图象的切线问题镇江实验高中 杨勇一、已知斜率为 与三次函数图象相切的切线k三次函数 )0()(23adcxbaxf1、 ,斜率 时，有且只有一条切线；0ak时，有两条不同的切线；abc32时，没有切线；k22、 ,斜率 时，有且只有一条切线；0aabc32时，有两条不同的切线；k2时，没有切线；abc32证明 xxf)(2/1、 当 时，0aab3.3)(2min/ abcxf当 时，方程 有两个相同解，ck3222所以斜率为 的切线有且只有一条；其方程为：).3(3)(2abxacbfy当 时，方程 ，有两个不同的解 ，且ck2kc2 21,x=- ，即存在两个不同的切点 ，
2、且两个切点关于21xab3 )(,)(,21fxf2三次函数图象对称中心对称。所以斜率为 的切线有两条。k当 时，方程 无实根，所以斜率为 的切线不abck32cbxa23 k存在。2、 时，读者自己证明。0二、过三次函数图象上一点的切线设点 P 为三次函数 图象上任一点，则过点 P)0()(23adcxbaxf一定有直线与 的图象相切。若点 P 为三次函数图象的对称中心，则过y点 P 有且只有一条切线；若点 P 不是三次函数图象的对称中心，则过点 P 有两条不同的切线。证明 设 过点 P 的切线可以分为两类。),(1yx1 P 为切点 cbxaxfk1211/3)(切线方程为： )(1xy2
3、 P 不是切点，过 P 点作 图象的切线，切于另一点 Q（ ）)xf 2,y121231212 cxbaxykx212又 （1）cbaxfk22/23)(xax11 cbxa223即 代入（1）式0)(2122得 cabxak4432112讨论：当 时， 21 x1213cabxa421432，也就是说，abx13当 时，两切线重合，所以过点 P 有且只有一条切线。abx31当 时， ，所以过点 P 有两条不同的切线。21k其切线方程为： )(3(11xcbaxy42412111a由上可得下面结论：过三次函数 上异于对称中心的任一点)0()(23dcxbaxf作 图象的切线，切于另一点 ，过
4、作),(1yxP ),(2yxP),(2yx图象的切线切于 ，如此继续，得到点列 -f),(3yxP4-，则 ，且当 时，点趋近三次函数图象的),(nyxabnn21 n对称中心。证明 设过 与 图象切于点 的切线为 ， ),(nyxP)(xf ),(11nnyxP1nPcbaaxyk nnnnn 121211又 xxfknnn1211/3)(=cbaan2 cbxann1213即 0)(11bxxnn x1设 则2a3数列 是公比为 的等比数列， 3axn2 11)2(3(nnabxx即 。 bnlim三、过三次函数图象外一点的切线设点 为三次函数 图象外),(0yxP )0()(23adc
5、xbaxf一点，则过点 一定有直线与 图象相切。y4（1） 若 则过点 恰有一条切线；,30abxP（2） 若 且 ，则过点 恰有一条切线；)3(0abgxP（3） 若 且 =0，则过点 有两条不同的切线；,0x（4）若 且 ，则过点 有三条不同的切线。3ab)(0x其中 .)( 0/0xfyxg证明 设过点 作直线与 图象相切于点P)(y),(1yxQ则切线方程为 ),23(1111 xcbaxy把点 代入得：),(0x，03201211 cxdyxab设 .)()(20bxg,3602/ xa,)(48)(420 bxb令 则,)/g.3,a因为 恰有一个实根的充要条件是曲线 与 轴只相交一(x )(xgyX次，即 在 上为单调函数或两极值同号，所以 或)yR ,30ab且 时，过点 恰有一条切线。,30abx)3(0abgxP有两个不同实根的充要条件是曲线 与 轴有两个公共)(g )(xgyX点且其中之一为切点，所以 且 =0 时，过点 有两条,0x3)(0abxP不同的切线。有三个不同实根的充要条件是曲线 与 轴有三个公共0)(xg )(xgyX点，即 有一个极大值，一个极小值，且两极值异号。所以y且 时，过点 有三条不同的切线。,30abx)3(0abgxP
