1、清艳初中精英班-迈向名校高精尖1二次函数中的动点问题（一）三角形的存在性问题一、技巧提炼1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用三种形式（1） 、 【一般式】已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为 ，然后解三元方程组求解；（2） 、 【顶点式】已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为 求解；（3） 、 【交点式】已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为 。2、二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴是否有交点，可以用方程 ax2+bx+c = 0 是否有根的情况进行判定；判别式 acb4二次函数与 x 轴的交点情况 一元二次方程根的情况 0 与 x 轴 交点 方程有 的实数根
2、 0 与 x 轴 交点 实数根 0 与 x 轴 交点 方程有 的实数根3、抛物线上有两个点为 A（x 1，y），B（x 2，y）(1)对称轴是直线 2(2)两点之间距离公式：已知两点 ，21y,xQ,P则由勾股定理可得： 2121)()(y练一练：已知 A（0，5）和 B（2，3），则 AB 。(3)中点公式：已知两点 ，则线段 PQ 的中点 M 为 。21y,xQ,P 211y,x练一练：已知 A（0，5）和 B（2，3），则线段 AB 的中点坐标是 4、 常见考察形式1）已知 A（1,0） ，B（0，2） ，请在下面的平面直角坐标系坐标轴上找一点 C，使ABC 是等腰三角形；清艳初中精英班
3、-迈向名校高精尖2总结：两圆一线2）已知 A（-2,0） ，B（1，3） ，请在平面直角坐标系中坐标轴上找一点 C，使ABC 是直角三角形；总结： 两线一圆5、求三角形的面积：（1）直接用面积公式计算；（2）割补法；（3）铅垂高法；如图，过ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC 的“水平宽” （a） ，中间的这条直线在ABC 内部线段的长度叫ABC 的“铅垂高” （h） 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：SABC = ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。126、二次函数中三角形的存在性问题解题思路：（1）先分类，罗列线段的长度；（2）再
4、画图；（3）后计算二、精讲精练1.由动点产生的等腰三角形问题如图，抛物线 yax 2bxc 经过 A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线 l 是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标；（3）在直线 l 上是否存在点 M，使MAC 为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由BC铅垂高水平宽haA清艳初中精英班-迈向名校高精尖32.由动点产生的直角三角形问题（2013攀枝花）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A（-3，0） ，B（1.0） ，C（0，-3
5、） （1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 为第三象限内抛物线上的一点，设PAC 的面积为 S，求 S 的最大值并求出此时点 P 的坐标；（3）设抛物线的顶点为 D，DEx 轴于点 E，在 y 轴上是否存在点 M，使得ADM 是直角三角形？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由备用图3.由动点产生的等腰直角三角形例. （2011东营）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点 A（0，2） ，点 C（1，0） ，如图所示，抛物线 y=ax2-ax-2 经过点 B（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否还存在点 P（点 B 除外） ，使ACP
6、仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由清艳初中精英班-迈向名校高精尖4三、方法规律1、平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；2、平面直角坐标系中已知一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆；3、平面内有两点 A（x 1,y1）, B（x 2,y3）,则 AB ，AB 中点的坐标为 。 四、实战训练1、如图，抛物线 y=ax2-5ax+4 经过ABC 的三个顶点，已知 BCx
7、轴，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，且AC=BC（1）求抛物线的对称轴；（2）写出 A，B，C 三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点 P 是抛物线对称轴上且在 x 轴下方的动点，是否存在PAB 是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点 P 坐标；不存在，请说明理由2、 （2010梅州）如图，直角梯形 OABC 中，OCAB，C（0，3） ，B（4，1） ，以 BC 为直径的圆交 x 轴于E，D 两点（D 点在 E 点右方） （1）求点 E，D 的坐标；（2）求过 B，C，D 三点的抛物线的函数关系式；（3）过 B，C，D 三点的抛物线上是否存在点 Q，使BDQ 是以BD 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点 Q 的坐标清艳初中精英班-迈向名校高精尖5
