1、排队论,Queuing Theory,简 介,顾客到商店购买物品 病员到医院看病 旅客到售票处购买车票 学生去食堂就餐 顾客等待出租车 通讯卫星与地面若干待传递的信息 码头的船只等待装卸货物 要降落的飞机因跑道不空而在空中盘旋 等等,排队是日常生活和生产中经常遇到的现象。,面对拥挤现象，如果服务设施太少，顾客排队等待的时间就会很长，对顾客会带来不良影响。而随服务设施增加，人力、物力的支出就越大。如何做到既保证一定的服务质量指标，又使服务设施费用经济合理，恰当地解决顾客排队时间与服务设施费用大小这对矛盾，这就是排队论所要研究解决的问题。,简 介,排队论(Queuing Theory)，又称随机服
2、务系统理论(Random Service System Theory),是一门研究拥挤现象(排队、等待)的科学。具体地说，它是在研究各种排队系统概率规律性的基础上，解决相应排队系统的最优设计和最优控制问题。,目 录,1 排队系统综述及常用分布,4 排队系统的优化问题,2 单服务台 排队模型,3 多服务台 排队模型,1 排队系统综述及常用分布,1.1 排队系统的描述,任何一个排队问题的基本排队过程都可以用图1.1表示。每个顾客由顾客源按一定方式到达服务系统，首先加入队列排队等待接受服务，然后服务台按一定规则从队列中选择顾客进行服务，获得服务的顾客立即离开。,图1.1,1.2 排队系统的组成,通常
3、的排队系统可以分为3个组成部分：输入过程、排队规则和服务台.,3）顾客流的概率分布或称相继顾客到达的时间间隔的分布，相继到达的时间间隔可以是确定的也可以是随机的，常见的分布有定长分布、二项分布和负指数分布等.,输入过程：顾客到达的规律,1）顾客源 可以是有限的，也可以是无限的.,2）顾客到达的方式描述顾客是怎样来到系统的，是单个到达还是成批到达.,1.2 排队系统的组成,1）等待制 当顾客到达时，所有的服务台均被占用，顾客就排队等待，直到接 受完服务才离去。例如出故障的机器排队等待维修就是这种情况.,排队规则：指从队列中挑选顾客进行服务的规律.,3）混合制介于损失制和等待制之间，即既有等待又有
4、损失.有队列长度有限和排队等待时间有限两种情况，在限度以内就排队等待，超过一定限度就 离去.,2）损失制当顾客到达时，所有的服务台均被占用，顾客随即离去.,排队方式还分为单列、多列和循环队列。,服务台：1）服务台数量及构成形式从数量上说，服务台有单服务台和多服务台之分。从构成形式上看，有单队列单服务台、单队多服务台并联、多队多服务台并联式、单队多服务台串联式等.2） 服务方式指在某一时刻接受服务的顾客数，有单个服务和成批服务两种.3）服务时间的分布在多数情况下，对每一个顾客的服务时间是一随机变量，其概率分布有定长分布、负指数分布、爱尔朗分布等.,1.2 排队系统的组成,1.3 排队系统的符号表
5、示（Kendall符号）,根据不同的输入过程、排队规则和服务台数量，可以形成不同的排队模型，为方便对模型的描述，通常采用如下的符号形式：其中，,X顾客到达间隔时间概率分布 Y服务时间的概率分布 Z服务台数 A系统容量限制，即系统中允许的最多顾客数 B顾客源总数 C服务规则,1.3 排队系统的符号表示（Kendall符号）,表示顾客相继到达间隔时间和服务时间的各种分布符号有：,M表示到达过程为泊松过程或负指数分布； D表示定长输入； Ek表示k阶爱尔朗分布； G表示一般相互独立的随机分布.,比如，MMcNmFCFS表示相继到达时间间隔和服务时间为负指数分布，c个服务台，系统容量为N，顾客源数目为
6、m，采用先到先服务规则的排队模型.,1.4 排队系统主要数量指标和记号,1.在系统里没有顾客的概率，即所有设施空闲的概率，记为 2.排队的平均长度，即排队的平均顾客数记为 3.在系统里的平均顾客数，包括排队的顾客数和正在被服务的顾客数，记为 4.一位顾客花在排队上的平均时间，记为 5.一位顾客花在系统里的平均逗留时间，包括排队时间和被服务的时间，记为 6.顾客到达系统时，得不到及时的服务，必须排队等待服务的概率，记为 7.系统里正好有 个顾客（包括排队的和正在被服务的顾客的概率记为,1.5 排队系统的常用分布,1）泊松分布：,(1) 平稳性：在时间 内，到达个顾客的概率只与 和 的大小有关，而
7、与时刻起点 无关(2) 独立性：在时间 内到达 个顾客的概率与起始时刻之前到达多少个顾客无关(3) 普通性：对于充分小的时间间隔 ，在时间 内最多有一个顾客到达系统即在时间 内有2个或2个以上顾客到达的概率极小，有,泊松过程具有如下性质：,1.5 排队系统的常用分布,当 时，即单位时间内到达个顾客的概率为：,2）负指数分布理论上可以证明若顾客在单位时间内到达系统的个数 是服从参数为 的泊松分布，则顾客到达系统的间隔时间 服从参数为 的负指数分布，反之亦然负指数分布的概率密度为：,间隔时间 的期望值：,其中 为单位时间内到达系统的顾客的期望值,1.5 排队系统的常用分布,3）爱尔朗分布：,同样，
8、对顾客服务时间常用的概率分布也是负指数分布，概率密度为：其中 表示单位时间内完成服务的顾客数，也称平均服务率,2 单服务台 排队模型,2.1 标准的 模型,2.1.1 模型条件,模型 表示，顾客到达过程服从泊松分布，服务时间服从负指数分布，单服务台，队长和顾客来源无限.简记为 .,1）已知单位时间平均到达率 和平均服务率 . 2）系统容量无限，顾客源总数无限. 3）排队规则为单队，先到先服务,系统在稳定情况下的状态转移如图2.1,图2.1,可以得到如下平衡方程：,在图2.1中，椭圆圈中的数字表示系统的状态（顾客数），箭头表示从一个状态到另一个状态的转移当系统处于稳定状态时，对于每个状态来说，转
9、入率与转出率相等,2.1.2 模型的数量指标公式,2.1 标准的 模型,由（2.1）和（2.2）可以递推求解，,式中 表示平均到达率与平均服务率 之比，称为服务强度.,2.1 标准的 模型,模型的各数量指标参数如下：,2.1 标准的 模型,4）一位顾客花在系统里的平均逗留时间（当顾客相继到达 的间隔时间服从 的负指数分布，服务时间服从 的负指数 分布时，顾客在系统中的平均逗留时间服从参数为 的 负指数分布.）,5）一位顾客花在排队上的平均时间（等于逗留时间减去服 务时间）6）顾客到达系统时，得不到及时的服务，必须等待服务的 概率7）系统里正好有 个顾客的概率,2.2 系统容量有限的 模型,系统
10、容量为N，系统中排队等待的顾客数最多为N-1，所以在某一时刻某位顾客到达时，如果系统中已有N位顾客，那么这位顾客被拒绝进入系统，如图2.2,由状态转移图，可以建立系统概率平衡方程如下：,2.2 系统容量有限的 模型,模型的各数量指标参数如下：1）系统里没有顾客的概率,2.2 系统容量有限的 模型,2）系统里有n个顾客的概率,3）在系统里的平均顾客数,4）平均排队的顾客数,2.2 系统容量有限的 模型,顾客到达又能进入系统的概率为 ，故系统的平均有效到达率 为：,由此，,5）一位顾客花在排队上的平均时间6）一位顾客花在系统里的平均逗留时间,2.3 顾客源有限的 模型,由状态转移图，可以建立系统概
11、率平衡方程如下：,以机器维修问题为例：设有m台机器（顾客总体）,每台机器单位时间内发生故障的概率 相同（顾客平均到达率），等待修理及正在修理的机器数为n，工人数为1（单服务台），则对系统的有效到达率 为,2.3 顾客源有限的 模型,用递归方法解上述方程组得，,模型中各数量指标：,3 多服务台 排队模型,单队、并列的多服务台模型可大致分为三种情况：1）标准 模型2）系统容量有限，3）顾客源有限，,其中以标准 模型为例.,3.2 系统的状态概率和主要运行指标,已知单位时间平均到达率 ，单列， 个服务台，每个服务台的工作相互独立且平均服务率相同，都等于 ，顾客源无限，容量无限，排队规则为等待制,3.
12、1 模型条件,(1)系统的状态概率 系统的空闲概率,3.2 系统的状态概率和主要运行指标,系统内有n个顾客的概率,(2)系统的主要运行指标,4 排队系统的优化问题,对排队系统进行最优化设计可以从两个方面考虑：其一，给出系统的某种费用（或利润）结构，要求平均总费用（或平均总利润）最低的情况下做出最优设计(经济效益)其二，在一定服务质量指标下要求系统运行效能达到必要的水平(社会效益)下面就平均服务率 和服务台数c这两个决策变量的优化问题进行讨论,4.1 模型的最优平均服务率,其中：a当 =1时服务机构单位时间的成本费用b每个顾客在系统中停留单位时间的损失费用L系统内平均顾客数,将 代入（4.1），则 ，于是,令 ，考虑 得，,（4.2）,例4.1：,银行有三个窗口办理业务，顾客到达服从泊松流，到达速率为0.9人/分钟，办理业务时间服从负指数分布，每窗口的平均服务速率为0.4人/分钟，顾客到达后取得一个排队号，依次有空闲,4.2 模型的最优服务台数,其中：h每服务台单位时间的成本b每个顾客在系统中停留单位时间的损失费用系统中有C台设备时逗留的顾客数,根据费用函数存在最小值的必要条件，有,（4.3）,依次求 时 的值，因为 是已知数，可根据(4.3),(4.4)确定 .,费用函数 为单位时间服务成本与逗留损失费用之和,Thanks,
