1、微型培优专题课(三) 巧用基本图形，证明三角形全等,基本图形是最常见、最简单的几何图形，但它往往具有非常重要的性质.证几何题时，我们一要善于从较复杂的图形中分解出基本图形，二是会根据图形特征添加辅助线构造出基本图形，进而利用基本图形的性质使问题获证.下面我们介绍有关全等三角形的基本图形，供同学们复习参考.,一、角平分线+翻折全等三角形 【知识点睛】 如图，OZ平分XOY，A，B分别为射线OX，OZ上的点，将AOB绕角平分线OZ翻折，点A落在OY上的A点(添加辅助线时，叙述为“在OY上取A，使OA=OA”). 在AOB与AOB中，OA=OA，AOB=AOB，OB=OB， AOBAOB.,【培优训
2、练】 1.如图，在ABC中，C=2B， AD是ABC的角平分线，1=B. 求证：AB=AC+CD.,【解题指南】发现图中ACD与AED全等是解题的关键. 【证明】1=B，AED=2B，DE=BE， C=AED. 在ACD和AED中， CAD=EAD，AD=AD，C=AED， ACDAED.AC=AE，CD=DE，CD=BE. AB=AE+EB=AC+CD.,【方法技巧】发现图中的基本图形 沿角平分线翻折得到全等三角形.因此，当题目条件中给出角平分线时，就可以借助角平分线构造出全等三角形，从而得到相等的线段或相等的角.,如图，在四边形ABCD中，A+C=180， BD平分ABC.求证：DC=AD
3、.,【解题指南】借助角平分线这个平台，构造全等三角形.在BC上截取BE=BA，根据已知条件证明BADBED，所以DA=DE，再证DE=DC，即可得证.,【证明】在BC上截取BE=BA，连接DE. BD平分ABC， ABD=EBD. 在BAD和BED中， BA=BE，ABD=EBD，BD=BD， BADBED(S.A.S.)， DA=DE，A=BED. BED+DEC=180，A+C=180， C=DEC，DE=DC，DC=AD.,【变式训练】如图，已知APBC，PAB的平分线与CBA的平分线相交于点E，CE交AP于点D.求证：AD+BC=AB.,【证明】在AB上截取AF=AD，连接EF. AE
4、平分PAB， DAE=FAE. 在DAE和FAE中， AD=AF，DAE=FAE，AE=AE， DAEFAE(S.A.S.)， AFE=ADE. ADBC，ADE+C=180. AFE+EFB=180，EFB=C. BE平分ABC，EBF=EBC.,在BEF和BEC中， EFB=C，EBF=EBC，BE=BE， BEFBEC(A.A.S.)，BC=BF， AD+BC=AF+BF=AB.,二、中线+加倍延长全等三角形 【知识点睛】 1.如图所示，延长AD至点E，使DE=AD，连接EC. AD为ABC的中线， BD=CD. 在ABD和CED中， BD=CD，ADB=EDC，AD=ED， ABDEC
5、D(S.A.S.).,2.如图，已知AD是ABC的中线，分别过点B，C作BEAD于点E，CFAD交AD的延长线于点F. AD是ABC的中线，BD=CD. BEAD，CFAD，BED=CFD=90. 又BDE=CDF，BDECDF. 这一基本图形称为间接“中线+加倍延长全等三角形”，在几何证明中，也相当有用.,【培优训练】 2.已知：如图，AD是ABC的中线，点E在AD上，BE=AC，延长BE交AC于点F，求证：AF=EF.,【证明】如图，延长AD至M，使DM=AD，连接BM. AD是ABC的中线，BD=CD. 在ACD和MBD中， AD=DM，ADC=MDB，CD=BD， ACDMBD(S.A
6、.S.)， CAD=M，AC=BM. BE=AC，BM=BE， M=BEM，BEM=CAD. BEM=AEF， AEF=CAD，AF=EF.,如图，AD是ABC的中线，点E在BC的延长线上， CE=AB，BAC=BCA. 求证：AE=2AD.,【证明】延长AD至点M，使DM=AD. AD是ABC的中线， DB=CD. 在ABD和MDC中， BD=CD，ADB=MDC，AD=DM， ABDMCD(S.A.S.)，,AB=MC，B=MCD. AB=CE，CM=CE. BAC=BCA，B+BAC=ACB+MCD， 即ACE=ACM.在ACE和ACM中， AC=AC，ACM=ACE，CM=CE， AC
7、MACE(S.A.S.)，AM=AE. AM=2AD，AE=2AD.,如图，ABC中，AB=AC，D在AB上，F在AC的延长线上，且BD=CF，连接DF交BC于点E.求证：DE=EF.,【证明】过点D作DGAF交BC于点G， ECF=DGE，DGB=ACB. AB=AC，ABC=ACB， ABC=DGB，DG=BD.BD=CF， DG=CF.在DGE和FCE中， DGE=ECF，DEG=CEF，DG=CF， DGEFCE(A.A.S.)， DE=EF.,三、平移、旋转全等三角形 【知识点睛】 1.平移型全等三角形 如图所示，B=E，AB=DE，当A=D或ACB=DFE或BC=EF时，ABCDE
8、F. 这里的DEF可以看作是ABC平移得到的.因此，称这一基本图形为平移型全等三角形.,2.旋转型全等三角形 如图所示，在ABC和ADE中，AB=AD，BAC=DAE，AC=AE，ABCADE(S.A.S.). 这里的ADE可以看作是ABC绕点A旋转得到的.因此，称这一基本图形为旋转型全等三角形.,【培优训练】 如图，已知A=F，ABEF，BC=DE，求证：ADCF.,【证明】BC=DE， BC+CD=DE+CD，即BD=EC. ABEF，B=E. 在ABD与FEC中， A=F，B=E，BD=EC， ABDFEC(A.A.S.)， ADB=FCE，ADCF.,3.(2014滨州中考)如图，已知正方形ABCD.把边DC绕D点顺时针旋转30到DC处，连接AC，BC，CC.写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程.,【解析】图中的等腰三角形有：DCC，DCA， CAB，CBC. 推理如下：四边形ABCD是正方形， AB=AD=DC，BAD=ADC=90， DC=DC=DA. DCC，DCA为等腰三角形. CDC=30，ADC=90， ADC=60，ACD为等边三角形. AC=AD=AB，CAB为等腰三角形.,CAB=90-60=30，CDC=CAB. 在DCC和ACB中， CD=BA，CDC=CAB，CD=CA， CDCBAC.CC=CB， BCC为等腰三角形.,
