1、专题：二次函数为背景的图形变换问题例 1、如图，对称轴为直线 x=2 的抛物线经过 A（ 1，0） ，C（0，5）两点，与 x 轴另一交点为 B已知 M（0，1） ， E（a ，0） ，F （a+1，0） ，点 P 是第一象限内的抛物线上的动点（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上求点 G，使得 G 到 A、C 的距离之差最大，求出点 G 的坐标（3）若PCM 是以点 P 为顶点的等腰三角形，求 a 为何值时，四边形 PMEF 周长最小？请说明理由例 2、如图，已知抛物线经过点 A（2，0） 、B （4，0） 、C （0，8） （1）求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标；（2）直线
2、 CD 交 x 轴于点 E，过抛物线上在对称轴的右边的点 P，作 y 轴的平行线交 x轴于点 F，交直线 CD 于 M，使 PM= EF，请求出点 P 的坐标；（3）将抛物线沿对称轴平移，要使抛物线与（2）中的线段 EM 总有交点，那么抛物线向上最多平移多少个单位长度，向下最多平移多少个单位长度例 3、已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+ =0 有两个不相等的实数根，k 为正整数（1）求 k 的值；（2）当此方程有一根为零时，直线 y=x+2 与关于 x 的二次函数 y=x2+2x+ 的图象交于 A、B 两点，若 M 是线段 AB 上的一个动点，过点 M 作 MNx 轴，交二次函数的图象
3、于点 N，求线段 MN 的最大值及此时点 M 的坐标；（3）将（2）中的二次函数图象 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象 x 轴上方的部分组成一个“W ”形状的新图象，若直线y= x+b 与该新图象恰好有三个公共点，求 b 的值例 4、已知：矩形 OABC 的顶点 O 在平面直角坐标系的原点，边 OA、OC 分别在 x、y轴的正半轴 上，且 OA=3cm，OC=4cm，点 M 从点 A 出发沿 AB 向终点 B 运动，点 N从点 C 出发沿 CA 向终点 A 运动，点 M、N 同时出发，且运动的速度均为 1cm/秒，当其中一个点到达终点时
4、，另一点即停止运动设运动的时间为 t 秒（1）当点 N 运动 1 秒时，求点 N 的坐标；（2）试求出多边形 OAMN 的面积 S 与 t 的函数关系式；（3）t 为何值时，以OAN 的一边所在直线为对称轴翻折OAN ，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形？例 5、已知在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，线段 AB 的两个端点 A（0，2） ，B（1，0）分别在 y 轴和 x 轴的正半轴上，点 C 为线段 AB 的中点，现将线段 BA 绕点 B按顺时针方向旋转 90得到线段 BD，抛物线 y=ax2+bx+c（a 0）经过点 D（1）如图 1，若该抛物线经过原点 O，且 a= 求
5、点 D 的坐标及该抛物线的解析式；连结 CD，问：在抛物线上是否存在点 P，使得POB 与 BCD 互余？若存在，请求出所有满足条件的点 P 的坐标，若不存在，请说明理由；（2）如图 2，若该抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点 E（1，1） ，点 Q 在抛物线上，且满足QOB 与BCD 互余若符合条件的 Q 点的个数是 4 个，请直接写出 a 的取值范围例 1、如图，对称轴为直线 x=2 的抛物线经过 A（ 1，0） ，C（0，5）两点，与 x 轴另一交点为 B已知 M（0，1） ， E（a ，0） ，F （a+1，0） ，点 P 是第一象限内的抛物线上的动点（1）求此抛物线的解析式；
6、（2）在抛物线的对称轴上求点 G，使得 G 到 A、C 的距离之差最大，求出点 G 的坐标（3）若PCM 是以点 P 为顶点的等腰三角形，求 a 为何值时，四边形 PMEF 周长最小？请说明理由【解答】方法一：解：（1）对称轴为直线 x=2，设抛物线解析式为 y=a（x 2） 2+k将 A（1，0） ，C （0，5）代入得：，解得 ，y=（x2） 2+9=x2+4x+5（2）作直线 AC，直线 AC 与 x 轴的交点即为所求 G 点。A（ -1,0） ，C （ 0,5）直线 AC 的解析式为 y=5x+5把 x=2 带入 y=5x+5,得 y=15 G（2,15）（3）M （0， 1） ，C（
7、0，5） ， PCM 是以点 P 为顶点的等腰三角形，点 P 的纵坐标为 3令 y=x2+4x+5=3，解得 x=2 点 P 在第一象限，P（2+ ，3） 四边形 PMEF 的四条边中，PM、EF 长度固定，因此只要 ME+PF 最小，则 PMEF 的周长将取得最小值如答图 3，将点 M 向右平移 1 个单位长度（EF 的长度） ，得 M1（1，1） ；作点 M1 关于 x 轴的对称点 M2，则 M2（1，1） ；连接 PM2，与 x 轴交于 F 点，此时 ME+PF=PM2 最小设直线 PM2 的解析式为 y=mx+n，将 P（2+ ，3） ，M 2（1，1）代入得：，解得：m= ，n= ，
8、y= x 当 y=0 时，解得 x= F（ ，0） a+1= ， a= a= 时，四边形 PMEF 周长最小方法二：（1）略（2）连接 MF，过点 P 作 x 轴垂线，交 MF 于点 H，显然当 SPMF 有最大值时，四边形 MEFP 面积最大当 a=1 时，E （1，0） ，F（2，0） ，M（0，1） ，lMF：y= x+1，设 P（t，t 2+4t+5） ，H（t， t+1） ，SPMF= （P YHY） （F XMX） ，SPMF= （ t2+4t+5+ t1） （20）= t2+ t+4，当 t= 时，S PMF 最大值为 ，SMEF= EFMY= 11= ，S 四边形 MEFP 的
9、最大值为 + = （3）M （0， 1） ，C（0，5） ， PCM 是以点 P 为顶点的等腰三角形，点 P 的纵坐标为 3， x2+4x+5=0，解得：x=2 ，点 P 在第一象限，P（2+ ，3） ，PM、EF 长度固定，当 ME+PF 最小时，PMEF 的周长取得最小值，将点 M 向右平移 1 个单位长度（EF 的长度） ，得 M1（1，1） ，四边形 MEFM1 为平行四边形，ME=M1F，作点 M1 关于 x 轴的对称点 M2，则 M2（1，1） ，M2F=M1F=ME，当且仅当 P，F，M 2 三点共线时，此时 ME+PF=PM2 最小，P（ 2+ ，3） ，M 2（1， 1） ，
10、F （a+1，0） ，KPF=KM1F， ，a= 【点评】本题是二次函数综合题，第（1）问考查了待定系数法；第（2）问考查了图形面积计算以及二次函数的最值；第（3）问主要考查了轴对称最短路线的性质试题计算量偏大，注意认真计算例 2、如图，已知抛物线经过点 A（2，0） 、B （4，0） 、C （0，8） （1）求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标；（2）直线 CD 交 x 轴于点 E，过抛物线上在对称轴的右边的点 P，作 y 轴的平行线交 x轴于点 F，交直线 CD 于 M，使 PM= EF，请求出点 P 的坐标；（3）将抛物线沿对称轴平移，要使抛物线与（2）中的线段 EM 总有交点，那么抛物
11、线向上最多平移多少个单位长度，向下最多平移多少个单位长度【解答】解：（1）根据题意可设抛物线的解析式为 y=a（x+2） （x4） 点 C（0，8）在抛物线 y=a（x+2 ） （x 4）上，8a=8a=1y=（x+2） （x4）=x22x8=（x1） 29抛物线的解析式为 y=x22x8，顶点 D 的坐标为（1，9） （2）如图，设直线 CD 的解析式为 y=kx+b解得： 直线 CD 的解析式为 y=x8当 y=0 时， x8=0，则有 x=8点 E 的坐标为（ 8，0） 设点 P 的坐标为（m ，n） ，则 PM=（m 22m8）（m 8）=m 2m，EF=m（ 8）=m+8 PM= E
12、F，m2m= （m+8） 整理得：5m 26m8=0（ 5m+4） （m2）=0解得：m 1= ，m 2=2点 P 在对称轴 x=1 的右边，m=2此时，n=2 2228=8点 P 的坐标为（2，8） （3）当 m=2 时， y=28=10点 M 的坐标为（ 2，10） 设平移后的抛物线的解析式为 y=x22x8+c，若抛物线 y=x22x8+c 与直线 y=x8 相切，则方程 x22x8+c=x8 即 x2x+c=0 有两个相等的实数根（ 1） 241c=0c= 若抛物线 y=x22x8+c 经过点 M，则有 22228+c=10c=2若抛物线 y=x22x8+c 经过点 E，则有（8） 2
13、2（ 8）8+c=0c=72综上所述：要使抛物线与（2）中的线段 EM 总有交点，抛物线向上最多平移 个单位长度，向下最多平移 72 个单位长度【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、用待定系数法求一次函数的解析式、解一元二次方程、根的判别式、抛物线与直线的交点问题等知识，而把抛物线与直线相切的问题转化为一元二次方程有两个相等的实数根的问题是解决第三小题的关键，有一定的综合性例 3、已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+ =0 有两个不相等的实数根，k 为正整数（1）求 k 的值；（2）当此方程有一根为零时，直线 y=x+2 与关于 x 的二次函数 y=x2+2x+ 的图象交于
14、A、B 两点，若 M 是线段 AB 上的一个动点，过点 M 作 MNx 轴，交二次函数的图象于点 N，求线段 MN 的最大值及此时点 M 的坐标；（3）将（2）中的二次函数图象 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象 x 轴上方的部分组成一个“W ”形状的新图象，若直线y= x+b 与该新图象恰好有三个公共点，求 b 的值【解答】解：（1）关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 k12 k 3k 为正整数，k 为 1，2（2）把 x=0 代入方程 得 k=1，此时二次函数为 y=x2+2x，此时直线 y=x+2 与二次函数 y=x2+
15、2x 的交点为 A（ 2，0） ，B（1，3）由题意可设 M（m，m+2 ） ，其中 2m1，则 N（m，m 2+2m） ，MN=m+2（m 2+2m）=m 2m+2= 当 m= 时，MN 的长度最大值为 此时点 M 的坐标为 （3）当 y= x+b 过点 A 时，直线与新图象有 3 个公共点 （如图 2 所示） ，把 A（2，0）代入 y= x+b 得 b=1，当 y= x+b 与新图象的封闭部分有一个公共点时，直线与 新图象有 3 个公共点由于新图象的封闭部分与原图象的封闭部分关于 x 轴对称，所以其解析式为 y=x22x 有一组解，此时 有两个相等的实数根，则 所以 b= ，综上所述 b
16、=1 或 b= 【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了根的判别式的应用，还考查了两函数图象的交点问题，难点在于（3）求出直线与抛物线有 3 个交点的情况，根据题意分类讨论，并且作出图形更利于解决问题例 4、已知：矩形 OABC 的顶点 O 在平面直角坐标系的原点，边 OA、OC 分别在 x、y轴的正半轴 上，且 OA=3cm，OC=4cm，点 M 从点 A 出发沿 AB 向终点 B 运动，点 N从点 C 出发沿 CA 向终点 A 运动，点 M、N 同时出发，且运动的速度均为 1cm/秒，当其中一个点到达终点时，另一点即停止运动设运动的时间为 t 秒（1）当点 N 运动 1 秒时，求点 N
17、的坐标；（2）试求出多边形 OAMN 的面积 S 与 t 的函数关系式；（3）t 为何值时，以OAN 的一边所在直线为对称轴翻折OAN ，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形？【考点】相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题） 菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】 （1）过 N 作 NEy 轴，作 NFx 轴，由CENCOA，利用相似比求 EN，再用勾股定理求 CE，确定 N 点坐标；（2）将多边形 OAMN 分为ONA 和AMN，用 t 分别表示两个三角形的面积，再求和即可；（3）分为直线 ON 为对称轴，直线 OA 为对称轴，
18、直线 AN 为对称轴，画出图形，根据菱形的特殊性，列方程求解【解答】解：（1）t=1 CN=1，AM=1过 N 作 NEy 轴，作 NFx 轴CENCOA， ，即 ，EN= （1 分）由勾股定理得： ， ， （2 分）（2）由（1）得 ，N 点坐标为 多边形 OAMN 由ONA 和 AMN 组成 = （3 分）= （4 分）多边形 OAMN 的面积 S= （0t4） （5 分）（3）直线 ON 为对称轴时，翻折OAN 得到 OAN，此时组成的四边形为 OANA，当 AN=AN=AO=OA，四边形 OANA是菱形即 AN=OA， 5t=3t=2 （6 分）直线 OA 为对称轴时，翻折OAN 得到
19、 OAN，此时组成的四边形为 ONAN，连接 NN，交 OA 于点 G当 NN与 OA 互相垂直平分时，四边形 ONAN是菱形即 OANN，OG=AG= ，NGCO，点 N 是 AC 的中点，CN= ， （7 分）直线 AN 为对称轴时，翻折OAN 得到 OAN，此时组成的四边形为 ONOA，连接 OO，交 AN 于点 H当 OO与 AN 互相垂直平分时，四边形 ONOA 是菱形即 OHAC，AH=NH= ，由面积法可求得 OH= ，在 RtOAH 中，由勾股定理得，AH= ， （8 分）综上所述，t 的值为 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，矩形的性质及折叠变换关键是根据
20、题意，结合图形及特殊图形的性质，运用勾股定理，相似三角形的性质解题例 5、已知在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，线段 AB 的两个端点 A（0，2） ，B（1，0）分别在 y 轴和 x 轴的正半轴上，点 C 为线段 AB 的中点，现将线段 BA 绕点 B按顺时针方向旋转 90得到线段 BD，抛物线 y=ax2+bx+c（a 0）经过点 D（1）如图 1，若该抛物线经过原点 O，且 a= 求点 D 的坐标及该抛物线的解析式；连结 CD，问：在抛物线上是否存在点 P，使得POB 与 BCD 互余？若存在，请求出所有满足条件的点 P 的坐标，若不存在，请说明理由；（2）如图 2，若该抛物
21、线 y=ax2+bx+c（a0）经过点 E（1，1） ，点 Q 在抛物线上，且满足QOB 与BCD 互余若符合条件的 Q 点的个数是 4 个，请直接写出 a 的取值范围【解答】解：（1）过点 D 作 DFx 轴于点 F，如图 1，DBF+ABO=90，BAO+ABO=90，DBF=BAO，又AOB=BFD=90，AB=BD，在AOB 和 BFD 中，AOBBFD（AAS）DF=BO=1，BF=AO=2，D 的坐标是（3，1） ，根据题意，得 a= ，c=0，且 a32+b3+c=1，b= ，该抛物线的解析式为 y= x2+ x；点 A（0，2） ，B （1，0） ，点 C 为线段 AB 的中点
22、，C（ ，1） ，C、D 两点的纵坐标都为 1，CDx 轴，BCD=ABO，BAO 与BCD 互余，要使得POB 与 BCD 互余，则必须POB= BAO，设 P 的坐标为（x， x2+ x） ，（）当 P 在 x 轴的上方时，过 P 作 PGx 轴于点 G，如图 2，则 tanPOB=tanBAO，即 = ， = ，解得 x1=0（舍去） ，x 2= ， x2+ x= ，P 点的坐标为（ ， ） ；（）当 P 在 x 轴的下方时，过 P 作 PGx 轴于点 G，如图 3则 tanPOB=tanBAO，即 = ， = ，解得 x1=0（舍去） ，x 2= ， x2+ x= ，P 点的坐标为（
23、， ） ；综上，在抛物线上是否存在点 P（ ， ）或（ ， ） ，使得POB 与BCD 互余（2）如图 3，D（3，1） ，E （1，1） ，抛物线 y=ax2+bx+c 过点 E、D ，代入可得 ，解得 ，所以y=ax24ax+3a+1分两种情况：当抛物线 y=ax2+bx+c 开口向下时，若满足QOB 与BCD 互余且符合条件的 Q 点的个数是 4 个，则点 Q 在 x 轴的上、下方各有两个（i）当点 Q 在 x 轴的下方时，直线 OQ 与抛物线有两个交点，满足条件的 Q 有 2 个；（ii）当点 Q 在 x 轴的上方时，要使直线 OQ 与抛物线 y=ax2+bx+c 有两个交点，抛物线y
24、=ax2+bx+c 与 x 轴的交点必须在 x 轴的正半轴上，与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴，所以3a+10，解得 a ；当抛物线 y=ax2+bx+c 开口向上时，点 Q 在 x 轴的上、下方各有两个，（i）当点 Q 在 x 轴的上方时，直线 OQ 与抛物线 y=ax2+bx+c 有两个交点，符合条件的点 Q 有两个；（ii）当点 Q 在 x 轴的下方时，要使直线 OQ 与抛物线 y=ax2+bx+c 有两个交点，符合条件的点 Q 才两个根据（2）可知，要使得QOB 与BCD 互余，则必须 QOB=BAO，tanQOB=tanBAO= = ，此时直线 OQ 的斜率为 ，则直线 OQ 的解析式为 y= x，要使直线 OQ 与抛物线 y=ax2+bx+c 有两个交点，所以方程 ax24ax+3a+1= x 有两个不相等的实数根，所以=（ 4a+ ） 24a（3a+1）0，即 4a28a+ 0，解得 a （a舍去）综上所示，a 的取值范围为 a 或 a 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，正切函数，最小值等，分类讨论的思想是本题的关键
