一次函数与图形变换.doc

1、第 1 页（共 27 页）一次函数与图形变换（含答案）1 （2011苏州）如图，巳知 A 点坐标为（5，0） ，直线 y=x+b（b0）与 y 轴交于点 B，连接 AB，=75 ，则 b的值为（ ）A3 B C4 D1 2 32 （2013重庆）如图，平面直角坐标系中，已知直线 y=x 上一点 P（1，1） ，C 为 y 轴上一点，连接 PC，线段 PC绕点 P 顺时针旋转 90至线段 PD，过点 D 作直线 ABx 轴，垂足为 B，直线 AB 与直线 y=x 交于点 A，且BD=2AD，连接 CD，直线 CD 与直线 y=x 交于点 Q，则点 Q 的坐标为 3 （2013湖州）如图，已知点

2、A 是第一象限内横坐标为 2 的一个定点，AC x 轴于点 M，交直线 y=x 于点N若点 P 是线段 ON 上的一个动点， APB=30，BAPA，则点 P 在线段 ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动求当点 P 从点 O 运动到点 N 时，点 B 运动的路径长是 4 （2013义乌市）如图，直线 l1x 轴于点 A（2，0） ，点 B 是直线 l1 上的动点直线 l2：y=x+1 交 l1 于点 C，过点 B 作直线 l3 垂直于 l2，垂足为 D，过点 O，B 的直线 l4 交 l2 于点 E，当直线 l1，l 2，l 3 能围成三角形时，设该三角形面积为 S1，当直线 l2，l

3、3，l 4 能围成三角形时，设该三角形面积为 S2（1）若点 B 在线段 AC 上，且 S1=S2，则 B 点坐标为 ；（2）若点 B 在直线 l1 上，且 S2= S1，则BOA 的度数为 4 55 （2011深圳）如图， ABC 的内心在 y 轴上，点 C 的坐标为（ 2，0） ，点 B 的坐标是（0，2） ，直线 AC 的解析式为 ，则 tanA 的值是 第 2 页（共 27 页）6 （2011攀枝花）如图，已知直线 l1： 与直线 l2：y= 2x+16 相交于点 C，直线 l1、l 2 分别交 x 轴于A、B 两点，矩形 DEFG 的顶点 D、E 分别在 l1、l 2 上，顶点 F、

4、G 都在 x 轴上，且点 G 与 B 点重合，那么 S 矩形DEFG：S ABC= 6 77 （2007南平）如图，直线 y= x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，点 C 在 OB 上，若将 ABC 沿 AC 折叠，使点 B 恰好落在 x 轴上的点 D 处，则点 C 的坐标是 8 （2015黑龙江）如图，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 在坐标轴上，ODE 是OCB 绕点 O 顺时针旋转 90得到的，点 D 在 x 轴上，直线 BD 交 y 轴于点 F，交 OE 于点 H，线段 BC、OC 的长是方程 x26x+8=0 的两个根，且OCBC （1）求直线 BD 的解析式；（2

5、）求OFH 的面积；（3）点 M 在坐标轴上，平面内是否存在点 N，使以点 D、F、M、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由9 （2014新疆）如图，直线 y= x+8 与 x 轴交于 A 点，与 y 轴交于 B 点，动点 P 从 A 点出发，以每秒 2 个单位的速度沿 AO 方向向点 O 匀速运动，同时动点 Q 从 B 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿 BA 方向向点 A 匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接 PQ，设运动时间为 t（s） （0t 3） （1）写出 A，B 两点的坐标；（2）设AQP 的面积为 S，试求出 S

6、与 t 之间的函数关系式；并求出当 t 为何值时，AQP 的面积最大？（3）当 t 为何值时，以点 A，P，Q 为顶点的三角形与ABO 相似，并直接写出此时点 Q 的坐标第 3 页（共 27 页）10 （2013泉州）如图，直线 y= x+2 分别与 x、y 轴交于点 B、C，点 A（2，0） ，P 是直线 BC 上的动点（1）求ABC 的大小；（2）求点 P 的坐标，使APO=30；（3）在坐标平面内，平移直线 BC，试探索：当 BC 在不同位置时，使 APO=30的点 P 的个数是否保持不变？若不变，指出点 P 的个数有几个？若改变，指出点 P 的个数情况，并简要说明理由11 （2013牡

7、丹江）如图，平面直角坐标系中，矩形 OABC 的对角线 AC=12，tanACO= ，（1）求 B、C 两点的坐标；（2）把矩形沿直线 DE 对折使点 C 落在点 A 处，DE 与 AC 相交于点 F，求直线 DE 的解析式；（3）若点 M 在直线 DE 上，平面内是否存在点 N，使以 O、F、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由12 （2010双流县）如图，一次函数的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，且 A、B 两点的坐标分别为（4，0） ， （0，3） （1）求一次函数的表达式（2）点 C 在线段 OA 上，沿 BC 将OBC 翻

8、折，O 点恰好落在 AB 上的 D 处，求直线 BC 的表达式第 4 页（共 27 页）13 （2011黑龙江）如图，直线 AB 与坐标轴分别交于点 A、点 B，且 OA、OB 的长分别为方程 x26x+8=0 的两个根（OAOB） ，点 C 在 y 轴上，且 OA：AC=2：5，直线 CD 垂直于直线 AB 于点 P，交 x 轴于点 D（1）求出点 A、点 B 的坐标（2）请求出直线 CD 的解析式（3）若点 M 为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点 M，使以点 B、P 、D 、M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由14 （201

9、3济南）如图，点 A 的坐标是（2，0） ，点 B 的坐标是（6，0） ，点 C 在第一象限内且OBC 为等边三角形，直线 BC 交 y 轴于点 D，过点 A 作直线 AEBD，垂足为 E，交 OC 于点 F（1）求直线 BD 的函数表达式；（2）求线段 OF 的长；（3）连接 BF，OE ，试判断线段 BF 和 OE 的数量关系，并说明理由答案1 （2011苏州）如图，巳知 A 点坐标为（5，0） ，直线 y=x+b（b0）与 y 轴交于点 B，连接 AB，=75，则b 的值为（ ）第 5 页（共 27 页）A3 B C4 D【考点】一次函数综合题菁优网版权所有【专题】综合题；压轴题【分析】

10、根据三角函数求出点 B 的坐标，代入直线 y=x+b（b0） ，即可求得 b 的值【解答】解：由直线 y=x+b（b0） ，可知1=45，=75，ABO=18045 75=60，OB=OAtanABO= 点 B 的坐标为（0， ） ，b= 故选：B【点评】本题灵活考查了一次函数点的坐标的求法和三角函数的知识，注意直线 y=x+b（b0）与 x 轴的夹角为45二填空题（共 6 小题）2 （2013重庆）如图，平面直角坐标系中，已知直线 y=x 上一点 P（1，1） ，C 为 y 轴上一点，连接 PC，线段 PC绕点 P 顺时针旋转 90至线段 PD，过点 D 作直线 ABx 轴，垂足为 B，直线

11、 AB 与直线 y=x 交于点 A，且BD=2AD，连接 CD，直线 CD 与直线 y=x 交于点 Q，则点 Q 的坐标为 （ ， ） 【考点】一次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题第 6 页（共 27 页）【分析】过 P 作 MNy 轴，交 y 轴于 M，交 AB 于 N，过 D 作 DHy 轴，交 y 轴于H，CMP=DNP=CPD=90 ，求出MCP=DPN ，证MCPNPD，推出 DN=PM，PN=CM ，设 AD=a，求出 DN=2a1，得出 2a1=1，求出 a=1，得出 D 的坐标，在 RtDNP 中，由勾股定理求出 PC=PD= ，在 RtMCP 中，由勾股定理求出 CM=

12、2，得出 C 的坐标，设直线 CD 的解析式是 y=kx+3，把 D（3，2）代入求出直线CD 的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可【解答】解：过 P 作 MNy 轴，交 y 轴于 M，交 AB 于 N，过 D 作 DHy 轴，交 y 轴于 H，CMP= DNP=CPD=90，MCP+ CPM=90，MPC+ DPN=90，MCP= DPN，P（1，1） ，OM=BN=1，PM=1，在MCP 和NPD 中MCPNPD（AAS ） ，DN=PM，PN=CM，BD=2AD，设 AD=a，BD=2a，P（1，1） ，DN=2a 1，则 2a1=1，a=1，即 BD=2直线 y=

13、x，AB=OB=3，在 RtDNP 中，由勾股定理得：PC=PD= = ，在 RtMCP 中，由勾股定理得：CM= =2，则 C 的坐标是（0，3） ，设直线 CD 的解析式是 y=kx+3，把 D（3，2）代入得：k= ，即直线 CD 的解析式是 y= x+3，即方程组 得： ，即 Q 的坐标是（ ， ） ，故答案为：（ ， ） 第 7 页（共 27 页）【点评】本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度3 （2013湖州）如图，已知点 A 是第一

14、象限内横坐标为 2 的一个定点，ACx 轴于点 M，交直线 y=x 于点N若点 P 是线段 ON 上的一个动点， APB=30，BA PA，则点 P 在线段 ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动求当点 P 从点 O 运动到点 N 时，点 B 运动的路径长是 【考点】一次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】 （1）首先，需要证明线段 B0Bn 就是点 B 运动的路径（或轨迹） ，如答图所示利用相似三角形可以证明；（2）其次，如答图所示，利用相似三角形 AB0Bn AON，求出线段 B0Bn 的长度，即点 B 运动的路径长【解答】解：由题意可知，OM= ，点 N 在直线 y=x 上

15、，ACx 轴于点 M，则OMN 为等腰直角三角形，ON= OM= = 如答图所示，设动点 P 在 O 点（起点）时，点 B 的位置为 B0，动点 P 在 N 点（终点）时，点 B 的位置为 Bn，连接 B0BnAOAB 0，ANAB n，OAC=B 0ABn，又AB 0=AOtan30，AB n=ANtan30，AB 0：AO=AB n：AN=tan30（此处也可用 30角的 Rt三边长的关系来求得） ，AB 0Bn AON，且相似比为 tan30，B 0Bn=ONtan30= = 现在来证明线段 B0Bn 就是点 B 运动的路径（或轨迹） 如答图所示，当点 P 运动至 ON 上的任一点时，设

16、其对应的点 B 为 Bi，连接 AP，AB i，B 0BiAOAB 0，AP AB i，OAP=B 0ABi，又AB 0=AOtan30，AB i=APtan30，AB 0：AO=AB i：AP，AB 0BiAOP ，AB 0Bi=AOP第 8 页（共 27 页）又AB 0Bn AON，AB 0Bn=AOP ，AB 0Bi=AB 0Bn，点 Bi 在线段 B0Bn 上，即线段 B0Bn 就是点 B 运动的路径（或轨迹） 综上所述，点 B 运动的路径（或轨迹）是线段 B0Bn，其长度为 故答案为： 【点评】本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大本题的要点有两个：首先，确定点 B

17、的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点 B 运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中4 （2013义乌市）如图，直线 l1x 轴于点 A（2，0） ，点 B 是直线 l1 上的动点直线 l2：y=x+1 交 l1 于点 C，过点 B 作直线 l3 垂直于 l2，垂足为 D，过点 O，B 的直线 l4 交 l2 于点 E，当直线 l1，l 2，l 3 能围成三角形时，设该三角形面积为 S1，当直线 l2，l 3，l 4 能围成三角形时，设该三角形面积为 S2（1）若点 B 在线段 AC 上，且 S1=S2，则 B 点

18、坐标为 （2，0） ；（2）若点 B 在直线 l1 上，且 S2= S1，则BOA 的度数为 15 或 75 【考点】一次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】 （1）设 B 的坐标是（ 2，m ） ，则BCD 是等腰直角三角形，即可表示出 S1，求得直线 l1 的解析式，解方程组即可求得 E 的坐标，则 S2 的值即可求得，根据 S1=S2，即可得到一个关于 m 的方程从而求得 m 的值；（2）分类讨论，根据 S2= S1，即可得到一个关于 m 的方程从而求得 m 的值，根据勾股定理，求得角的度数【解答】解：（1）设 B 的坐标是（ 2，m ） ，直线 l2：y=x+1 交 l1 于

19、点 C，ACE=45，第 9 页（共 27 页）BCD 是等腰直角三角形BC=|3m|，则 BD=CD= BC= |3m|，S1= （ |3m|） 2= （3m） 2设直线 l4 的解析式是 y=kx，过点 B，则 2k=m，解得： k= ，则直线 l4 的解析式是 y= x根据题意得： ，解得： ，则 E 的坐标是（ ， ） SBCE= BC| |= |3m| |= S 2=SBCES1= （3m ） 2当 S1=S2 时， （3 m） 2= （3m） 2解得：m 1=4 或 m2=0，易得点 C 坐标为（2，3） ，即 AC=3，点 B 在线段 AC 上，m 1=4 不合题意舍去，则 B

20、的坐标是（2，0） ；（2）分三种情况：当点 B 在线段 AC 上时当 S2= S1 时， （3m ） 2= （3 m） 2解得：m=42 或 2 （不在线段 AC 上，舍去） ，或 m=3（l2 和 l4 重合，舍去） 则 AB=42 在 OA 上取点 F，使 OF=BF，连接 BF，设 OF=BF=x则 AF=2x，根据勾股定理， ，解得： ，sinBFA= ，BFA=30，第 10 页（共 27 页）BOA=15；当点 B 在 AC 延长线上时，此时，当 S2= S1 时，得： ，解得符合题意有：AB=4+2 在 AB 上取点 G，使 BG=OG，连接 OG，设 BG=OG=x，则 AG

21、=4+2 x根据勾股定理，得 ，解得：x=4，sinOGA= ，OGA=30 ，OBA=15，BOA=75；当点 B 在 CA 延长线上时此时， ，当 S2= S1 时，得： ，解得：m=3（l 2 和 l4 重合，舍去） ，此时满足条件的点 B 不存在，综上所述，BOA 的度数为 15或 75第 11 页（共 27 页）【点评】本题考查了一次函数与勾股定理的应用，三角形的面积，正确表示出 S2 是关键5 （2011深圳）如图， ABC 的内心在 y 轴上，点 C 的坐标为（ 2，0） ，点 B 的坐标是（0，2） ，直线 AC 的解析式为 ，则 tanA 的值是 【考点】一次函数综合题菁优网

22、版权所有【专题】压轴题【分析】根据三角形内心的特点知ABO=CBO，根据点 C、点 B 的坐标得出 OB=OC，OBC=45，ABC=90可知ABC 为直角三角形，BC=2 ，然后根据两点间距离公式及勾股定理得出点 A 坐标，从而得出AB，即可得出答案【解答】解：根据三角形内心的特点知ABO=CBO，已知点 C、点 B 的坐标，OB=OC，OBC=45，ABC=90可知ABC 为直角三角形， BC=2 ，点 A 在直线 AC 上，设 A 点坐标为（x， x1） ，根据两点距离公式可得：AB2=x2+ ，AC2=（x2） 2+ ，在 RtABC 中，AB2+BC2=AC2，解得：x= 6，y=4

23、，AB=6 ，tanA= = = 故答案为： 【点评】本题主要考查了三角形内心的特点，两点间距离公式、勾股定理，综合性较强，难度较大第 12 页（共 27 页）6 （2011攀枝花）如图，已知直线 l1： 与直线 l2：y= 2x+16 相交于点 C，直线 l1、l 2 分别交 x 轴于A、B 两点，矩形 DEFG 的顶点 D、E 分别在 l1、l 2 上，顶点 F、G 都在 x 轴上，且点 G 与 B 点重合，那么 S 矩形DEFG：S ABC= 8：9 【考点】一次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】把 y=0 代入 l1 解析式求出 x 的值便可求出点 A 的坐标令 x=0 代

24、入 l2 的解析式求出点 B 的坐标然后可求出 AB 的长联立方程组可求出交点 C 的坐标，继而求出三角形 ABC 的面积，再利用 xD=xB=8 易求 D 点坐标又已知 yE=yD=8 可求出 E 点坐标故可求出 DE，EF 的长，即可得出矩形面积【解答】解：由 x+ =0，得 x=4A 点坐标为（4，0） ，由2x+16=0，得 x=8B 点坐标为（8，0） ，AB=8（4） =12由 ，解得 ，C 点的坐标为（5，6） ，S ABC= ABC= 126=36点 D 在 l1 上且 xD=xB=8，y D= 8+ =8，D 点坐标为（8，8） ，又点 E 在 l2 上且 yE=yD=8，2

25、x E+16=8，x E=4，E 点坐标为（4，8） ，DE=84=4，EF=8 矩形面积为：4 8=32，S 矩形 DEFG：S ABC=32：36=8：9故答案为：8：9【点评】此题主要考查了一次函数交点坐标求法以及图象上点的坐标性质等知识，根据题意分别求出 C，D 两点的坐标是解决问题的关键第 13 页（共 27 页）7 （2007南平）如图，直线 y= x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，点 C 在 OB 上，若将 ABC 沿 AC 折叠，使点 B 恰好落在 x 轴上的点 D 处，则点 C 的坐标是 （0，1.5） 【考点】一次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析

26、】利用三角形全等性质【解答】解：由题意得：A（ 3，0） ，B（0，4） ；OA=3 ，OB=4那么可得 AB=5易得ABCADC，AD=AB=5，OD=AD OA=2设 OC 为 x那么 BC=CD=4x那么 x2+22=（4x） 2，解得 x=1.5，C（0，1.5） 【点评】本题用到的知识点为：翻折前后的三角形全等三解答题（共 7 小题）8 （2015黑龙江）如图，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 在坐标轴上，ODE 是OCB 绕点 O 顺时针旋转 90得到的，点 D 在 x 轴上，直线 BD 交 y 轴于点 F，交 OE 于点 H，线段 BC、OC 的长是方程 x26x+8=0 的

27、两个根，且OCBC （1）求直线 BD 的解析式；（2）求OFH 的面积；（3）点 M 在坐标轴上，平面内是否存在点 N，使以点 D、F、M、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由【考点】一次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】 （1）解方程可求得 OC、BC 的长，可求得 B、D 的坐标，利用待定系数法可求得直线 BD 的解析式；（2）可求得 E 点坐标，求出直线 OE 的解析式，联立直线 BD、OE 解析式可求得 H 点的横坐标，可求得OFH的面积；第 14 页（共 27 页）（3）当MFD 为直角三角形时，可找到满足条件的点 N，分MF

28、D=90、MDF=90 和FMD=90 三种情况，分别求得 M 点的坐标，可分别求得矩形对角线的交点坐标，再利用中点坐标公式可求得 N 点坐标【解答】解：（1）解方程 x26x+8=0 可得 x=2 或 x=4，BC、OC 的长是方程 x26x+8=0 的两个根，且 OCBC ，BC=2，OC=4 ，B（2，4） ，ODE 是OCB 绕点 O 顺时针旋转 90得到的，OD=OC=4，DE=BC=2，D（4，0） ，设直线 BD 解析式为 y=kx+b，把 B、D 坐标代入可得 ，解得 ，直线 BD 的解析式为 y= x+ ；（2）由（1）可知 E（4，2） ，设直线 OE 解析式为 y=mx，

29、把 E 点坐标代入可求得 m= ，直线 OE 解析式为 y= x，令 x+ = x，解得 x= ，H 点到 y 轴的距离为 ，又由（1）可得 F（0， ） ，OF= ，S OFH= = ；（3）以点 D、F 、M 、N 为顶点的四边形是矩形，DFM 为直角三角形，当MFD=90时，则 M 只能在 x 轴上，连接 FN 交 MD 于点 G，如图 1，第 15 页（共 27 页）由（2）可知 OF= ，OD=4，则有MOF FOD， = ，即 = ，解得 OM= ，M（ ，0） ，且 D（4，0） ，G（ ，0） ，设 N 点坐标为（x，y） ，则 = ， =0，解得 x= ，y= ，此时 N 点

30、坐标为（ ， ） ；当MDF=90时，则 M 只能在 y 轴上，连接 DN 交 MF 于点 G，如图 2，则有FOD DOM ， = ，即 = ，解得 OM=6，M（0，6） ，且 F（0， ） ，MG= MF= ，则 OG=OMMG=6 = ，第 16 页（共 27 页）G（0， ） ，设 N 点坐标为（x，y） ，则 =0， = ，解得 x=4，y= ，此时 N（4， ） ；当FMD=90时，则可知 M 点为 O 点，如图 3，四边形 MFND 为矩形，NF=OD=4，ND=OF= ，可求得 N（4， ） ；综上可知存在满足条件的 N 点，其坐标为（ ， ）或（4， ）或（4， ） 【点评

31、】本题主要考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、旋转的性质、矩形的性质、相似三角形的性质等在（1）中求得 B、D 坐标是解题的关键，在（2）中联立两直线求得 H 点的横坐标是解题的关键，在（3）中确定出 M 点的坐标是解题的关键，注意分类讨论思想的应用本题考查知识点较基础，难度适中9 （2014新疆）如图，直线 y= x+8 与 x 轴交于 A 点，与 y 轴交于 B 点，动点 P 从 A 点出发，以每秒 2 个单位的速度沿 AO 方向向点 O 匀速运动，同时动点 Q 从 B 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿 BA 方向向点 A 匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接 P

32、Q，设运动时间为 t（s） （0t 3） （1）写出 A，B 两点的坐标；（2）设AQP 的面积为 S，试求出 S 与 t 之间的函数关系式；并求出当 t 为何值时，AQP 的面积最大？（3）当 t 为何值时，以点 A，P，Q 为顶点的三角形与ABO 相似，并直接写出此时点 Q 的坐标【考点】一次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】 （1）分别令 y=0，x=0 求解即可得到点 A、B 的坐标；（2）利用勾股定理列式求出 AB，然后表示出 AP、AQ，再利用OAB 的正弦求出点 Q 到 AP 的距离，然后利用三角形的面积列式整理即可得解；（3）根据相似三角形对应角相等，分APQ=90

33、和AQP=90两种情况，利用OAB 的余弦列式计算即可得解【解答】解：（1）令 y=0，则 x+8=0，第 17 页（共 27 页）解得 x=6，x=0 时，y=y=8，OA=6 ，OB=8，点 A（6，0） ，B（0，8） ；（2）在 RtAOB 中，由勾股定理得，AB= = =10，点 P 的速度是每秒 2 个单位，点 Q 的速度是每秒 1 个单位，AP=2t，AQ=ABBQ=10t，点 Q 到 AP 的距离为 AQsinOAB=（10 t） = （10t ） ，AQP 的面积 S= 2t （ 10t）= （t 210t）= （t 5） 2+20， 0 ，0t 3，当 t=3 时， AQP

34、 的面积最大，S 最大 = （35） 2+20= ；（3）若APQ=90，则 cosOAB= ， = ，解得 t= ，若AQP=90 ，则 cosOAB= ， = ，解得 t= ，0t3，t 的值为 ，此时，OP=6 2 = ，PQ=APtanOAB=（2 ） = ，点 Q 的坐标为（ ， ） ，综上所述，t= 秒时，以点 A，P，Q 为顶点的三角形与ABO 相似，此时点 Q 的坐标为（ ， ） 【点评】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求法，三角形的面积，二次函数的最值问题，相似三角形对应角相等的性质，锐角三角函数， （2）要注意根据 t 的取值范围求三角形的面积的最

35、大值，（3）难点在于要分情况讨论第 18 页（共 27 页）10 （2013泉州）如图，直线 y= x+2 分别与 x、y 轴交于点 B、C，点 A（2，0） ，P 是直线 BC 上的动点（1）求ABC 的大小；（2）求点 P 的坐标，使APO=30；（3）在坐标平面内，平移直线 BC，试探索：当 BC 在不同位置时，使APO=30 的点 P 的个数是否保持不变？若不变，指出点 P 的个数有几个？若改变，指出点 P 的个数情况，并简要说明理由【考点】一次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】 （1）求得 B、C 的坐标，在直角BOC 中，利用三角函数即可求解；（2）取 AC 中点 Q，

36、以点 Q 为圆心，2 为半径长画圆Q，Q 与直线 BC 的两个交点，即为所求；（3）当 BC 在不同位置时，点 P 的个数会发生改变，使APO=30的点 P 的个数情况有四种：1 个、2 个、3 个、4 个如答图 2 所示【解答】解：（1）在 y= x+2 中，令 x=0，得 y=2 ；令 y=0，得 x=2，C（0，2 ） ，B（2，0） ，OC=2 ，OB=2tanABC= = = ，ABC=60（2）如答图 1 所示，连接 AC由（1）知ABC=60，BC=2OB=4又AB=4， AB=BC，第 19 页（共 27 页）ABC 为等边三角形，AB=BC=AC=4取 AC 中点 Q，以点

37、Q 为圆心，2 为半径长画圆，与直线 BC 交于点 P1，P 2QP 1=2，QO=2，点 P1 与点 C 重合，且Q 经过点 OP 1（0，2 ） QA=QO，CAB=60， AOQ 为等边三角形在Q 中，AO 所对的圆心角OQA=60 ，由圆周角定理可知，AO 所对的圆周角APO=30，故点 P1、P 2 符合条件QC=QP 2，ACB=60，P 2QC 为等边三角形P 2C=QP=2，点 P2 为 BC 的中点B（2，0） ，C（0，2 ） ，P 2（1， ） 综上所述，符合条件的点 P 坐标为（0，2 ） ， （1， ） （3）当 BC 在不同位置时，点 P 的个数会发生改变，使APO

38、=30的点 P 的个数情况有五种：0 个、1 个、2 个、3 个、4 个如答图 2 所示，以 AO 为弦，AO 所对的圆心角等于 60的圆共有 2 个，记为Q ，Q，点 Q，Q关于 x 轴对称直线 BC 与Q ，Q的公共点 P 都满足APO= AQO= AQ O=30，点 P 的个数情况：）有 1 个：直线 BC 只与Q （或Q）相切； ）有 2 个：直线 BC 只与Q （ 或Q）相交，或直线 BC 与 AO 相交（包括 A，O 两点） ；）有 3 个：直线 BC 与Q （或Q ）相切，同时 BC 与Q（或Q）相交； ）有 4 个：直线 BC 同时与Q、Q都相交，同时直线 BC 不与 AO 相

39、交，且 BC 不过两圆的交点【点评】本题是代数几何综合题，考查了坐标平面内直线与圆的位置关系难点在于第（3）问，所涉及的情形较多，容易遗漏11 （2013牡丹江）如图，平面直角坐标系中，矩形 OABC 的对角线 AC=12，tanACO= ，（1）求 B、C 两点的坐标；（2）把矩形沿直线 DE 对折使点 C 落在点 A 处，DE 与 AC 相交于点 F，求直线 DE 的解析式；（3）若点 M 在直线 DE 上，平面内是否存在点 N，使以 O、F、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由第 20 页（共 27 页）【考点】一次函数综合题菁优网版权所有

40、【专题】压轴题【分析】 （1）利用三角函数求得 OA 以及 OC 的长度，则 C、B 的坐标即可得到；（2）直线 DE 是 AC 的中垂线，利用待定系数法以及互相垂直的两直线的关系即可求得 DE 的解析式；（3）分当 FM 是菱形的边和当 OF 是对角线两种情况进行讨论利用三角函数即可求得 N 的坐标【解答】解：（1）在直角OAC 中，tanACO= = ，设 OA= x，则 OC=3x，根据勾股定理得：（3x） 2+（ x） 2=AC2，即 9x2+3x2=144，解得：x=2 故 C 的坐标是：（6 ，0） ， B 的坐标是（6 ，6） ；（2）直线 AC 的斜率是： = ，则直线 DE

41、的斜率是： F 是 AC 的中点，则 F 的坐标是（ 3 ，3） ，设直线 DE 的解析式是 y= x+b，则 9+b=3，解得：b=6，则直线 DE 的解析式是：y= x6；（3）OF= AC=6，直线 DE 的斜率是： DE 与 x 轴夹角是 60，当 FM 是菱形的边时（如图 1） ，ONFM ，则NOC=60或 120当NOC=60时，过 N 作 NGy 轴，则 NG=ONsin30=6 =3，OG=ONcos30=6 =3 ，则 N 的坐标是（3，3 ） ；当NOC=120时，与当NOC=60时关于原点对称，则坐标是（3， 3 ） ；当 OF 是对角线时（如图 2） ，MN 关于 O

42、F 对称F 的坐标是（3 ，3） ，FOD= NOF=30 ，第 21 页（共 27 页）在直角ONH 中，OH= OF=3，ON= = =2 作 NLy 轴于点 L在直角ONL 中，NOL=30 ，则 NL= ON= ，OL=ONcos30=2 =3故 N 的坐标是（ ，3） 当 DE 与 y 轴的交点时 M，这个时候 N 在第四象限，此时点的坐标为：（3 ，3 ） 则 N 的坐标是：（3 ，3）或（3，3 ）或（3，3 ）或（ ，3） 【点评】本题考查了一次函数和几何问题的综合应用，本题中对于 N 的位置的讨论是关键12 （2010双流县）如图，一次函数的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A

43、、B 两点，且 A、B 两点的坐标分别为（4，0） ， （0，3） （1）求一次函数的表达式（2）点 C 在线段 OA 上，沿 BC 将OBC 翻折，O 点恰好落在 AB 上的 D 处，求直线 BC 的表达式【考点】一次函数综合题；翻折变换（折叠问题） 菁优网版权所有【专题】压轴题；数形结合【分析】 （1）把 A，B 两点坐标代入一次函数解析式可得相关值；第 22 页（共 27 页）（2）利用翻折性质及勾股定理求出点 C 的坐标，再利用待定系数法求出直线 BC 的解析式【解答】解：（1）设一次函数的表达式为 y=kx+b，A、B 两点的坐标分别为（4，0） ， （0，3） ，解得 k= ，y=

44、 x+3；（2）由题意得 OA=4，OB=3，AB=5，由翻折可得 OC=CD，BD=BO=3，AD=2设 CD=OC=x，则 AC=OAOC=4x在 RtACD 中，由勾股定理得：CD 2+AD2=AC2，即：x 2+22=（4x） 2解得：x= C 的坐标为（ ，0） 设直线 BC 的解析式为 y=mx+n，将点 B（0，3） 、C（ ，0）代入得： ，解得：直线 BC 的解析式为：y=2x+3【点评】综合考查一次函数的应用；求得所在函数图象上关键点的坐标是解决本题的难点13 （2011黑龙江）如图，直线 AB 与坐标轴分别交于点 A、点 B，且 OA、OB 的长分别为方程 x26x+8=

45、0 的两个根（OAOB） ，点 C 在 y 轴上，且 OA：AC=2：5，直线 CD 垂直于直线 AB 于点 P，交 x 轴于点 D（1）求出点 A、点 B 的坐标（2）请求出直线 CD 的解析式（3）若点 M 为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点 M，使以点 B、P 、D 、M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由第 23 页（共 27 页）【考点】一次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】 （1）根据一元二次方程的解法得出 0A=2，0B=4，即可得出的 A，B 的坐标；（2）首先利用角之间的关系得出BOA COD，即可得

46、出 D 点的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式；（3）先求出 P 点坐标（2，3） ，再根据平行四边形的性质，当 PM=BD，M 可在第一象限或第二象限，以及BM=PD 时 M 在第三象限分别分析直接得出答案【解答】解：（1）x 26x+8=0，x 1=4，x 2=2（1 分） ，0A、0B 为方程的两个根，且 0A0B ，0A=2 ，0B=4（1 分） ，A（0，2） ，B（ 4，0） （1 分） ；（2）0A：AC=2：5，OA=2 ，AC=5，OC=OA+AC=2+5=7，C（0，7） （1 分） ，BAO=CAP，CPB= BOA=90，PBD=OCD，BOA=COD=90，BOACOD， = ，OD= = = （1 分） ，D（ ，0） ，设直线 CD 的解析式为 y=kx+b，把 C（0，7） ，D（ ，0）分别代入得： ， （1 分） ，y CD=2x+7（1 分） ；第 24 页（共 27 页）（3）存在，A（0，2） ，B（ 4，0） ，设直线 AB 的解析式为：y=kx+b， ，解得： ，故直线 AB 的解析式为：y=