1、16高考数学压轴题（函数与导数专题二）题型(二) 图像的交点个数与根的分布问题（10 题）1 （本小题满分 14 分） 已知函数 处取得极值 （I）求实数 的值；0)ln()2xaxf 在 a（II）若关于 x 的方 程 在区间0 ，2上恰有两个不同的实数根，求实数 b 的取值范围；来源:学科网 ZXXKb25(（III）证明：对任意正整数 n，不等式 都成立21ln解：（I） 2 分 时， 取得极值，,1)(xaxf 0x)(xf3 分 故 ，解得 a=1， 来源:学*科*网 Z*X*X*K 经检验 a=1 符合题意 4 分,0)(f 10a（II）由 a =1 知 ,25)(,)1ln()
2、2bxfxxf 由得 令,03)1ln(2bx ,3)1ln()则 上恰有两个不同的实数根等价于来源:学,5)(在f在0，2上恰有两个不同的实数根- 5 分0x6 分,)1(254321)( xx当 上单调递增,0,0)(,0在于 是时x当 上单调递减来源:Z+xx+k.Com 依题意 有)2,1(,)(,21( 在于 是时 xx ,034)21ln(),0)(bb9 分.21ln3lb（III） 的定义域为 10 分xxf)l() ,1|x由（1）知 1 1 分,13令 （舍去 ） ， 单调递增；20,)(xxf或得 )(,0)(,1xffx时当当 x0 时， 单调递减 上的最大值 （12
3、分）)(,ff ,)(0在为 f（当且仅当 x=0 时，等号成立）13 分1ln0)(2xxx故17对任意正整数 n，取 得， -14 分01x .1ln,1)ln( 22故2. 设函数 ()()l,0fxaxa （）求 ()fx的单调区间；来源（）当 1时，若方程 ()ft在 1,2上有两个实数 解，求实数 t 的取值 范围；（）证明：当 mn0 时， ()nm。来源:学科网解：（） /()ln()fxax 0a时， /0 f在（1，+ ）上市增函数 当 时， ()f在 ,ae上递增，在1,)ae单调递 减（）由 （）知， x在 ,2上 单调递增 ，在 0,上单调递减又 1(0),(1)ln
4、4,()ln2fff 1()2f当 ,l2,0)t时，方程 ()fxt有两解（）要证： (1)()nm只需证 ln(1)l(),mn 只需证 ln(1)l()mn设 l(),0xg，则 / 22ll()()1xxg由（）知 1ln() 在 ,单调递减 ln0，即 ()gx是减函数，而 mn ()gm，故原不等式成立3. 已知 3x是函数2()ln(1)0fxax的一个极值点 求 a； 求函数 ()fx的单调区间； 若直线 yb与函数 yf的图像有 3个交点，求 b的取值范围解： 2()ln(1)0fxax，()21ax3是函数2l(1f的一个极值点 (3)40af， 16由 2()16ln)0
5、fxx， ,)2168()3(xxfx令 0，得 ， 3， (f和 f随 的变化情况如下：1,)1 (,3)3 (,)fx0 0 (增 极大值 减 极小值 增18()fx的增区间是 (1,)， 3,)；减区间是(1,3) 由 知， fx在 上单调递增，在 (3,)上单调递增，在 (1,3)上单调递减 ()()6ln29f极 大 ， ()2lnfxf极 小 又 1x时， f； 时， ()x；可据此画出函数 ()yfx的草图（图略） ，由图可知，当直线 yb与函数 ()yfx的图像有3个交点时， b的取值范围为 (32ln1,6l29)4. 已知函数2()8,6ln.fxgm求 在区间 1t上的最
6、大值 ();ht是否存在实数 ,m使得 yfx的图像与 ()ygx的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出 m的取值范围；若不存在，说明理由。解：22()8(4)16.fxx当 14,t即 3t时， f在 ,t上单调递增，22()()()7;hf t当 ,t即 4t时， (416htf当 4时， ()fx在 ,1上单调递减，2)(8.tft综上2267,38tt 函数 ()yf的图像与 ()ygx的图像有且只有三个不同的交点，即函数xgf的图像与 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。22()86ln,86(1)3 (0),mxxx当 (0,1)x时， ()0,()是增函数；当 3时， x是减函
7、数；当 (,)时， (),()是增函数；当 1x或 时， 0. (1)7,()(3)6ln15.xmxm最 大 值 最 小 值当 充分接近0时， (),x当 充分大时， 0.要使 ()的图像与 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须7,6ln3150,mx最 大 值最 小 值即 7156ln3.存在实数 ，使得函数 ()yfx与 ()yg的图像有且只有三个不同的交点， m的取值范围为(7,15l).5. 已知函数.23)ln(xxf求f(x)在 0,1上的极值；19若对任意03)(ln|,316 xfxax不 等 式成立，求实数a的取值范围；若关于x的方程 bf2)(在0，1 上恰有两个不同的实
8、根，求实数b的取值范围.5.解： 3)1(3)( xxf，令130)(xxf或得（舍去）)(,0)(,10ff时当单调递增；当)(,)(,3ff时递减. 来源:Z_xx_k.Com1,)(63ln)(在为 函 数 xff上的极大值. 由 03)(l| fxa 得 xaxa32ln32ln或设2lnln)( xh，gll)(，依题意知31,6)()(gax在或上恒成立， 0)2()2(3)( xxg， 0326)(312)( xxh， 1,6)(都 在与 xh上单增，要使不等式成立， 当且仅当.51ln3l),()3( aga或即或 由.02)2ln()( bxxbxf令 xxb32973)(,
9、3)2ln()2 则，当7,0)(,0)(,7,0 在于 是时 xxx上递增；1,3)(,)(,13 在于 是时 上递减，而)(37(),07(， 1,02)在即 xbxf恰有两个不同实根等价于200215ln)( 0672)(372l)0(bb .3726)2ln(15lnb 6. 已知函数3()xfxae 如 3a，求 fx的单调区间； 若 )在 ,)单调增加，在 (,2)单调减少，证明： 6. w.w.w.zxxk.c.o.m 解： ab时，32(xfxe，故w.w.w.zxxk.c.o.m 32()(63)xfxe(3)xxew.w.w.zxxk.c.o.m 当 或 00;f时 ， 当
10、 00.f或 时 ，从而 (),)(,f在 单 调 增 加 ， 在 （ ， ） ， （ ， ） 单调减少. 3223 (36)(6).xxxxxabeaeaxb由条件得 ()0,(6)0,4,f b即 故 从而3()42.fexa因为 所以3(2)()xx2将右边展开，与左边比较系数得， 2,.a故21.又 (2)0,2()40.即 由此可得 6.于是 6.w.w 7. 已知函数3(fx （1）求曲线 ()yfx在点 ()Mtf， 处的切线方程；（2）设 a，如果过点 ()ab， 可作曲线 的三条切线，证明： ()abf解：（1）2()f yfx在点 ()tf， 处的切线方程为 ytxt，即2
11、3ytxt（2）如果有一条切线过点 ()ab， ，则存在 t，使23(1)btat若过点 ()ab， 可作曲线 yfx的三条切线， 则方程 20b有三个相异的实数根记32gtt，则2()6gtt()当 变化时， ()g， 变化情况如下表：t0，0 (0)a， ()a，()0 0gtA极大值 bA极小值 ()bfA如果过 ()ab， 可作曲线 ()yfx三条切线，即 ()0gt有三个相异的实数根，则0().abf，即 ()abf8. 已知函数 xf，函数 xgsin)(是区间-1，1 上的减函数. （I）求 的最大值；21（II）若 1,)(2xtxg在上恒成立，求 t的取值范围；（）讨论关于x
12、的方程mef2)(ln的根的个数解：（I） xxgf si,)(， 1,)(在g上单调递减， 0cos)( xxgxcos在-1，1上恒成立， 1，故 的最大值为 .（II）由题意 ,sin)()(max,1sin2t只 需01sin)1(2tt（其中 1） ，恒成立，令 )1(0sin)(th，则20it，01sin,0sin22 tt而恒成立， t（）由.ln)(2mexxf令,2)(,l)(21 mexxfxf ,ln1)(2xf当 ,0)(,01f时来源ef,01在上为增函数；当 ex时，x)(x在为减函数；当,)(,1max1eff时来源:学*科*网而 ,)()222emxf,22时
13、即当 e方程无解；当1,122即时，方程有一个根； 当 eme,22时时，方程有两个根.9.已知函数 ()fxlna，2()gx，记 ()()Fxgfx （）求 ()Fx的单调区间；（）当12时，若 ，比较： (1)与f的大小； （）若 ()Fx的极值为a，问是否存在实数 k，使方程2()1)2gxfk有四个不同实数根？若存在，求出实数 k的取值范围；若不存在，请说明理由。解：（） )(x的定义域为（0，+） ， 又 ()()Fxgfx2lnaxxaF2， 当 0时， )(0恒成立 )(F在（0，+）上单调递增； 22令 ()0Fx得2a当 0时，若 2ax， ()0Fx )(x在（0， 2a
14、）上单调递减；若 ， ()x， )(F在（ ，+）上单调递增 故 a时 ， ()Fx增区间为 (0,)；当 0a时， ()增区间为2,a，减区间为（0， 2） 。 4分（）令21()()lnhxgfxx，则0)21()()1()2 xaxah所以 )(在1，+） 上单调递增， 0)(， )(fg.（）由（）知 )(xF仅当 0a时，在 x 2a处取得极值由 2)(aF得 ，方程1()2gfk为)1ln(22xx，令 2xt 得)1ln(tkt由方程有四个不同的根，得方程有两个不同的正根，令)1ln(2,1tykt，当直线 1y与曲线 2相切时，12,3t，得切点坐标（， 4ln2）切线方程为l
15、4(3)t，其在y轴上截距为4ln；当直线 1y在 轴上截距)2ln,0(k时， 1y和 2在y轴右侧有两个不同交点，所以k的取值范围为（4l23，0）.（注：也可用导数求解） 10. 已知三次函数 的最高次项系数为 a，三个零点分别为 . ()fx 1,03 若方程 有两个相等的实根，求 a 的值；072若函数 在区间 内单调递减，求 a 的取值范围.2()xfx)3,(解：10.解：（1）依题意，设 有两个相等实根，()1)(fax072)(xf即 有两个相等实根， ， 即 或 。2()40axxa 4)(2aa31a23（2） 在 内单调递减，32()()3xaxa),(在 恒成立，20 ,20 01()3()()(3a aaa 或 或
