1、用心专心爱心为了自己，放手一搏 第 1 页 共 页个 个高考数学压轴题 100 道汇编1设函数 1,23xfx，,gfa，其中 aR，记函数 gx的最大值与最小值的差为 h。（I）求函数 的解析式； （II）画出函数 yhx的图象并指出 hx的最小值。2已知函数 ()ln1fxx,数列 na满足 10, 1nna; 数列 b满足 11,()2nbb, *N.求证:（） 10;na（ ） 1;na（）若 12,a则当 n2 时, !nba.3已知定义在 R 上的函数 f(x) 同时满足：（1） 2121212()cos4infxfx（ 12,xR， a 为常数）；（2） 04；（3）当 0,时，
2、 ()f2求：（）函数 ()f的解析式；（ ）常数 a 的取值范围4设 )0(1),(),( 221 bxyxByA是 椭 圆 上的两点，满足 0),(),(21ab，椭圆的离心率 ,3e短轴长为 2，0 为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线 AB 过椭圆的焦点 F（0，c），（c 为半焦距），求直线 AB 的斜率 k 的值；（3）试问：AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.5已知数列 na中各项为： 12、1122、111222、 1n2n （1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前 n 项之和 Sn . 6、设 1F、 2分
3、别是椭圆2154xy+=的左、右焦点. （）若 P 是该椭圆上的一个动点，求 21PF的最大值和最小值；（）是否存在过点 A（ 5，0）的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C、D，使得|F 2C|=|F2D|？若存用心专心爱心为了自己，放手一搏 第 2 页 共 页在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 .7、已知动圆过定点P（1，0），且与定直线L:x=-1 相切，点C 在l上. (1)求动圆圆心的轨迹M 的方程； .B,AM 3,)2( 两 点相 交 于的 直 线 与 曲 线且 斜 率 为设 过 点 （i）问：ABC能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由（ii）当ABC
4、为钝角三角形时，求这种点 C 的纵坐标的取值范围. 8、定义在 R 上的函数 y=f(x)，f(0)0，当 x0 时，f(x)1，且对任意的 a、bR，有 f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1 ；（2）求证：对任意的 xR，恒有 f(x)0；（3）证明：f(x)是 R 上的增函数；（4）若 f(x)f(2x-x2)1，求 x 的取值范围。9、已知二次函数 ),()(2cbxxf 满足 0)1(f，且关于 的方程0)(bxf的两实数根分别在区间（-3，-2 ），（0 ，1）内。 （1）求实数 b的取值范围；（2）若函数 )(log)(xfFb在区间（-1- c， 1- ）上具
5、有单调性，求实数 C的取值范围10、已知函数 ,1)2(,)1,(fxf上 有 意 义在 且任意的 x、 )1,(y都有.)(yfyfx（1）若数列 ).(,2,*11 nnnn xfNx 求满 足 （2）求 )()3()(512ffff 的值.11.在直角坐标平面中，ABC 的两个顶点为 A（0，1），B（0, 1）平面内两点 G、M 同时满足 , = = 0GABC|M|CGAB（1）求顶点 C 的轨迹 E 的方程（2）设 P、Q、R、N 都在曲线 E 上 ，定点 F 的坐标为（ , 0） ，已知 , 2PFQR 且 = 0.求四边形 PRQN 面积 S 的最大值和最小值.F12已知 为锐
6、角，且 ，函数 ，数列a n的首12tan )42sin(ta)(2xxf项 . 求函数 的表达式； 求证： ；)(,21nfa a1用心专心爱心为了自己，放手一搏 第 3 页 共 页 求证： ),2(111*2 Nnaan13（本小题满分 14 分）已知数列 满足n 11, （）求数列 的通项公式；na（）若数列 满足 ，证明： 是等差数列；bnnbbba)(4411321 na（）证明： 231nNaa14已知函数 ,02cxxg（I）当 时，若函数 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围；1a1,c（II）当 时，（1）求证：对任意的 ， 的充要条件是 ；2,0x1/xg43（2）若关于
7、 的实系数方程 有两个实根 ，求证： 且 的充要条件x/g,1是 .42ac15已知数列a n前 n 项的和为 S n，前 n 项的积为 ，且满足 。nT(1)2n求 ；求证：数列a n是等比数列；是否存在常数 a，使得1a对 都成立？ 若存在，求出 a，若不存在，说明理由。2nnnSaN16、已知函数 是定义域为 R 的偶函数，其图像均在 x 轴的上方，对任意的()yfx，都有 ，且 ，又当 时，其导函数 恒成0,m、 ()nmfA(2)4f0()0fx立。（）求 的值；（）解关于 x 的不等式： ，其中()1Ff、 2()4kxf(1,).k17、一个函数 ，如果对任意一个三角形，只要它的
8、三边长 都在 的定义域内，就fx ,abcfx有 也是某个三角形的三边长，则称 为“保三角形函数”,fabcfx（I）判断 ， ， 中，哪些是 “保三角形函数”，哪些不是，并说明1x2fx2fx用心专心爱心为了自己，放手一搏 第 4 页 共 页理由；（II）如果 是定义在 上的周期函数，且值域为 ，证明 不是“保三角形函数”；gxR0,gx（III）若函数 ， 是“保三角形函数”，求 的最大值sinFx0,AA（可以利用公式 ）2icos2yxy18、已知数列 的前 n 项和 满足： （a 为常数，且 ）nanS(1)nn0,1a（）求 的通项公式；（ ）设 ，若数列 为等比数列，求 a 的值
9、；n 2nSbanb（）在满足条件（）的情形下，设 ，数列 的前 n 项和为 Tn .11nnncnc求证： 123nT19、数列 中， ， （ 是常数， ），且 成公比不为na11nac 123n， ， ， 123a， ，的等比数列。 （I）求 的值； （II）求 的通项公式。1ca（III）由数列 中的第 1、3、9、27、项构成一个新的数列b ，求 的值。na nnb1lim20、已知圆 上的动点，点 Q 在 NP 上，点 GMPNyxM为 圆点定 点 ),05(,6)5(:2在 MP 上，且满足 . （I ）求点 G 的轨迹 C 的方程；GQNP（II）过点（2，0）作直线 ，与曲线
10、C 交于 A、B 两点，O 是坐标原点，设 l ,OBAS是否存在这样的直线 ，使四边形 OASB 的对角线相等（即|OS|=|AB| ）？若存在，求出直线 的方程；若不存在，试说明理由.l21飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心（记为 A，B，C），B 在 A 的正东方向，相距 6km,C 在 B 的北偏东 300，相距 4km,P为航天员着陆点，某一时刻 A 接到 P 的求救信号，由于 B、C 两地比 A 距 P 远，因此 4s 后，B、C两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为 1km/s.（1）求 A、C 两个
11、救援中心的距离；（2）求在 A 处发现 P 的方向角；（3）若信号从 P 点的正上方 Q 点处发出，则 A、B 收到信号的时间差变大还是变小，并证明你的结论. CBA用心专心爱心为了自己，放手一搏 第 5 页 共 页22已知函数 ， ， 的最小值恰好是方程|1yx2yxt1()2tyx(0的三个根，其中 （）求证： ；320xabc023ab（）设 ， 是函数 的两个极值点1(,)M2(,)xN32()fxabxc若 ，求函数 的解析式；求 的取值范围 |3|MN23如图，已知直线 l 与抛物线 相切于点 P(2，1)，且与 x 轴交于点 A， O 为坐标原点，yx42定点 B 的坐标为（2，
12、0）. （I）若动点 M 满足 ，求点 M 的轨迹 C；0|2BA（II）若过点 B 的直线 l（斜率不等于零）与（I）中的轨迹 C 交于不同的两点 E、F（E 在B、F 之间），试求OBE 与OBF 面积之比的取值范围.24设 （ e 为自然对数的底数）.2)(,ln)(),(2)( pqegxfxfqpxg且其 中（I）求 p 与 q 的关系； （II）若 在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围；（III）证明： ；)1()1(xf （ nN， n2）.)(42ln3l2n25已知数列 的前 n 项和 满足： （ a 为常数，且 ）nanS(1)nna0,1a（）求 的通项公式；（ ）
13、设 ，若数列 为等比数列，求 a 的值；n 02nbnb（）在满足条件（）的情形下，设 ，数列 的前 n 项和为 Tn，求证：11nnncanc123nT26、对于函数 ，若存在 ，使 成立，则称 为 的不动点如果函数()fx0R0()fx0x()f用心专心爱心为了自己，放手一搏 第 6 页 共 页有且仅有两个不动点 、 ，且 2()(,*)xafbcN021()2f（）试求函数 的单调区间；f（）已知各项不为零的数列 满足 ，求证： ；na14()nSfaA11lnnaa（）设 ， 为数列 的前 项和，求证： 1nbanTnb208207lTT27、已知函数f（x ）的定义域为 x| x k
14、，k Z，且对于定义域内的任何x、y，有f（x y） = 成立，且f（a） = 1（a为正常数） ，当0 0 （I ）判断f （x ）奇偶性；f (x)f (y) 1f (y) f (x)（II）证明f（x）为周期函数； （III ）求f （x ）在2 a，3a 上的最小值和最大值28、 已 知 点 R（ 3,0） ,点 P 在 y 轴 上 ， 点 Q 在 x 轴 的 正 半 轴 上 ， 点 M 在 直 线 PQ 上 ,且 满足 ， .（） 当 点 P 在 y 轴 上 移 动 时 ， 求 点 M 的 轨 迹 C 的 方 程 ；PMQM（）设 为 轨 迹 C 上 两 点 ， 且 ， N(1,0)
15、， 求 实 数 ， 使12(,) (,)AxyBxy、 1, x， 且BN6329、已知椭圆 W 的中心在原点，焦点在 轴上，离心率为 ，两条准线间的距离为 6. 椭圆 Wx63的左焦点为 ，过左准线与 轴的交点 任作一条斜率不为零的直线 与椭圆 W 交于不同的两点FMl、 ，点 关于 轴的对称点为 .ABxC（）求椭圆 W 的方程；（）求证： ( )；（）求 面积 的最大值.FBRMBCS30、已知抛物线 ，点 P（1，1）在抛物线 C 上，过点 P 作斜率为 k1、k 2 的两条直线，2:axyC分别交抛物线 C 于异于点 P 的两点 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），且满足 k
16、1+k2=0.（I）求抛物线 C 的焦点坐标； （II）若点 M 满足 ，求点 M 的轨迹方程.A31设函数 ，其图象在点 处的切线的斜率321()()fxabxca(1,)(,)fBmf分别为 （ ）求证： ；（）若函数 的递增区间0,01 x为 ，求 的取值范围；（ ）若当 时（ k 是与 无关,st|st x ,abc用心专心爱心为了自己，放手一搏 第 7 页 共 页的常数），恒有 ，试求 k 的最小值1()0fxa32如图，转盘游戏转盘被分成 8 个均匀的扇形区域游戏规则：用力旋转转盘，转盘停止时箭头 A 所指区域的数字就是游戏所得的点数（转盘停留的位置是随机的）假设箭头指到区域分界线
17、的概率为 ，同时规定所得点数为 0某同学进行了一次游戏，记所得点数为 求 的分布列01. 及数学期望（数学期望结果保留两位有效数字）33设 ， 分别是椭圆 ： 的左，右焦点1F2C216xym(0)（1）当 ，且 ， 时，求椭圆 C 的左，右焦点 、 P210FA12|8PF 1F2（2） 、 是（1）中的椭圆的左，右焦点，已知 的半径是 1，过动点 的作 切2 2AQA线 ，使得 （ 是切点），如下图求动点 的轨迹方程QMQM34已知数列 满足 , ， na152a116(2)nna（1）求证： 是等比数列； （2）求数列 的通项公式；n （3）设 ，且 对于 恒成立，求 的取值范(3)nb
18、12nbmNm35已知集合 （其中 为正常数）12120Dxxk， ， ，（1）设 ，求 的取值范围；u（2）求证：当 时不等式 对任意 恒成立；1k212()()kx12(,)xD（3）求使不等式 对任意 恒成立的 的范围212()()kx12(,)x2k36、已知椭圆 C： 1（ab0）的离心率为 ，过右焦点 F 且斜率为 1 的直线交椭2y36圆 C 于 A， B 两点，N 为弦 AB 的中点。（1）求直线 ON（O 为坐标原点）的斜率 KON ；Q（x，y）MF1 F2Oyx用心专心爱心为了自己，放手一搏 第 8 页 共 页（2）对于椭圆 C 上任意一点 M ，试证：总存在角 （ R
19、）使等式： cos sinOMA成立。OB37、已知曲线 C 上任意一点 M 到点 F（0，1）的距离比它到直线 的距离小 1。2:yl（1）求曲线 C 的方程； （2）过点 .,)2,( PBABCmP设两 点交 于与 曲 线的 直 线当 的方程；当AOB 的面积为 时（O 为坐标原点），求 的值。m求 直 线时 , 438、已知数列 的前 项和为 ，对一切正整数 ，点 都在函数 的nanSn),(nSPxf2)(图像上，且过点 的切线的斜率为 ),(Pnk（1）求数列 的通项公式 （2）若 ，求数列 的前 项和 n nkab2nbnT（3）设 ，等差数列 的任一项, NxRNkxQ c，其
20、中 是 中的最小数， ，求 的通项公式.cn1cQ150cn39、已知 是数列 的前 项和， ，且 ，其中nSna123,a11320nnSS. (1)求数列 的通项公式 ；(2)计算 的值. ( 文) 求 .*2,NnnlimnnanS40、函数 对任意 xR 都有 f(x)f(1x) . （1）求 的值；)(f12 )(1)(2Nff和（2）数列 的通项公式。),()()0( nnn afnfnffa 求 数 列满 足 （3）令 试比较 Tn 与 Sn 的大小。SbbTb nnn 1632,1422321 41已知数列 的首项 （a 是常数，且 ），na1a（ ），数列 的首项 ， （ ）
21、。 24221an nb12nabn（1）证明： 从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列；nb（2）设 为数列 的前 n 项和，且 是等比数列，求实数 a 的值；SnS用心专心爱心为了自己，放手一搏 第 9 页 共 页（3）当 a0 时，求数列 的最小项。na42已知抛物线 C： 上任意一点到焦点 F 的距离比到 y 轴的距离大 1。2(0)ypx（1）求抛物线 C 的方程；（2）若过焦点 F 的直线交抛物线于 M、N 两点，M 在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直线 MN 的方程；（3）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一
22、个“逆向”问题例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为 4，侧棱长为 3，求该正四棱锥的体积”求出体积 后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为 4，体积为 ，163 163求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为 ，求所有侧面面积之和的最小值”163现有正确命题：过点 的直线交抛物线 C： 于 P、Q 两点，设点 P 关(,0)2pA2(0)ypx于 x 轴的对称点为 R，则直线 RQ 必过焦点 F。试给出上述命题的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题。43已知函数 f(x)= ，设正项数列 满足 =l， 52168xna11nnaf(I)写出 ， 的值; ()试比较 与 的
23、大小，并说明理由；2a3 54()设数列 满足 = ，记 Sn= 证明：当 n2 时,S n (2n1)nbn54a1ib1444已知函数 f(x)=x33ax(aR) (I)当 a=l 时，求 f(x)的极小值；()若直线菇 x+y+m=0 对任意的 mR 都不是曲线 y=f(x)的切线，求 a 的取值范围；()设 g(x)=|f(x)|，xl，1，求 g(x)的最大值 F(a)的解析式45在平面直角坐标系中，已知三个点列A n，B n，C n，其中 ),(),(nnbBA，满足向量 与向量 共线，且点（ B，n）在方向向量为（1，6）的)0,1(nC1nACB线上 （1）试用 a 与 n
24、表示 ；.ab)2(（2）若 a6与 a7两项中至少有一项是 an的最小值，试求 a 的取值范围。46已知 ，记点 P 的轨迹为 E. （1）求轨迹 E 的方程；|),02(, 211 FPF满 足点（2）若直线 l 过点 F2且与轨迹 E 交于 P、 Q 两点. （i）无论直线 l 绕点 F2怎样转动，在 x 轴上总存在定点 ，使 恒成立，求实数 m 的值.),(mM用心专心爱心为了自己，放手一搏 第 10 页 共 页（ii）过 P、 Q 作直线 的垂线 PA、 OB，垂足分别为 A、 B，记 ，求 的取值21x |AQBP范围.47设 x1、 的两个极值点.)0()()( 232 axba
25、xf是 函 数（1）若 ，求函数 f(x)的解析式； （2）若 的最大值；, bx求,2|1（3）若 ，求证：)(),21 xfgx函 数且 .)3(1|)(| 2ag48已知 ，若数列 an),10(log)(naaf成等差数列.*)(42),(),2321 Nff 使 得（1）求 an的通项 an;（2）设 若b n的前 n 项和是 Sn，且),(fb .312:,1424 anSa求 证49点 P 在以 为焦点的双曲线 上，已知 ，21,F:2byaxE)0,(b21PF，O 为坐标原点（）求双曲线的离心率 ；|21 e（）过点 P 作直线分别与双曲线渐近线相交于 两点，且 ，21,P4
26、721O，求双曲线 E 的方程；0221（）若过点 （ 为非零常数）的直线 与（2）中双曲线 E 相交于不同于双曲线顶点的两),(mQl点 M、N，且 （ 为非零常数），问在 轴上是否存在定点 G，使Nx？若存在，求出所有这种定点 G 的坐标；若不存在，请说明理由)(21GF50.已知函数 ， ，和直线 ，又163)(2axaxf 1263)(2xxg 9:kxym （）求 的值；0)1(f（）是否存在 的值，使直线 既是曲线 的切线，又是 的切线；如果存在，km)(xfy)(xgy求出 的值；如果不存在 ,说明理由（）如果对于所有 的 ,都有 成立，求 的取值范围2x )(9)(gkfk51已知二次函数 满足：对任意实数 x，都有 ，且当),()(2Rcbaxaf xf)(
