1、圆锥曲线的中点弦问题一：圆锥曲线的中点弦问题： 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆 中，以 为中点的弦所在直线的斜率 ；在双曲线 中，以 为中点的弦所在直线的斜率 ；在抛物线 中，以 为中点的弦所在直线的斜率 。注意：因为 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验 0！1、以定点为中点的弦所在直线的方程例 1、过椭圆 内一点 引一条弦，使弦被 点平分，求这条弦所在直线的方程。1462yx)1,2(MM例 2、已知双曲线 ，经过点 能否作一条直线 ，使 与双曲线交于 、 ，且点2),(lAB是线段 的中点。若存在这样的直线 ，求出
2、它的方程，若不存在，说明理由。MABl策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。2、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例 3、已知椭圆 的一条弦的斜率为 3，它与直线 的交点恰为这条弦的中点 ，1257xy 21xM求点 的坐标。例 4、已知椭圆 ,求它的斜率为 3 的弦中点的轨迹方程。3、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例 5、已知中心在原点，一焦点为 的椭圆被直线 截得的弦的中点的横坐标)50,(F23:xyl为 ，求椭圆的方程。21所求椭圆的方程是1257xy4、圆锥曲线上两点关于某直线对称问
3、题例 6、已知椭圆 ，试确定的 取值范围，使得对于直线 ，椭圆上总有不同342xmmxy4的两点关于该直线对称。五、注意的问题（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。答案：1.解：设直线与椭圆的交点为 、),(1yxA),(2B为 的中点 )1,2(MAB421y又 、 两点在椭圆上，则 ，66x两式相减得 0)(4)2121x于是 (12yy)211 xy即 ，故所求直线的方程为 ，即 。ABk )2
4、(xy04y2.解：设存在被点 平分的弦 ，且 、MAB,(1,B则 ，21x21y，y两式相减，得0)(2)( 2121121 yyxx 21xykAB故直线 :AB由 消去 ，得12)(yxy342x0834)(这说明直线 与双曲线不相交，故被点 平分的弦不存在，即不存在这样的直线 。ABMl评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的 位置非常重要。 （1）若中点 在圆锥曲线内，则被点 平分的弦一般存在；MM（2）若中点 在圆锥曲线外，则被点 平分的弦可能不存在。3.解：设弦端点 、 ，弦 的中点 ，则),(1yxP),(2yxQP),
5、(0yx210， 201x0又 ，5711572两式相减得 0)()( 2121 xxyy即 0322210x03y，即21xk30y20点 的坐标为 。M)1,(4.解：设弦端点 、 ，弦 的中点 ，则yP,2xQP),(yxM， x21y1又 ，571572两式相减得 0)(75)(2521212121 xxyy即 ，即03)(1xy y3，即21xk3yx由 ，得570y)25,(P)235,(Q点 在椭圆内M它的斜率为 3 的弦中点的轨迹方程为 )(0xyx5.解：设椭圆的方程为 ，则 12bay52ba设弦端点 、 ，弦 的中点 ，则),(1xP),(xQP),(0yxM， ，2030y1021120又 ，1ba2ba两式相减得 )()( 212112 xxayy即 0)(21x2bx3b联立解得 ，75a6.解：设 ， 为椭圆上关于直线 的对称两点， 为弦 的中),(1yP),(2yxmxy4),(yxP21点，则 ，432124两式相减得， 0)(121即 )(2221x， ，y141x这就是弦 中点 轨迹方程。y32P它与直线 的交点必须在椭圆内mx4联立 ，得 则必须满足 ，y32243xy即 ，解得2243)(1
