1、- 1 - 极限练习 极限的概念重点是理解数列极限的 N 定义和函数极限的 及 X 定义极限的性质重点是:有界性,保号性及有理运算性质 极限的存在准则重点是:单调有界准则和夹逼准则 极限的计算方法主要有：定义、四则运算、单调有界准则、夹逼准则、无穷小量 及其阶的比较（包含等价无穷小、泰勒展开） 、重要极限、定积分的定义、罗必 塔法则、导数的定义等 一、 1.（柯西命题）证明若 , lim a a n n 则 a n a a a n n 2 1 lim （1）求 n n n n n 2 1 1 lim（2） 设 , lim A a n n , lim B b n n 证明： AB n b a b
2、 a b a n n n n 1 1 2 1 lim二、 1.计算 ) ) ( ) ( ( lim 2 1 1 4 3 2 1 3 2 1 1 n n n n 2.设 , , 2 1 2 1 x x 且 ) , , ( 2 1 1 2 n x x x n n n 求 n n x lim 3.设 , sin x x x f 1 1 1 1 求 x f x 1 lim 4. 设 ), , , ( , 3 2 1 2 3 2 1 1 n a a a n n 求 . lim 1 2 1 2 n n n n a a a a 注： n n x f x 1 型数列极限的计算方法 i. 当数列采用递推公式 n
3、 n x f x 1 定义，其中函数 x f 在区间 I 上单调，同时 数列的每一项都在区间 I 中，则 （1） x f 在区间 I 上单调增加时， n x 为单调数列； （2） x f 在区间 I 上单调减少时， n x 的两个子列 1 2 k x 和 k x 2 分别为单 调数列，且具有相反的单调性。 ii. 当数列采用递推公式 n n x f x 1 定义，且 a f a 。当 a x r a f x f a x n n n 1时（r1） ，有 . lim a x n n - 2 - 三、 1.设 x f 是区间 , 0 上单调减少且非负的连续函数， ) , , ( ) ( 2 1 1
4、1 n dx x f k f a n k n n证明数列 n a 的极限存在。 2.设 , , , 1 0 3 1 3 1 n ax x a x a n n 证明： n x 收敛，且 . lim a x n n 3.设 , , , , , 2 1 2 2 2 0 2 1 1 n x c x c x c n n 讨论 n x 的收敛性，若收敛求其极限。 4. 设 , , , , 2 1 6 1 1 1 n x x x n n 证明 n x 收敛，并求其极限。 5. 设 , , , , 2 1 0 1 1 1 1 n x x x n n 证明 n x 收敛，并求其极限。 四、 1. 设 , , ,
5、 , 2 1 6 4 1 1 n x x x n n 证明 n x 收敛，并求其极限。 2. 设 , , , , 2 1 1 1 1 1 1 1 1 n x x x x n n n 证明 n x 收敛，并求其极限。 3. 设 , , , , , 2 1 3 3 3 3 3 2 2 1 n x x x x n n 证明 n x 收敛，并求其 极限。 4. 设 , , , , , , 2 1 0 7 7 7 7 7 2 1 0 n x x x x n n 证明 n x 收敛，并求 其极限。 5.求 . lim n n n n 2 1 2 4 3 2 1 6.求 . sin lim dt t x x
6、 x 0 7. 设 , cos dt t x S x 0 求 . lim x x S x 五、 1. 求 . sin sin sin lim x x x x 3 0 2. 设 3 2 1 1 x Ax Cx Bx e x ) ( ，求 C B A , ,3.求 1 4 1 2 n n n n arctan lim 4. 求 . ) tan(sin ) tan(sin sin sin lim x x e x xe x x x 2 2 2 0 2- 3 - 5.若 , lim 0 2 3 2 b ax x x x 求 b a, 的值。 6.设 , lim 0 1 3 3 b ax x x 求 b a, 的值。 7设 , tan lim b x x x e e a x x x 3 2 1 0 1 求 b a, 的值。 8.求 . ln lim x x e x x x x x x x 1 1 2 3 2 39. 求 . sin lim x x x x x x 2 1 1 0 2 1 1 10. 已知 , lim lim x x x x x a x a x x 1 1 2 2求常数 . a11.试确定 0 x 时，无穷小量 3 5 2 5 3 2 x x x x x f ) ( 关于x的阶。 12. 求 ! sin lim n e n n 2 待续-
