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题型最全的递推数列求通项公式的习题(1).doc

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1、高考递推数列题型分类归纳解析新泰一中 闫辉各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。我现在总结出几种求解数列通项公式的方法,希望能对大家有帮助。类型 1 )(nfan解法:把原递推公式转化为 ,利用累加法(逐差相加法) 求解。1nfa例 1. 已知数列 满足 , ,求 。n221na变式: 已知数列 ,且 a2k=a2k1 +(1) K, a2k+1=a2k+3k, 其中 k=1,2,3,.1a中(I)求 a3, a5;(II )求 a n的通项公式.类型 2 nnf)(1解法:把原递推公式转化为

2、,利用累乘法(逐商相乘法) 求解。1fan例 1:已知数列 满足 , ,求 。na321na1例 2:已知 , ,求 。31n)(变式:(2004,全国 I,理 15 )已知数列a n,满足 a1=1, (n2) ,则a n的通项 1321 )(na 1_na2类型 3 (其中 p,q 均为常数, ) 。pann1 )0(pq解法(待定系数法):把原递推公式转化为: ,其中 ,再利用换元法转化为等比数列求解。1tatnn pqt1例:已知数列 中, , ,求 .na132nan变式:(2006,重庆,文,14)在数列 中,若 ,则该数列的通项 _n11,(1)nna变式:(2006. 福建.理

3、 22.本小题满分 14 分)已知数列 满足na*11,2().naN(I)求数列 的通项公式;(II)若数列b n滿足 证明:数列b n是等差数列;121*4(),nnbbba()证明: *231. .2naN类型 4 (其中 p,q 均为常数, ) 。 (或 ,其中 p,q, r 均为常数) 。nnp1 )01)(qp1nnaprq解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以 ,得: 引入辅助数列 (其中 ) ,得: 再待定1nann1 nbnaqbpnn11系数法解决。例:已知数列 中, , ,求 。na65111)2(3nnana变式:(2006,全国 I,理 22,本小题满分 12 分)

4、设数列 的前 项的和 ,n 14nnS,3A()求首项 与通项 ;()设 , ,证明:1an2nTS1,3A132niT类型 5 递推公式为 (其中 p,q 均为常数) 。nnap12解法一(待定系数法):先把原递推公式转化为 )(112nnsatsa其中 s,t 满足 qt解法二(特征根法):对于由递推公式 , 给出的数列 ,方程 ,叫做数列 的特征方程。nnqapa12 21,na02qpxna若 是特征方程的两个根,当 时,数列 的通项为 ,其中 A,B 由 决定(即把 和21,x1x121nxA21,a21,x,代入 ,得到关于 A、B 的方程组) ;当 时,数列 的通项为 ,其中 A

5、,B 由n21nnBAxa 1xn 1)(nnx决定(即把 和 ,代入 ,得到关于 A、B 的方程组) 。21,a1,xa2,)(nnBa解法一(待定系数迭加法):数列 : , ,求数列 的通项公式。n ),0(25312 Nnn b21,na例:已知数列 中, , , ,求 。aana32变式:1.已知数列 满足n *1221,3,().nn(I)证明:数列 是等比数列;(II )求数列 的通项公式;naa(III)若数列 满足 证明 是等差数列 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j nb121*4.(),nnbbbaNnb2.已知数列 中, , , ,求12 nnn3123.已

6、知数列 中, 是其前 项和,并且 ,nanS 142(,)Sa设数列 ,求证:数列 是等比数列;),(1b nb设数列 ,求证:数列 是等差数列;求数列 的通项公式及前 项和。,2,ncn ncnan类型 6 递推公式为 与 的关系式。(或 )Sa(Sfa解法:这种类型一般利用 与 消去 或与 消211nnn )()11nnnn affSnS)2()(1nnSf2(去 进行求解。na例:已知数列 前 n 项和 .24nnaS(1)求 与 的关系;(2)求通项公式 .1n(2)应用类型 4( (其中 p,q 均为常数, ) )的方法,上式两边同乘以 得:nnpa1 )01)(qp 12n 21n

7、na由 .于是数列 是以 2 为首项,2 为公差的等差数列,所以21Sana an)(2变式:(2006,陕西,理,20 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j本小题满分 12 分)已知正项数列a n,其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15 成等比数列,求数列a n的通项 an 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 变式: (2005,江西,文,22本小题满分 14 分)已知数列a n的前 n 项和 Sn 满足 SnS n2 =3 求数列a n的通项公式.,23,),()11S且类型 7 bap1 01(、ap解法:这种类型一般利

8、用待定系数法构造等比数列,即令 ,与已知递推式比较,解出 ,从而转化为)()1(1 yxnapynxa yx是公比为 的等比数列。yxnap例:设数列 : ,求 .)2(,13,411 nan n变式:(2006,山东,文,22,本小题满分 14 分)已知数列 中, 在直线 y=x 上,其中 n=1,2,3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j na112na、 点 ( 、 )()令 ()求数列是 等 比 数 列 ;求 证 数 列 bb,31 的 通 项 ;na()设 的前 n 项和,是否存在实数 ,使得数列 为等差数列?若存在试求出 头htp:/w.xjkygcom126t:/.

9、j 不存在,则说明理由.分 别 为 数 列、 nTS、nanST类型 8 rnnpa1)0,(n解法:这种类型一般是等式两边取对数后转化为 ,再利用待定系数法求解。qpann1例:已知数列 中, ,求数列n 211,na)0(.的 通 项 公 式变式:(2005,江西,理,21本小题满分 12 分)已知数列 :,且 满 足的 各 项 都 是 正 数na .),4(1,0 Nnann(1)证明 (2)求数列 的通项公式 an.;,21N 变式:(2006,山东,理,22,本小题满分 14 分)已知 a1=2,点(a n,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上,其中=1,2,3,(1)

10、证明数列lg(1+a n)是等比数列;(2) 设 Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an),求 Tn 及数列a n的通项;记 bn= ,求b n数列的前项和 Sn,并证明 Sn+ =1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j n 3T类型 9 解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 。)()(1hagfnn qpann1例:已知数列a n满足: ,求数列a n的通项公式。1,31an变式:(2006,江西,理,22,本大题满分 14 分)1.已知数列a n满足:a 1 ,且 an2n12N ( , ) (1) 求数列a n的通项公式;(2) 证明:对于一切正整数 n,不

11、等式 a1a2an2n!2、若数列的递推公式为 ,则求这个数列的通项公式。113,()nA3、已知数列 满足 时, ,求通项公式。na2,1nnaa1124、已知数列a n满足: ,求数列a n的通项公式。,31n5、若数列 a 中, a =1, a = nN ,求通项 a n12n类型 10 hrqpnn1解法:如果数列 满足下列条件:已知 的值且对于 ,都有 (其中 p、 q、 r、 h 均为常数,且na1aNnhrapnn1) ,那么,可作特征方程 ,当特征方程有且仅有一根 时,则 是等差数列;当特征方程有两个相异的rharqph1,0 hrxqp0x01nax根 、 时,则 是等比数列

12、。1x212nx例:已知数列 na满足性质:对于 且 求 的通项公式. ,324,N1nna,1na例:已知数列 满足:对于 都有n, .51n(1)若 求 (2)若 求 (3)若 求 (4)当 取哪些值时,无穷数列 不存在?,51a;n,1a;n,61a;n1ana变式:(2005,重庆,文,22,本小题满分 12 分)数列 记).(05268111 nnn且满 足 ).(2nbn()求 b1、b 2、b 3、b 4 的值; ()求数列 的通项公式及数列 的前 n 项和nbna.nS类型 11 或qpnan1 nnpqa1解法:这种类型一般可转化为 与 是等差或等比数列求解。2n2例:(I)

13、在数列 中, ,求 (II)在数列 中, ,求n6,11 nananna3,1a类型 12 归纳猜想法解法:数学归纳法变式:(2006,全国 II,理,22,本小题满分 12 分)设数列a n的前 n 项和为 Sn,且方程 x2a nxa n0 有一根为 Sn1,n1,2,3,()求 a1,a 2;() a n的通项公式 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 类型 13 双数列型解法:根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例:已知数列 中, ;数列 中, 。当 时, , ,求 , .n1anb012n)2(311nnba)2(31nbana类型 14 周期型 解法:由递推式计算出前几项,寻找周期。例:若数列 满足 ,若 ,则 的值为_。na)12(,0,1nnna76120a变式:(2005,湖南,文,5)已知数列 满足 ,则 = ( )na)(13,0*11 Nnan 20aA0 B C D33

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