1、第 1页 共 11页 浅谈数 列在高中数 学的解题思 路与技巧 楚雄师范学院 数学系 08级 2班 张永辉 摘要 数列是高中数学的重要内容 之一 它与数 式 函数 方程 不等 式 三角函数 解析几何的关系十分密切 数列中的递推思想 函数思想 分类讨 论 思想以及数列求和 求通项 公式的 各种方法 和技巧 贯穿与整 个高中 数学之中 关键 词 数列 通项 公式 数列 求和 解题 思路 解题 技巧 众所周知 数列是高中数学的重要内 容之一 也是中学数学联系实际的 重 要渠道之一 数列与数 式 函数 方程 不等式 三角函数 解析几何的关系 十 分密切 数列中的递推思想 函数思想 分类讨论思想以及数列
2、 求和 求通项 公式的各种方法和技 巧在中学 数学中 都有十分 重要的 地位 因此 笔者根据自己 对 数列的理解与认识 现对数列中的两个特征 数列的同项公式和数列 的前 项 和n公式的解题技巧进 行归纳和 总结 希望能够给读者带来帮助 对数列有更深刻 的 认识 在我看来 数列无非是数列的定 义 通项公式 数列的前 项和 即数列 求n 和 等差数列 等比数列以 及数列在 现实生 活中的应 用 它 们之间的 关系可 以 由下图表示出来 在这些内容中 数列的定义和有关概念是数 列的基础 通项公式是数列的 灵魂 等差 比 数列是数列的核心 数列求和是数列应用的前提 而数列的应 用 是数列学习的目的 数
3、列问题以其多变 的形式和 灵活的 解法而倍 受青睐 研究数列的通项公式 是 研究数列的基本问 题之一 现就对数列的通项公式 的几种常 见的求 法和技巧 以 及数列求和进行归纳 和总结 第 2页 共 11页 第一部分 几种常见的求数列通项公式的方法方法 一 观察 法 例 1 分别写出下面数列 的一个通项公式 使它前 4项分别是下列各数 na 1 1 2 1 2 na 2 1 3 5 7 na 3 3 33 333 3333 na 解 析 1 或21 1 23 nna 12 2 12 1 kn knan 2 12 nan 3 110 31 nna 小 结 从各项共性的结合 特征入手 通过观察 归纳
4、 猜想总结出数列的通 项 公式 即为 观察 法 方法 二 由 求 法 nS na 题型 一 由 求 有 nfSn na 2111 nSS nSa nnn 例 2 在数列 中 表示其前 项和 且 求通项 na nS n 2nSn na 解 析 当 时 1 n 111 Sa 当 时 2 n 12 1 221 nnnSSa nnn 2 n 又 满足 Q 11211 a 121 nSSa nnn 所以 12 nan 1 n 题型 二 由 求 可以 得到 然后 两式 相减 即可 求得 nn afS na 11 nn afS na 例 3 在数列 中 表示其前 项和 且 求通项 na nS n nn aS
5、 32 na 解 析 由 nn aS 32 可得 11 32 nn aS 由 可得 3 11 nnnnn aaaSS 2 n 第 3页 共 11页 整理可得 即 134 nn aa 431 nnaa 2 n 所以数列 是以 为首项 为公比的等比数列 na 211 a 43 故数列 的通项公式为 na 14321 nna 小 结 由 求 法时 其解题思路是首先 由 的表达式的到 的表达式 然 后nS na nS 1 nS 将这两个式子相减 并且一定要验证 是否适合 若适合 则合二为一 若不适合 1a na 则应将 写成分段函数的形 式 na方法 三 构造 法 若 题 目 特 征 符 合 递 推
6、关 系 式 A B C均 为 常 数 CBaaAa nn 11 时 可 用 构 造 等 比 数 列 的 方 法 求 数 列 的 通 项 公 式 即 由0 1 CB na 得 其 中 从 而 得 到 数 列CBaa nn 1 1 maBma nn 1 BCm 是以 B为公比的等比数列 1BCan 例 4 已知数列 满足 求数列通项 na 23 4 11 nn aaa na 解 析 由 可得 即 23 1 nn aa 1 31 1 nn aa 3111 nnaa 所以 数 列 是以 为首 项 3为公 比 的 等 比 数 列 由等 比 数 列 的通 1 na 311 a 项公式可得 nnna 333
7、1 1 所以数列 的通项公式为 na 13 nna 小 结 用构造法求数列的 通项公式 的思路 就是将所 给数列 递推关系 式适当 变 形后 构造 出 一 个 新 的 等 比 数 列 解题 的 关 键 有 两 点 一是 所 给 数 列 的 递 推 公 式 所必 须具备的特征 二是快速准确的求 出待定系 数 m 方法 四 叠代 法 题 型一 若题目特征 符合递 推关 系式 A为常数 时 可Aa 1 1 nfaa nn 用叠加法求解数列 的通项公 式 第 4页 共 11页 例 5 在数列 中 求数列通项 na nnn aaa 2 3 11 na 解 析 由 可得 则有 nnn aa 21 nnn
8、aa 21 将这 个等式相加 得 11 334 223 112 2 22 2 nnn aa aa aa aa 1 n 又因为2221 21 22222 113211 nnnn aa 31 a 所以所求数列的通 项公式为 12322 nnna 题 型 二 若 题 目 特 征 符 合 递 推 关 系 式 A B为 常 数 且Aa 1 nnn aBa 1 时 可用叠乘法求 数列的通 项公式 0 B 例 6 在数列 中 求数列通项 na nnn aaa 2 3 11 na 解 析 由 得 则 有 nnn aa 21 nnnaa 21 将这 个等式相乘 得 11334223112 2 2 2 2 nnn
9、aaaaaaaa 1 n 2 1 13211 22222 nnnnaa 2 n 又因为 2 11 11 21 a 所以所求数列的通 项公式为 2 1 2 nnna 1 n 小 结 用叠 代 法 求 数 列 的 通 项 公 式 其 解 题 思 路 是 将 由 递 推 公 式 所 得 的个式子相加或相乘 通过消 项化简 从而得 到求解 数列通项 公式的 目的 1 n 方法 五 倒数 法若题目特征符合 A B C D均为常数 时 求数 列 DCaBaaAa n nn 11 的通项公式时 常 用倒数法 求通项 第 5页 共 11页 例 7 2008 陕西 文 20变形 已知 数 列 的首 项 na 1
10、 23a 1 2 1nn naa a 1 2 3 n 求数列 的通项公式 1 1 na 解 析 因为 1 2 1nn naa a 1 11 1 1 12 2 2nn n naa a a 又 11 1 11 1 2n na a 1 23a 11 11 2a 数列 是以为 首项 为公比的等比数列 1 1 na 12 12 即 nnna 21212111 1 所以所求数列的通 项公式为 1211 nna 小 结 在由递推 求数列的通向公式 的过程中 若 B D 对DCaBaa n nn 1 其求倒数后 得到 的数列是 一个等 差数列 若 对其求倒数后 得 到的却DB 是一个新的递推公 式 为常熟 其
11、中 这 时n ama nn 111 nm BCnBDm 1 可令 再利 用 构造 法 求得 的通向 公 式 最 后即 可 得 到 的通向公nn ab 1 nb na 式 方法 六 对数 法 不 常用 例 8 在数列 中 则数列的通向公式 na 211 3 nn aaa na 解 析 由题意可知 数列 中的各项均为整数 na 即 对等式 取以 3为底数的对数 可 得 0 na 21 nn aa nnn aaa 32333 log2loglog 第 6页 共 11页 即 进而可知 数列 是以 为首项 2为公比2loglog3 13 nnaa na3log 1log 13 a 的等比数列 所以 11
12、3 221log nnna 故所求数列 的通向公式为 na 123 nna 小 结 用对数法求数列的 通向公式 由四点 特别需要 注意 一是要深刻理解和 潜心体会所给数列递 推关系式 的特征 二是数列中的各项均为正 数 三是所取对 数 的底数既 要兼 顾 数列 首项 的值 还 要兼 顾 系 数 A的值 其 目的 是 为了 在计 算1a的方便 四是取完对数后 就得到一个新的递推关系式 有时还需要对这个新 的 关系式再用其它方 法进行进 一步的 求解 由以上介绍的几种 求数列的 通向公 式的方法 可知 要想求数 列的通 向公式 就要仔细观察所给 题目的特 征 采 取行之有 效的方 法达到求 解的目
13、 的 第二部分 常用的数列求和的方法要想对数列进行求 和 那就要弄清楚所给数列 的特征 即数列通向公式的 特 征 采取恰当的方法进行求和 所以若所给题目中直接给 出数列 的通向公 式 那就直接分析其通向 公式的特 征采取 相应的方 法即可 若题目中没有给出数列的 通 向公式 那就利用前面讲的方法求出 数列的 通向公式 再分析其通向公式的特 征采取相应的方法 现向大家 介绍常 用数列求 和的方 法 方法 一 公式 法 若所 给题 目 的 特 征 弄够 直 接 判 断 出 所求 数 列 是 等 差 比 数 列 的 话 那就直接应用这两 个数列的 有关性 质或前 项和公式进行求和 n例 9 已 知
14、是公 比 为 的等 比 数 列 若 则 na 21 10097741 aaaa的值为 99963 aaaa A 25 B 50 C 75 D 125 解 析 由等比数列的性质 得 97741 99963 aaaa aaaa 2 97741 297741 qaaaa qaaaa 所以 2510041 97741299963 aaaaqaaaa故选 A 答 案 A 第 7页 共 11页 例 10 2004 全 国 II 6 等 差 数 列 中 na 24321 aaa 则此数列的 前 20项等于 78201918 aaa A 160 B 180 C 200 D 220 解 析 解法 一 由 分别得
15、 24321 aaa 78201918 aaa 两式相加得 7833 2433201 da da 54 3 201 aa 故 18201 aa 1802 20 20120 aaS 解法 二 Q 183192201 aaaaaa 54 201918321 aaaaaa 故 18201 aa 1802 20 20120 aaS 答 案 B 小 结 用公式法对数列求 和是最基 础的方 法之一 这要求 熟练掌握 等差 比 数列的前 项和公式 等比数 列尤其是 要注意 公比 是否为 1这中特殊情况 n q 附 常见的数列 求和的公 式 方法 二 分组 求和法 若从数列的通向公 式看 所给数列既不是等差数
16、列 又不是等比数列 但 其通项却可以分解 为一个等 差数列 和一个等 比数列 的和 我们就采取分组的方 法对数列进行求和 例 11 求数列 5 55 555 的前 项和 个n 555 LL n 解 析 设此数列为 则有 na 1109599995555 n 个个 nnna LLLL 所以 nn aaaaS L321 110 110 110 110 95 321 nL 111 1010101010 95 432 个nn LL n9510 1 10 11095 n nn 9581 11050 第 8页 共 11页 例 12 已知等 比 数列 的 首项 为 公比 为 为其前 项和 求a q 0 q
17、nS n nSSSS L321 解 析 因为公比 所以 进而1 q qqaqS nn 1 1 nSSSS L321 1 1 1 1 2 nqqqqa L qqqnqa n1 1 1 2 1 1 1 qqaqqna n 小 结 分组求和法的思路 比较简单 但解这类题型的关键在于 是否能 够由所 给数列通向公式 分 析出它所 固有的 特征 从 而采取 恰当的方 法 方法 三 并项 求和法 若从数列的通向公 式看没有 什么明 显的特征 但是 若能将所 给数列 中的 两项 甚至多项 相加运算后得到的新数列具 有明显的 特征 等差数列或等比 数列 那么就用并项求和法对 数列进行 求和 例 13 求和 2
18、22222 100994321 L 解 析 根据题设 我们可 以将所给 的式子 进行分组 那么 222222 100994321 L 10099 43 21 222222 L 10099 10099 43 43 21 21 L 1991173 L 50502 1993 50 例 14 数列 中 则 na 211 a 11 23 nnn aa Nn 2021 aaa L 解 析 解法一 有已知条件 可求得 211 a 11 23 nnn aa 81 41 32 aa 故可猜想 所以nna 21 20 20 2021 211211 2 1121 aaa L 第 9页 共 11页 解法二 数列 可以
19、看成一个以 21 aa 43 aa 65 aa 2019 aa 21 aa 43 为首项 为公比的等比数列 所以41 2021 aaa L 20194321 aaaaaa L 411 41134 10 2010 211411 小 结 从某种程度上说 这种数列 求和的 方法与分 组求和 法的思想 恰恰相 反 但是分组求和法与 并项求和 法也有 一致的地 方 那就是 若所给数列的特征不 是 很明显上 就要考 虑试用者 两种方 法 正所 谓 穷则思变 方法 四 裂项 相消法 若所给数列的通项 公式是分 式形式 这种情 况下往 往采取裂 项相消 发对数列进行求和 即 将数列的 通项公 式写成两 项之差
20、 相加后 再进行 相项求和 例 15 求数列 的前 项和 12 12 1nn n 解 析 设 所以 12112121 12 12 1 nnnnan nn aaaaS 321 121 121 7151 5131 311 21 nnL 12121121 nnn 例 16 在 数 列 中 又 求 数 列 na 11211 nnnnan L 12 nnn aab 的前 项和 nb n 解 析 根据题设 有 则 11211 nnnnan L 212 1 nnnn 211 nan 所以 12 nnn aab 1118 1 8212 2 nnnnnn 所以数列 的前 项和为 nb n 第 10页 共 11页
21、 nn bbbbS L321 111 4131 3121 211 8 nnL 181118 nnn 小 结 用裂项相消法对数 列求和的 思维较 为清晰 但它的关键是能够看出数 列 的同项公式必须具 备这种特 征 在某种情况下 若数列通项公式的这种 特征不 是很明显时 就需要 对通项公 式进行 化简 变 形 方法 五 错位 相减法 若所给数列的通项 公式是由 一个等 差数列和 一个等 比数列对 应项的 积组成 的这一特征 其数 列求和的 方法就 采用错位 相减法 例 17 求 nn nS 2 12854321 L 解 析 设 所以 nnn nna 21 12 2 12 nnn naaaaS 2
22、12854321321 LL 12 12165834121 nn nS L由 可得 11 2 122181412121 211 nnn nS L 即 11 2 12211 21 1 212121 nnn nS 111 2 32232 122123 nnn nn 所以 nn nS 2 323 例 18 求数列 的前 项和 132 12 7 5 3 1 nanaaa L 0 a n 解 析 1 当 时 所给数列为 1 3 5 7 其前 项和 为 1 a 12 n n 12 7531 nSn L 22 12 1 nnn 2 当 且 时 1 a 0 a 132 12 7531 nn anaaaS L
23、nn anaaaaaS 12 753 432 L由 可得 nnn anaaaaSa 12 22221 1 132 L 2 12 1 132 nn aaaaan L aaaan nn 1 2 12 1 第 11页 共 11页 又因为 所以01 a 2 1 21 12 1 aaaa anSn nn 综上所述 所求数 列的 前 项和为n 01 1 21 12 1 1 2 2 aaaaaa an anS nnn 且 小 结 1 一般的 如果数 列 是等差数列 是等比数列 求数 列 na nb 的前 项和时 可采用这 一思路和 方法 nn ba n 2 在写出 与 的表达式时 应该特别注意将两式 错项对
24、齐 以 便nS nqS 在下一步准确写出 的表达式 nn qSS 3 应用等比数列求和公式必 须注意 公比 这一前提条件 如果不能 确1 q 定公比 是否为 1 应分为两种情况 进行讨论 q由以上所介绍的几 中常见的 数列求 和的思维 和方法 从中可以知道要想能 顺 利地对数列求和 关键是从数列的通项公式入 手 分析其固有特性 采取有效 的方式方法进行求和 以上 对 数 列 的 两 个 特 征 性 问 题 数 列 的 通 项 公 式 的 求 法 以 及 对 数 列 前 项和n的求法进行了论述 希望能够给您的学习带来 一点帮 助 另外 由于笔者的知 识 和水平有限 在以上论述中可能存在这 许多不 足之处 希望读者和同行们能够 给予您宝贵的意见和 建议 使数列乃至数学更好的造福 于我们 的生活 笔者邮箱 cxtczyh 参 考 文 献 1 全日制 普通高级中学教 科书 数学 第一册 人民教育 出版社 2 高中 同步测控优化设 计 数学 高一上册 2006 任志鸿 南方出版 社 3 十 年高考 分类解析与应试 技巧 数学 2000 2009 任志鸿 南方出版社 4 三 维设计 数学 新编高考 总复习 马艳 贾 香华 光明日报 出版 社
