1、高考递推数列题型分类归纳解析新泰一中 闫辉各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。类型 1 )(nfan解法：把原递推公式转化为 ，利用累加法(逐差相加法) 求解。1nfa例 1. 已知数列 满足 ， ，求 。n221na变式: 已知数列 ，且 a2k=a2k1 +(1) K, a2k+1=a2k+3k, 其中 k=1,2,3,.1a中（I）求 a3, a5；（II ）求 a n的通项公式.类型 2 nnf)(1解法：把原递推公式转化为
2、，利用累乘法(逐商相乘法) 求解。1fan例 1:已知数列 满足 ， ，求 。na321na1例 2:已知 ， ，求 。31n)(变式:（2004，全国 I,理 15 ）已知数列a n，满足 a1=1， (n2) ，则a n的通项 1321 )(na 1_na2类型 3 （其中 p，q 均为常数， ） 。pann1 )0(pq解法（待定系数法）：把原递推公式转化为： ，其中 ，再利用换元法转化为等比数列求解。1tatnn pqt1例:已知数列 中， ， ，求 .na132nan变式:（2006，重庆,文,14）在数列 中，若 ，则该数列的通项 _n11,(1)nna变式:（2006. 福建.理
3、 22.本小题满分 14 分）已知数列 满足na*11,2().naN（I）求数列 的通项公式；（II）若数列b n滿足 证明：数列b n是等差数列；121*4(),nnbbba（）证明： *231. .2naN类型 4 （其中 p，q 均为常数， ） 。 （或 ,其中 p，q, r 均为常数） 。nnp1 )01)(qp1nnaprq解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以 ，得： 引入辅助数列 （其中 ） ，得： 再待定1nann1 nbnaqbpnn11系数法解决。例:已知数列 中， , ，求 。na65111)2(3nnana变式:（2006，全国 I,理 22,本小题满分 12 分）
4、设数列 的前 项的和 ，n 14nnS,3A（）求首项 与通项 ；（）设 ， ，证明：1an2nTS1,3A132niT类型 5 递推公式为 （其中 p，q 均为常数） 。nnap12解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为 )(112nnsatsa其中 s，t 满足 qt解法二(特征根法)：对于由递推公式 ， 给出的数列 ，方程 ，叫做数列 的特征方程。nnqapa12 21,na02qpxna若 是特征方程的两个根，当 时，数列 的通项为 ，其中 A，B 由 决定（即把 和21,x1x121nxA21,a21,x，代入 ，得到关于 A、B 的方程组） ；当 时，数列 的通项为 ，其中 A
5、，B 由n21nnBAxa 1xn 1)(nnx决定（即把 和 ，代入 ，得到关于 A、B 的方程组） 。21,a1,xa2,)(nnBa解法一（待定系数迭加法）:数列 ： ， ，求数列 的通项公式。n ),0(25312 Nnn b21,na例:已知数列 中， , , ，求 。aana32变式:1.已知数列 满足n *1221,3,().nn（I）证明：数列 是等比数列；（II ）求数列 的通项公式；naa（III）若数列 满足 证明 是等差数列 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j nb121*4.(),nnbbbaNnb2.已知数列 中， , , ，求12 nnn3123.已
6、知数列 中， 是其前 项和，并且 ，nanS 142(,)Sa设数列 ，求证：数列 是等比数列；),(1b nb设数列 ，求证：数列 是等差数列；求数列 的通项公式及前 项和。,2,ncn ncnan类型 6 递推公式为 与 的关系式。(或 )Sa(Sfa解法：这种类型一般利用 与 消去 或与 消211nnn )()11nnnn affSnS)2()(1nnSf2(去 进行求解。na例：已知数列 前 n 项和 .24nnaS（1）求 与 的关系；（2）求通项公式 .1n（2）应用类型 4（ （其中 p，q 均为常数， ） ）的方法，上式两边同乘以 得：nnpa1 )01)(qp 12n 21n
7、na由 .于是数列 是以 2 为首项，2 为公差的等差数列，所以21Sana an)(2变式:（2006，陕西,理,20 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j本小题满分 12 分)已知正项数列a n，其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15 成等比数列，求数列a n的通项 an 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 变式: (2005,江西,文,22本小题满分 14 分）已知数列a n的前 n 项和 Sn 满足 SnS n2 =3 求数列a n的通项公式.,23,),()11S且类型 7 bap1 01(、ap解法：这种类型一般利
8、用待定系数法构造等比数列，即令 ，与已知递推式比较，解出 ,从而转化为)()1(1 yxnapynxa yx是公比为 的等比数列。yxnap例:设数列 ： ，求 .)2(,13,411 nan n变式:（2006，山东,文,22,本小题满分 14 分）已知数列 中， 在直线 y=x 上，其中 n=1,2,3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j na112na、 点 （ 、 ）()令 ()求数列是 等 比 数 列 ；求 证 数 列 bb,31 的 通 项 ；na()设 的前 n 项和,是否存在实数 ，使得数列 为等差数列？若存在试求出 头htp:/w.xjkygcom126t:/.
9、j 不存在,则说明理由.分 别 为 数 列、 nTS、nanST类型 8 rnnpa1)0,(n解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为 ，再利用待定系数法求解。qpann1例：已知数列 中， ，求数列n 211,na)0(.的 通 项 公 式变式:（2005，江西,理,21本小题满分 12 分）已知数列 :,且 满 足的 各 项 都 是 正 数na .),4(1,0 Nnann（1）证明 （2）求数列 的通项公式 an.;,21N 变式:（2006,山东,理,22,本小题满分 14 分）已知 a1=2，点(a n,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上，其中=1，2，3，（1）
10、证明数列lg(1+a n)是等比数列；（2） 设 Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求 Tn 及数列a n的通项；记 bn= ，求b n数列的前项和 Sn，并证明 Sn+ =1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j n 3T类型 9 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 。)()(1hagfnn qpann1例：已知数列a n满足： ，求数列a n的通项公式。1,31an变式:（2006，江西,理,22,本大题满分 14 分）1.已知数列a n满足：a 1 ，且 an2n12N （ ， ） （1） 求数列a n的通项公式；（2） 证明：对于一切正整数 n，不
11、等式 a1a2an2n！2、若数列的递推公式为 ，则求这个数列的通项公式。113,()nA3、已知数列 满足 时， ，求通项公式。na2,1nnaa1124、已知数列a n满足： ，求数列a n的通项公式。,31n5、若数列 a 中， a =1， a = nN ，求通项 a n12n类型 10 hrqpnn1解法：如果数列 满足下列条件：已知 的值且对于 ，都有 （其中 p、 q、 r、 h 均为常数，且na1aNnhrapnn1） ，那么，可作特征方程 ,当特征方程有且仅有一根 时,则 是等差数列;当特征方程有两个相异的rharqph1,0 hrxqp0x01nax根 、 时，则 是等比数列
12、。1x212nx例：已知数列 na满足性质：对于 且 求 的通项公式. ,324,N1nna,1na例：已知数列 满足：对于 都有n, .51n（1）若 求 （2）若 求 （3）若 求 （4）当 取哪些值时，无穷数列 不存在？,51a;n,1a;n,61a;n1ana变式:（2005，重庆,文,22,本小题满分 12 分）数列 记).(05268111 nnn且满 足 ).(2nbn（）求 b1、b 2、b 3、b 4 的值； （）求数列 的通项公式及数列 的前 n 项和nbna.nS类型 11 或qpnan1 nnpqa1解法：这种类型一般可转化为 与 是等差或等比数列求解。2n2例：（I）
13、在数列 中， ，求 （II）在数列 中， ，求n6,11 nananna3,1a类型 12 归纳猜想法解法：数学归纳法变式:（2006，全国 II,理,22,本小题满分 12 分）设数列a n的前 n 项和为 Sn，且方程 x2a nxa n0 有一根为 Sn1，n1，2，3，（）求 a1，a 2；（） a n的通项公式 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 类型 13 双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例：已知数列 中， ；数列 中， 。当 时， , ，求 , .n1anb012n)2(311nnba)2(31nbana类型 14 周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例：若数列 满足 ，若 ，则 的值为_。na)12(,0,1nnna76120a变式:（2005，湖南,文，5）已知数列 满足 ，则 = （ ）na)(13,0*11 Nnan 20aA0 B C D33
