1、 - 1 -等比数列【知识点回顾】1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数 )0(q，这个数列叫做等比数列，常数 q称为等比数列的公比.2.通项公式与前 n项和公式通项公式： 1na， 为首项， q为公比 .前 项和公式：当 q时， 1naS当 1时， qannn)(1.3.等比中项如果 bGa,成等比数列，那么 G叫做 a与 b的等比中项.即： 是 与 的等差中项 ， A， 成等差数列 baG2.4.等比数列的判定方法定义法： qan1（ N， 0q是常数） 是等比数列；n中项法： 221n( )且 na是等比数列.n5.等比数列的常用性质数列 是等比数列
2、，则数列 np、 n（ 0q是常数）都是等比数列；na在等比数列 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 ,32knknaa为等比数列，公比为 kq. ),(Nmnan若 ,qp，则 qpnma；若等比数列 的前 项和 nS，则 k、 kS2、 k23、 kS34是等比数列.n【方法总结】1.求等比数列的公比、 、求值、判定等比数列等通常运用等比数列的概念、公式及其性质.例 1.已知等比数列 的前 n项和 1npS( 是非零常数),则数列 是( )a naA.等差数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.非等差数列- 2 -名师点拨先由 nS求出 a，再根据等差、等比数列定义作出判定
3、.解： 1np， )2()1(1npSnn 当 ,且 0时， 是等比数列； 当 0时， 是等差数列，选 C.a2.求实数等比数列的中项要注意符号，求和要注意分类讨论.例 2.若实数数列 4,132a是等比数列，则 2 .名师点拨本题容易错认为，由等比数列的等比中项公式 412a，得 .2a解： ,321a是等比数列， 412，得 .2又 是等比数列， Ra21,， .考点一 等比数列的通项与前 n 项和题型 1：已知等比数列的某些项，求某项例 1.已知 为等比数列， 162,2a，则 10a na解题思路可以考虑基本量法，或利用等比数列的性质解：方法 1： 845162q324910qa方法
4、2： 81264， 1328640qa方法 3： 为等比数列na132621026102 【名师点拨】给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质，再考虑基本量法.题型 2：已知前 n项和 nS及其某项，求项数.例 2.已知 为等比数列 前 项和， 93nS， 48na，公比 2q，则项数 n .a已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为 37，中间两数之和为 36，求这四个数.- 3 -解题思路利用等比数列的通项公式 1nqa及 qaSn)(1求出 1a及 q，代入 nS可求项数 n；利用等差数列、等比数列设出四个实数代入已知，可求这四个数.解：由 93nS， 48na
5、，公比 2，得 532489)(1 ann .方法 1：设这四个数分别为 dcb,，则 3672cbd；方法 2：设前 个数分别为 a,，则第 43、 个数分别为 a， ，则)37()6(2b，解得 162b或 489a；方法 3：设第 、 个数分别为 c， ，则第 个数为 cb2，第 1个数为 bc2，则2016322cbcb或 438；方法 4：设第 、 个数分别为 cb， ，设第 ,1个数分别为 ca2,；方法 5：设第 3、 个数分别为 d,，则设第 2,个数分别为 d36,7，则5160)6(72ccdc或 .49,c【名师点拨】平时解题时，应注意多方位、多角度思考问题，加强一题多解
6、的练习，这对提高我们的解题能力大有裨益.题型 3：求等比数列前 n项和例 3.等比数列 ,8421中从第 5 项到第 10 项的和.解题思路可以先求出 10S，再求出 4，利用 410S求解；也可以先求出 5a及 10，由 765,a 成等比数列求解 .解：由 21，得 q，- 4 -1023)(10S， 152)(44S， .108410S例 4.已知 n为等比数列 前 n项和， 32nna ，求 n a解题思路可以先求出 ，再根据 的形式特点求解.解： 2131)(3312 nnna，S nnn )(2)(32 即 .41n例 5.已知 nS为等比数列 前 n项和， nna3)12(，求
7、S. a解题思路分析数列通项形式特点，结合等比数列前 项和公式的推导，采用错位相减法求和.解： nna3)12(nS3)12(5，-1432 3)2(3 nn -，得 432( nn63)2(3)12(1)9 1 nnn.3)1(nnS【名师点拨】根据数列通项的形式特点，等比数列求和的常用方法有：公式法、性质法、分解重组法、错位相减法，即数列求和从“通项”入手.变式 1：已知 为等比数列， 6,387621 aa，求 1321a的值.na解：设等比数列 的公比为 q，6,387621aa， 23216545a， 1321a；考点二 证明数列是等比数列- 5 -例 6.已知数列 和 nb满足：
8、1a， 4321nan， )213()1nabnn，其中a为实数， N. 对任意实数 ，证明数列 不是等比数列；n 试判断数列 n是否为等比数列，并证明你的结论.解题思路证明数列 不是等比数列，只需举一个反例；证明数列 nb是等比数列，a常用：定义法；中项法.解： 证明：假设存在一个实数 ，使 是等比数列，则有 312a，na即 ,09494)94()32( 22 矛盾.所以 不是等比数列. na 解：因为 21)(3)1(3()11nanabnn481nnb32)()32又 18(1b，所以当 0,Nn，此时 nb不是等比数列；当 )1时，由上可知 )(32,01Nbn，此时 nb是等比数列
9、【名师点拨】等比数列的判定方法：定义法： qan1（ ， q是常数） 是等比数列；na中项法： 221n( N)且 0n是等比数列 .n变式 1：已知数列 的首项 13， 12na， 1,3证明：数列 1na是等比数列； 解： 12nna， 12nn，1()nn，又 3， 1a，数列 a是以 2为首项， 为公比的等比数列.考点三 等比数列的性质例 7.已知 nS为等比数列 前 n项和， 54nS， 602n，则 nS3 .a解题思路结合题意考虑利用等比数列前 项和的性质求解.解： 是等比数列， nnn232,为等比数列，na- 6 - 318236)0(543nnSS.【名师点拨】给项求项问题
10、，先考虑利用等比数列的性质，再考虑基本量法.变式 1：已知等比数列 中， 36)(,04624aan ，则 53a .n解： 是等比数列，na )(36)2(253464 53.考点四 等比数列与其它知识的综合例 8.设 nS为数列 的前 n项和，已知 1nnbaSa证明：当 2b时， 12是等比数列；求 n的通项公式。解题思路由递推公式 0,naS求数列的通项公式 )(nfa，主要利用：)2(1Sann，同时注意分类讨论思想.解：由题意知 1，且 1nnbaS， 112nnbabS两式相减，得 n，即 1n 当 2b时，由 知 12nn于是 1naa1n又 10，所以 n是首项为 ，公比为
11、2q的等比数列。当 2b时，由（ ）知 12na，即 1nna当 时，由 得 12nbb2nbn因此 112nnnaa 12b得 1nnnb【名师点拨】退一相减是解决含有 nS的递推公式的重要手段，使其转化为不含 nS的递推公式，从而针对性的解决；在由递推公式求通项公式时，重视首项是否可以吸收是易错点，同时重视分类讨论，做到条理清晰是关键.- 7 -【基础巩固】1.设 是公比为正数的等比数列，若 16,51a，则数列 前 7 项的和为（ ）na naA63.B64 .C27 .D28答案：C解：由 1,51，得 15aq， q， .1)(717qS2.设等比数列 na的公比 2， 前 n 项和
12、为 n，则 42a（ ）.A2.B4 .C5 .D答案：C解： .21)(1)(424 qaS3.已知等比数列 n满足 1236a， ，则 7a（ ）A6.B8 .C8 .243解：A解： 213aq， 11q， .61774.已知等比数列 n的前三项依次为 a， ， 4a，则 n（ ）A 32 B 243nC132D1243n解：C解： 5)(1)( aa， ,41q， 1)2(nna5.已知 n是等比数列， 2， ，则 132n =（ ）.A)4(6n.B)(6nC132D1答案：C解： 452a， ， .2,1q1321naa )4(32n6.(2009 广雅中学)在等比数列中，已知 90()， 90b，则 910a . 答案：98ba解：利用 109201909,a 成等比数列，得 910a98b7.已知数列 na的前 项和为 nS， ()3nN；求 1， 2的值； - 8 -证明数列 na是等比数列，并求 nS解：由 1()3S 得 12a 由 212 ()3即 21(1)3a-，得 24a ()na 11 1()()3nnnnS 显然 10 2nn，所以， na是以 2为公比的等比数列， 1()22nnnS
