1、1一椭圆1.椭圆方程的第一定义：椭圆中，与两个定点 F ，F 的距离的和等于常数 的点的轨迹，且此常数 一定要12 2a2a大于 。 21F )0(,21caP2.圆锥曲线的第二定义： e此 点 到 相 应 准 线 的 距 离焦 点 的 距 离圆 锥 曲 线 上 的 任 一 点 到3.椭圆的标准方程：中心在原点，焦点在 x 轴上： )0(12babyax.中心在原点，焦点在 y轴上： )(2. 一般方程： )0,(12BAx.椭圆的标准方程： 2bya 的参数方程为 sincobyax（ ）.20准线： cx2或 c.离心率： )1,0()(12eae随手练例 1. （1）已知定点 ，在满足下
2、列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆)0,3(,21F的是（ C ） A B C D421PF621P1021PF1221F例 2.（1）已知方程 表示椭圆，则 的取值范围为 32kyxk ),(),3(24.【求椭圆标准方程方法技巧】1求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定 参)当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为 2=1xymn，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为 (0)mn ， 且 2AB (A0，B0 且 AB)，这种形式在解题中更简便2椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏【涉
3、及离心率及焦点方法技巧】（1）在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出 c 和 a 的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数 c、a、b 的方程或不等式，通 过解方程或不等式求得离心率的值或范围较多时候利用 解题；2 ,1bea（2）对焦点三角形 的处理方法，12FP通常是运用定 义 式 的 平 方余 弦 定 理面 积 公 式 2212112(a)S（ |F+P|）(c)|Fcos|in.4.若 P 是椭圆： 12byax上的点. 21,F为焦点，若 21PF，则 21FP的面积为 2tanb3（用余弦定理与 aPF21可得）.答案：设 PF1=m,PF2=n,则 m+n=2a
4、又 得到mnc4cos2 cos242mnc所以 )1()(os1()(4a所以 所以三角形面积为cos12bn 2tancos2incos1insinco2i2S 22 bbbbm 【直线与椭圆位置关系判断方法】1.(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去 y，整理得到关于 x 的方程Ax2 Bx C0.记该一元二次方程根的判别式为 ，若 0，则直线与椭圆相交；若 0，则直线与椭圆相切；若 0，则直线与椭圆相离(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系（3）弦中点问题，适用“点差法”.【方法规律技巧】1.涉及直线与椭圆的基本题型有：（1）位置关
5、系的判断（2）弦长、弦中点问题（3）轨迹问题来源:学#科#网（4）定值、最值及参数范围问题（5）存在性问题2常用思想方法和技巧有：（1）设而不求（2）坐标法（3）根与系数关系4xy0ABCMD53. 若直线与椭圆有两个公共点 可结合韦达定理，代入弦长公式12()()MxyNxy， ， ， ，或 或 求MN 2211()4kxx 121224kMN 21xk距离例 3、F 是椭圆 的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P 为椭圆上一动点。 1342yx的最小值为 PA5-思路：椭圆第一定义；例 4、动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切,求
6、圆心 M 的轨迹方程。 答案：椭圆第一定义 MA=R-r x MB=r+rxMA+MB=R+r=82 所以圆心 M 形成椭圆： 1562y 二：双曲线1、双曲线及其标准方程(1)第一定义： )0(,21acPF平面内与两个定点 、 的距离的差的绝对值 等于常数 2a（小于| 1F2|）的动点5M的轨迹注：若 1F 2时，动点 M的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若 1MF 2时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.(2)第二定义： e此 点 到 相 应 准 线 的 距 离点 的 距 离双 曲 线 上 的 任 一 点 到 焦(3)标准方程：焦点在 x 轴，
7、 )0,(,12baby焦点在 y 轴， 一般方程：),(,2x )0(,12nmyx（4）等轴双曲线：双曲线 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 ，离心率 .2a xy2e(5)共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：2byax2byax 02byax2.双曲线的焦点判别方法是：如果 2x项的系数是正数，则焦点在 x 轴上；如果 2项的系数是正数，则焦点在 y 轴上。对于双曲线，a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.3.双曲线的方程与渐近线方程的关系若双曲线方程
8、为 12byax渐近线方程：20xyabxab；若渐近线方程为 0x双曲线可设为 2；若双曲线与 12byax有公共渐近线，可设为 2byax6（ 0，焦点在 x 轴上， 0，焦点在 y 轴上）.双曲线21(,0)xyab焦点三角形面积： 12FPScotb，高 h2cotb。证明：设 MF1长为 m，MF 2长为 n，则 m-n=2a -又由余弦定理 mnbncamncamncnc 24242)()(2)(2)cos 22 所以得到 cos1bm所以三角形 MF1F2的面积为： 2cotsin2ccos1insincosin21 22 bbbb 题型一 双曲线的性质（2）已知双曲线与椭圆 1
9、259yx共焦点，它们的离心率之和为 514，求双曲线方程.答案： 124xy7例 2 求与双曲线2193xy有共同的渐近线，并且经过点 (3,4)的双曲线方程答案： 4512y题型二、双曲线与椭圆共焦点，求 PF1F2相关知识例 1：已知椭圆 和双曲线 有121byax-2byax共同的焦点 F1,F2,P 点是椭圆和双曲线的的交点，问什么时候三角形 PF1F2是直角三角形？分析：因为椭圆和双曲线共焦点，得 -212bac22bac设 PF1长为 m，PF 2长为 n，则可知： m+n=2a 1 , m-n=2a2 -当三角形 PF1F2是直角三角形时， 224cnm8由知 2121222
10、4)()( aanmnm由知 所以221 bbac 21214cba所以如果三角形 PF1F2是直角三角形时 2n需使 2121a得到 。 b此时三角形 PF1F2的面积为 ，由知mn22122)()(41anmn所以三角形的面积为： 21)()( ba结论：（1）当椭圆 和双曲线 共焦点且 b 值相等时，121byax 1-2byaxPF1F2是直角三角形，三角形面积为|PF1|PF2|= ；2 2121)()(（2）当椭圆 和双曲线 共焦点且三角形 PF1F2是直角三角形，1byax 1-2byax那么 。2随堂练习：1.已知椭圆 （a0,b0）与双曲线 （m0,n0)有相同的焦点12by
11、ax 12nymxF1、 F2,P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|PF2|的值为（ D ）A. B. C.b-n D.a-mnbma92.若椭圆 与双曲线 有相同的焦点 F1、 F2,P 是两曲线的)1(2myx )0(12nyx一个交点，则 PF1F2的面积为（ C ）A.4 B.2 C.1 D. 23.若椭圆和双曲线有相同焦点 F1、 F2,P 是两曲线的一个交点，并且 ，0PF21分别是它们的离心率，则 2 21,e e三抛物线1.定义：平面内与一定点 F 和一条定直线 L 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线 L 上)。定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 L 叫做抛物
12、线的准线102.标准方程：焦点在 x 轴， 准线方程：)0(,2pxy cax2焦点在 y 轴， )(,2 y23.通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，通径长为 ；4.抛物线的几个常见结论结论一：若 AB 是抛物线 的焦点弦（过焦点的弦） ，且 ， ，2(0)ypx1(,)Axy2(,)B则： ， 。214px21y证明：因为焦点坐标为 F( ,0),当 AB 不垂直于 x 轴时，可设直线 AB 的方程为： p，()2pykx由 得: ， 。2220kyp21yp2421ypx当 ABx 轴时，直线 AB 方程为 ，则 ， ， ，同上也有：x1221。214px例 1：已知直线 A
13、B 是过抛物线 焦点 F，求证： 为定值。2(0)ypx1ABF11证明：等于 P2结论二：（1）若 AB 是抛物线 的焦点弦，直线 AB 的倾斜角为 ，则2(0)ypx（0） 。2sinPAB（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。证明：（1）设 ， ，设直线 AB:1(,)Axy2(,)Bxy()2pykx由 得:, ， ，2pyk0kp121yp 。22121122()4pkAByykk222()(tan)siP易验证，结论对斜率不存在时也成立。（1）由（1）：AB 为通径时， ， 的值最大， 最小。902sinAB例 2：已知过抛物线 的焦点的弦 AB 长为 12，则
14、直线 AB 倾斜角为 60或 120 29yx。结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。例 3：已知 AB 是抛物线 的过焦点 F 的弦，2(0)ypx求证：（1）以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。12(2)分别过 A、B 做准线的垂线，垂足为 M、N，求证：以 MN 为直径的圆与直线 AB 相切。证明：(1)设 AB 的中点为 Q,过 A、Q、B 向准线 l 作垂线，垂足分别为 M、P、N，连结 AP、BP。由抛物线定义： ， NF， ，111()()222QABAB以 AB 为直径为圆与
15、准线 l 相切（2）作图如（1） ，取 MN 中点 P，连结 PF、MF、NF， ，AMOF，AMF=AFM，AMF=MFO，AMFAFM=MFO。同理，BFN=NFO，MFN= （AFM+MFO+BFN+NFO） =90，12 ，PFM=FMPPNFAFP=AFM+PFM=FMA+FMP=PMA=90，FPAB以 MN 为直径为圆与焦点弦 AB 相切。结论四：若抛物线方程为 2(0)ypx，过（ ，0）的直线与之交于 A、B 两点，则2pOAOB。反之也成立。证明：【典型例题】例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 )与到准线的距离和最小,则点 2P 的坐标为_
16、_），（BAMNQPyxO FOANPyxFBM13FAPHBQ (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为 。），（ 14分析：（1）A 在抛物线外，如图，连 PF，则 ，因而易发现，当 A、P、F 三点共线PFH时，距离和最小。（2）B 在抛物线内，如图，作 QRl 交于 R，则当 B、Q、R 三点共线时，距离和最小。点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。例 5、定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2上移动，AB 中点为 M，求点 M 到 x 轴的最短距离。 14答案：
17、。 45分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设 A(x1,x12)，B(x 2，X 22)，又设 AB 中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出 y0关于 x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。（2）M 到 x 轴的距离是一种“点线距离” ，可先考虑 M 到准线的距离，想到用定义法。解法一：设 A(x1，x 12)，B(x 2，x 22)，AB 中点 M(x0，y 0)则 0219(yx由得(x 1-x2)21+(x1+x2)2=9 即(x 1+x2)2-4x1x21+(x1+x2)2=9 -由、得 2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入得 (2x 0)2-(8x02
18、-4y0)1+(2x0)2=9 ，20204194xy19)(202020 xxy ,51940y-15xy0MAB12当 4x02+1=3 即 时， 此时20x45)(min0y)45,2(M法二：如图， 322 ABFBAM ， 即 ，32341 ， 当 AB 经过焦点 F 时取得最小值。451M 到 x 轴的最短距离为 45点 评 ： 解 法 一 是 列 出 方 程 组 ， 利 用 整 体 消 元 思 想 消 x1， x2， 从 而 形 成 y0关 于 x0的 函 数 ，这 是 一 种 “设 而 不 求 ”的 方 法 。而 解 法 二 充 分 利 用 了 抛 物 线 的 定 义 ， 巧
19、妙 地 将 中 点 M 到 x 轴 的 距 离 转 化 为 它 到 准 线 的距 离 ， 再 利 用 梯 形 的 中 位 线 ， 转 化 为 A、 B 到 准 线 的 距 离 和 ， 结 合 定 义 与 三 角 形 中 两边 之 和 大 于 第 三 边 （ 当 三 角 形 “压 扁 ”时 ， 两 边 之 和 等 于 第 三 边 ） 的 属 性 ， 简 捷 地 求解 出 结 果 的 ， 但 此 解 法 中 有 缺 点 ， 即 没 有 验 证 AB 是 否 能 经 过 焦 点 F， 而 且 点 M 的 坐 标也 不 能 直 接 得 出 。八课后作业1.以椭圆 的焦点为焦点，过直线 上一点 作椭圆，
20、要使所作椭132yx 09yxl：圆的长轴最短，点 应在何处？并求出此时的椭圆方程M解：如图所示，椭圆 的焦点为 ， 132yx031，F2，16点 关于直线 的对称点 的坐标为（9，6） ，直线 的方程为1F09yxl： F2F032yx解方程组 得交点 的坐标为（5，4） 此时 最小0932yxM21M所求椭圆的长轴： ， ，又 ，5621Fa 53a3c 因此，所求椭圆的方程为 365222 cab 1642yx2.求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过 和 两点的椭圆方程)2,3(A)1,3(B解：设所求椭圆方程为 ( ， )由 和 两点在椭12nymx0n),2(圆上可得即 所以 ，
21、,1)32(2nm,143n51mn故所求的椭圆方程为 52yx3.双曲线21 96xy的两个焦点为 12F、 ，点 P在该双曲线上，若 ，则点 P到021PFx轴的距离为 .5434.设双曲线21yx上两点 A、B，AB 中点（1，2） ，求直线 AB 方程；175.已知长轴为 12，短轴长为 6，焦点在 轴上的椭圆，过它对的左焦点 作倾斜解为x 1F的直线交椭圆于 ， 两点，求弦 的长3ABAB解：(法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解因为 ， ，所以 因为焦点21xkAB 4)(21212xxk6a3b3c在 轴上，x所以椭圆方程为 ，左焦点 ，从而直线方程为 19362yx)0,3
22、(F93xy由直线方程与椭圆方程联立得： 设 ， 为方程两根，8672x1x2所以 ， ， ， 13721x1382xk从而 1348)(222 xkAB(法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解由题意可知椭圆方程为 ，设 ， ，则 ，19362yxmAF1nB1mAF12nBF1218在 中， ，即 ；21FA 3cos221122 FAFA 21363)12(2mm所以 同理在 中，用余弦定理得 ，所以 346m21B46n48nAB(法 3)利用焦半径求解先根据直线与椭圆联立的方程 求出方程的两根 ， ，它们分别08367213x1x2是 ， 的横坐标AB再根据焦半径 ， ，从而求出 11e
23、xaF2exaBF1BFA6.若双曲线 2x by=1 的渐近线与方程为 3)(2y的圆相切，则此双曲线的离心率为 2 7.双曲线与椭圆 13627yx有相同焦点，且经过点 (15,4)，求其方程。答案：8 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是53199.(新课标全国卷)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直， l与 C 交于 A， B 两点，| AB|为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为( B )A. B.2 3C2 D310.(新课标全国卷)已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直， l 与 C 交于 A
24、， B 两点，| AB|12， P 为 C 的准线上一点，则 ABP 的面积为( C )A18 B24C36 D4811(辽宁高考)已知点(2,3)在双曲线 C： 1( a0， b0)上， C 的焦距为x2a2 y2b24，则它的离心率为_2_12.在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1， F2在 x 轴上，离心率为 .过 F1的直线 l 交 C 于 A， B 两点，且 ABF2的周长为 16，那么 C 的方程为22 1 _2013.已知双曲线 1( a0， b0)的一条渐近线方程是 y x，它的一个焦点x2a2 y2b2 3与抛物线 y216 x 的焦点相同，则双曲
25、线的方程为_ 1_14设 F1， F2分别为椭圆 C： 1( ab0)的左，右焦点，过 F2的直线 l 与椭x2a2 y2b2圆 C 相交于 A， B 两点，直线 l 的倾斜角为 60， F1到直线 l 的距离为 2 .3(1)求椭圆 C 的焦距；(2)如果 ，求椭圆 C 的方程12F答案：解：（1）设焦距为 2c，由已知可得 F1到直线 l 的距离 ，故 c=2，所以椭圆 C 的焦距为 4；（2）设 ，由题意知 ，直线 l 的方程为 ， 联立 得 ，21解得 ， 因为 ，所以 ，即 ，得 a=3， 又 c=2，故 ，故椭圆 C 的方程为15（2013 年高考陕西卷（文） ）已知动点 M(x,y)到直线 l:x = 4 的距离是它到点N(1,0)的距离的 2 倍. () 求动点 M 的轨迹 C 的方程; () 过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A, B 两点. 若 A 是 PB 的中点, 求直线m 的斜率.161. （2013 年高考湖南（文） ）已知 , 分别是椭圆 的左、右焦点 ,1F2 15:2yxE1F关于直线 的对称点是圆 的一条直径的两个端点.2F02yxC()求圆 的方程;C()设过点 的直线 被椭圆 和圆 所截得的弦长分别为 , .当 最大时,求直2FlEab线 的方程.l22
