1、4.1第四章 大数定律与中心极限定理4.1 特征函数内容提要1. 特征函数的定义 设 X 是一个随机变量,称 为 X 的特征函数,)()iteEt其表达式如下 (),() . 在 离 散 场 合 ，在 连 续 场 合 ，itxiitXitxePtE tpd 由于 ,所以随机变量 X 的特征函数 总是存在的.1sinco22ttxeitx )(t2. 特征函数的性质(1) ;)0(t(2) 其中 表示 的共 轭;,t)(t)(t(3) 若 Y=aX+b,其中 a,b 是常数.则 );(ateXibtY(4) 若 X 与 Y 是相互独立的随机变量,则 );(tYY(5) 若 存在,则 可 次求导,
2、且对 ,有()lE)(tXllk1);0kkXEi(6) 一致连续性 特征函数 在 上一致连续),(7) 非负定性 特征函数 是非负定的,即对任意正整数 n,及 n 个实数)t和 n 个复数 ,有 tt,21 nz,21 ;0)(1jkjknjkzt(8) 逆转公式 设 F(x)和 分别为 X 的分布函数和特征函数,则对 F(x)的t任意两个点 ,有21x2)0()0() 11x ;)(21lim21dtiteTitxitT特别对 F(x)的任意两个连续点 ,有1;)(2li)(212 dtitexTitxitT(9) 唯一性定理 随机变量的分布函数有其特征函数唯一决定；4.2(10) 若连续
3、随机变量 X 的密度函数为 p(x),特征函数为 如果).(t,dt)则 texpitx)(21)(3. 常用的分布函数特征表分布 特征函数退化分布 P(X=a)=1 itae)(二项分布 pqptnit1,)(几何分布 ite1正态分布 2x)(tt标准正态分布 t均匀分布 U(a,b) itabeit)(均匀分布 U(-a,b) tsn指数分布 1)(it伽玛分布 Ga(,) )it分布2 2)(nt泊松分布 1exp)it习题与解答 4.11. 设离散随机变量 X 的分布列如下,试求 X 的特征函数.X 0 1 2 3P 0.4 0.3 0.2 0.1解 titiitx eet 323.
4、40)(2. 设离散变量 X 服从几何分布 .,21,)1()( kpkX试求 X 的特征函数,并以此求 E(X)和 Var(x).解 记 q=1-p, 则4.3,itKititkkititx qeppeqeEt 1)()() 11,2)(itt,4 )1()()(it ititititqeqeppet,iXE102,242)(1)()( pqqpi 22)1(XEXVar3设离散随机变量 X 服从巴斯卡分布 ,)1()( rkrpkP试求 X 的特征函数.,1,kr解 设 是相互独立同分布的随机变量,且都服从参数为 p 的几r,2何分布 Ge(p),则由上一题知 的特征函数为j ,1)(Xi
5、tqeptj其中 q=1-p. 又因为 ,所以 X 的特征函数为r21.j ritxXqepttj1)()(4求下列分布函数的特征函数,并由特征函数求其数学期望和方差.(1) (a0); (2) (a0).dteaxFx2)(1 dttaxFx221)(解 (1)因为此分布的密度函数为 ,1xaep.x所以此分布的特征函数为01 0()22itxaitxateded4.40 0(cosin)(cosin)22ax axatxtedtxted = .20tteax又因为 ,)(2)1tt,0)(1,)(3)21tat,2)0(1a所以 Var(X)= 0,1iXE .0(212iE(2) 因为此
6、分布的密度函数为 ,)22axp.x所以此分布的特征函数为,cos)( 0222 daxtdaxeit又因为当 t0 时,有(见菲赫金哥尔茨 微积分学教程 第二卷第三分册或查积分表) .2cos02atedxa所以当 t0 时 ,有 .)(attet而当 t0 时, aizeiadxex itit ,Rs2)( 222 tatitzaz ii lm5. 设 试用特征函数的方法求 X 的 3 阶及 4 阶中心矩.),(2NX解 因为正态分布 的特征函数为 所以)(2 ,)(2/tiet4.5,)0(i ,)0(iXE,2 ,)22 i,3)0(2 i ,30(3 iXE,6424 .6) 424
7、4 i由此得 X 的 3 阶及 4 阶中心矩为 ,0)(3)()()( 2233 XEXEE .346)( 4344 6. 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性：若 X b (n , p),Y b(m , p),且 X 与 Y 独立 ,则 X+Y b(n + m, p).证 记 q=1-p, 因为 , , nitXqpet)()mitYqpet)()所以由 X 与 Y 的独立性得,()()itnXYXYtt这正是二项分布 b(n + m, p)的特征函数,由唯一性定理知 X+Yb(n+m,P).7. 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性：若 XP(1),Y P(2),且 X与 Y 独立,则
8、 X+YP(1+2).证：因为 所以由 X 与 Y 独立性得,)(,)1()(2itit eYett,)12( itetYXX这正是泊松分布 P( 1+2).的特征函数,由唯一性定理知 X+Y P(1+2). .8. 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性：若 ),(1aG,且 X 与 Y 独立 ,则 .)(2aGY ),(21aG证 因为 , ,所以由 X 与 Y 的独立性得1)(aitt)Yitt,)(21(aXXittt 这正是伽玛分布 的特征函数,由唯一性定理知 )(21aG.),(21aGY4.69.试用特征函数的方法证明 分布的可加性：若 , ,且2)(2nX)(2mYX 与 Y
9、独立,则 ).(2mnY证 因为 , ,所以由 X 与 Y 的独立性得1)(Xitt2)1(mYitt,2)()( nXit这正是 分布 (n+m)的特征函数,由唯一性定理知22 ).(m10. 设 独立同分布,且 .试用特征函数的方法证明 :iXiExpi ,1),(.niiGaXY1),证 因为 ,所以由诸 的相互独立性得 的特征函数为1)()ittiX i nY,nYttn)()这正是伽玛分布 的特征函数,由唯一性定理知 .)(nGa ),(nGaY11. 设连续随机变量 X 服从柯西分布,其密度函数如下：,xxxp,)(1)(22其中参数 ,常记为 ,0Ch(1) 试证 X 的特征函数
10、为 ,且利用此结果证明柯西分布的可加性；tie(2) 当 时,记 Y=X,试证 ,但是 X 与不独立；10 )()(ttYXYX(3) 若 相互独立 ,且服从同一柯西分布,试证：n,21 )(21n与 Xi 同分布.证 (1) 因为 的密度函数为 ,由本XY xyxp,1)(2节第 4 题(2)知 Y 的特征函数为 .由此得 的特征函数()e|YttYX.tiit YXexp)(xp)(4.7下证柯西分布的可加性: 设 服从参数为 的柯西分布,其密度)2,1(iXi函数为: .若 与 相互独立,则,)(1)(22ixxxpii 1X2,ttittXX )(ep(212121这正是参数为 柯西分
11、布的特征函数.所以由唯一性定理知, ,服从参数为 的柯西分布.21X2121(2) 当 时有 , ,所以,0ttXexp)(tYexp)()(2tYX.ttte )(tYX由于 Y=X,当然 X 与 Y 不独立.此题说明,由 不能推得 X 与 Y 独立.)()(ttYX(3) 设 都服从参数为 的柯西分布,则特征函数为 .i titexp)(由相互独立性得, 的特征函数为 ,即 与nii1intexp)/( niiX1X1 具有相同的特征函数,由唯一性定理知它们具有相同的分布 .12.设连续随机变量 X 的密度函数为 p(x),试证：p(x)关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.证
12、：记 X 的特征函数为 )(tX.先证充分性,若 是实的偶函数,则)(tX或 ,这表明 X 与- X 有相同的特征函数,从而 X 与-X)(ttX)(t有相同的密度函数,而-X 的密度函数为 p(-x),所以得 p(x)=p(-x),即 p(x)关于原点是对称的.再证必要性.若 p(x)=p(-x),则 X 与-X 有相同的密度函数,所以 X 与-X 有相同的特征函数.由于-X 的特征函数为 )(t,所以 = ,故 是)(ttX_t)(t实的偶函数.13.设 独立同分布,且都服从 N( )分布,试求 的nX,21 2niiX1_分布.4.8解：因为 Xj 的特征函数为 ,所以由诸 Xi 互相独立得 的特2/)(tijet_征函数为 这是正态分布 N( )的特征函数,所2/)/()ntinitt n/,2以由唯一性定理知 N( )ii1_/,
