1、易佳教育 角的平分线的性质一. 基础知识1角的平分线的性质(1)内容角的平分线上的点到角的两边的距离相等(2)书写格式如图所示，点 P 在 AOB 的角平分线上， PD OA， PE OB， PD PE.2角的平分线的判定(1)内容角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上(2)书写格式如图所示， PD OA， PE OB， PD PE，点 P 在 AOB 的角平分线上3运用角的平分线的性质解决 实际问题易佳教育 运用角的平分线的性质的前提条件是已知角的平分线以及角平分线上的点到角两边的距离在运用角的平分线的性质解决实际问题时，题目中常常出现求到某个角的两边距离相等的点的位置，只要作出角的
2、平分线即可运用角平分线的性质解决实际问题时，一定要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形直线，并且要求的点是到两线的距离相等，常常确定两线夹角 的平分线上的点，这个过程就是建立数学模型的过程，这是在解决实际问题中常用的方法4运用角的平分线的判定解决实际问题在实际问题中，如果出现了某个地点到某些线的距离相等，常先把实际问题转化为 数学问题，即建立数学模型(角的平分线)然后根据已知某点到角两边的距离相等，则常常联想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题解技巧 巧用角的平分线的性质和判定解决问题 能根据已知条件联想到角的平分线的性质或判定是解决问题的关键找到解决问题的切入点就是已知条件中有点到
3、直线的距离相等或要找到到两条直线的距离相等的点5综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题角的平分线的性质和判定的关系如下：对于角的平分线的性质和判定，一方面要正确理解和明确其条件和结论， “性质”和“判定”恰好是条件和结论的互换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，判定是证明两角相等的依据析规律 构造角的平分线的模型证明线段相等 当有角平分线 时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线，根据角平分线的性质得线段相等同样，欲证明某射线为角平分线时，只需过其上一点向角的两边作垂线，再证线段相等即可6运用角的平分线的性质和判定解决探究型问题在实际问题中，确定 位置(如建货物中转站、建集市、建
4、水库等)的问题，常常用到角的平分线的性质来解决尤其是涉及作图探究的题目，性质“角的内部到 角两边的距离相等的点在这个角的平分线上”的应用是寻找角的平分线的一种比较简单的方法三角形有三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到该三角形三边的距离都相等，其实只要作出其中两条 角平分线的交点，第三条角平分线一定过此交点易佳教育 三角形两个外角的平分线也交于一点，这点到该三角形三边所在的直线距离相等三角形外角平分线共有三条，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有 4 个 【例 6】 如下图所示，三条公路 l1， l2， l3两两相交于 A， B， C 三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公
5、路的距离相等，可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？解：三角形的三条角平分线的交点到该三角形三条边的距离相等； ACB， ABC 的外角平分线交于一点，利用角的平分线的性质和判定定理，可以得到此点也在 CAB 的平分线上，且到公路 l1， l2， l3的距离相等；同理还有 BAC， BCA 的外角平分线的交点； BAC， CBA 的外角平分线的交点，因此满足条件的点共有 4 个作法：(1)如右图所示，作出ABC 两内角BAC，ABC 的平分线的交点 O1.(2)分别作出ACB，ABC 的外角平分线的交点 O2，BAC，BCA 的外角平分线的交点 O3，BAC，CBA 的外角平分线的交点
6、O4；故满足条件的修建点有四处，即点O1，O2，O3，O4 处课堂练习一、填空题 易佳教育 1已知： ABC 中， B=90， A、 C 的平分线交于点 O，则 AOC 的度数为 .2角平分线上的点到_距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_3 AOB 的平分线上一点 M ， M 到 OA 的距离为 1.5 cm，则 M 到 OB 的距离为_.4如图， AOB=60， CD OA 于 D， CE OB 于 E，且 CD=CE，则 DOC=_.5如图，在 ABC 中， C=90， AD 是角平分线， DE AB 于 E，且 DE=3 cm， BD=5 cm，则 BC=_cm.6如图， CD 为
7、 Rt ABC 斜边上的高， BAC 的平分线分别交 CD、 CB 于点E、 F， FG AB，垂足为 G，则 CF_FG， CE_CF.7如图，已知 AB、 CD 相交于点 E， AEC 及 AED 的平分线所在的直线为 PQ与 MN，则直线 MN 与 PQ 的关系是_.8三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到_相等9点 O 是 ABC 内一点，且点 O 到三边的距离相等， A=60，则 BOC 的度易佳教育 数为_10在 ABC 中， C=90， AD 平分 BAC 交 BC 于 D，若 BC=32 且BD CD=97，则 D 到 AB 的距离为 . 二、选择题 11三角形中到三边距
8、离相等的点是（ ）A、三条边的垂直平分线的交点 B、三条高的交点 C、三条中线的交点 D、三条角平分线的交点12如图，12， PD OA， PE OB，垂足分别为 D， E，下列结论错误的是（ ）A、 PD PE B、 OD OE C、 DPO EPO D、 PD OD13如图，直线 l1， l2， l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A、1 处 B、2 处 C、3 处 D、4 处14如图， ABC 中， C90， AC BC， AD 平分 CAB 交 BC 于 D， DE AB于 E，且 AB6，则 DEB 的周长为（ ）A、
9、4 B、6 C、10 D、不能确定21DAPOEl2l1l3CAEB第 12 题 第 13 题 易佳教育 第 14 题 15如图， MP NP， MQ 为 MNP 的角平分线， MT MP，连接 TQ，则下列结论中不正确的是（ ）A、 TQ PQ B、 MQT MQP C、 QTN90 D、 NQT MQT NTQPM第 15 题 16如图在 ABC 中， ACB=90， BE 平分 ABC， DE AB 于 D，如果 AC=3 cm，那么 AE+DE 等于( ) EDCBAA2 cm B3 cm C4 cm D5 cm 17如图，已知 AB=AC， AE=AF， BE 与 CF 交于点 D，
10、则对于下列结论：ABE ACF； BDF CDE； D 在 BAC 的平分线上其中正确的是（ ）A B C和 D易佳教育 EDCBAF18如图， AB=AD， CB=CD， AC、 BD 相交于点 O，则下列结论正确的是（ ） A OA=OC B点 O 到 AB、 CD 的距离相等 C BDA= BDC D点 O 到 CB、 CD 的距离相等 19 ABC 中， C=90，点 O 为 ABC 三条角平分线的交点， OD BC 于D， OE AC 于 E， OF AB 于 F，且 AB=10cm， BC=8cm， AC=6cm，则点 O 到三边AB、 AC、 BC 的距离为（ ）A2 cm，2
11、cm，2 cm； B 3 cm，3 cm，3 cm； C 4 cm，4 cm，4 cm； D 2 cm，3 cm，5 cm 20两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（ ）A两个三角形全等 B如果还有一角相等，两三角形就全等C两个三角形一定不全等 D如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等三、解答与证明 21 如图，已知 ABC 中， AB=AC， D 是 BC 的中点，求证： D 到 AB、 AC 的距离相等. D CBA22 如图，已知 BE AC 于 E， CF AB 于 F， BE、 CF 相交于点 D，若 BD=CD求证： AD 平分 BAC.易佳教育 23 如图，已知 BE 平分
12、ABC， CE 平分 ACD，且交 BE 于 E求证： AE 平分 FAC.DFCBA E24 如图，已知 AB=AC， AD=AE， DB 与 CE 相交于 O. (1)若 DB AC 于D， CE AB 于 E，试判断 OE 与 OD 的大小关系.并证明你的结论. (2)若没有第（1）中的条件，是否有这样的结论?试说明理由. DCBAOE25如图， B= C=90M 是 BC 的中点， DM 平分 ADC，求证： AM 平分 DAB.易佳教育 重点题型讲解1.如图已知在ABC 中，A、B 的角平分线交于点 O，过 O 作 OPBC 于 P，OQAC 于Q，ORAB 于 R，AB=7，BC=
13、8， AC=9（1 ）求 BP、CQ、AR 的长（2 ）若 BO 的延长线交 AC 于 E，CO 的延长线交 AB 于 F，若A=60 ，求证：OE=OF易佳教育 2.如图AE、BD 是ABM 的高AE、BD 交于点 C，且 AE=BE， BD 平分ABM（1 ）求证：BC=2AD；（2 ）求证：AB=AE+CE；（3 ）求证：DE 平分MDB3.如图，点 M（2，2 ） ，将一个 90的角尺的直角顶点放在点 M 处，角尺的两边分别交 x 轴、y 轴正半轴于 A、B，AP 平分OAB，交 OM 于点 P，PNx 轴于 N，把角尺绕点 M 旋转时：（1 ）求证：OM 平分AOB；（2 ）求 OA
14、+OB 的值易佳教育 4.如图，CA=CB， CD=CE，ACB=DCE=，AD 、BE 交于点 H，连 CH（1 ）求证：ACDBCE； （2 ）求证：CH 平分AHE ； （3 ）求CHE 的度数 （用含 的式子表示）家庭作业1 角平分线上的点到_距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_2、 AOB 的平分线上一点 M ，M 到 OA 的距离为 1.5 cm，则 M 到 OB 的距离为_.3、如图，AOB=60 ，CDOA 于 D，CEOB 于 E，且 CD=CE，则DOC =_.易佳教育 4、如图，在ABC 中，C=90，AD 是角平分线，DE AB 于 E，且 DE=3 cm，BD=
15、5 cm，则BC=_cm.5、 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到_ 相等。6、 点 O 是ABC 内一点，且点 O 到三边的距离相等， A=60，则BOC 的度数为_7、 在 ABC 中，C=90，AD 平分BAC 交 BC 于 D，若 BC=32，且 BDCD =97 ，则 D 到AB 的距离为 . 8、三角形中到三边距离相等的点是（ ）A、三条边的垂直平分线的交点 B、三条高的交点 C、三条中线的交点 D、三条角平分线的交点9、如图，1 2 ，PD OA，PEOB，垂足分别为 D，E ，下列结论错误的是（ ）A、PDPE B、ODOE C 、DPOEPO D、PDOD10、如图
16、，直线 l1，l 2，l 3 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A、1 处 B、2 处 C、3 处 D 、4 处11、如图，ABC 中，C90，ACBC ，AD 平分CAB 交 BC 于 D，DEAB 于 E，且AB 6，则DEB 的周长为（ ）A、4 B、6 C 、10 D、不能确定CAEB易佳教育 21DAPOEBl2l1l3第 9 题 第 10 题 第 11 题12、如图，MP NP，MQ 为 MNP 的角平分线，MTMP，连接 TQ，则下列结论中不正确的是（ ）A、TQ PQ B、MQT MQP C、QTN90 D、NQT
17、 MQTNTQPMEDBAEDCBAF第 12 题 第 13 题 第 14 题13、如图在ABC 中，ACB=90，BE 平分ABC，DEAB 于 D，如果 AC=3 cm，那么AE+DE 等于 ( ) A2 cm B3 cm C4 cm D5 cm 14、如图，已知 AB=AC，AE =AF，BE 与 CF 交于点 D，则对于下列结论：ABEACF；BDFCDE；D 在BAC 的平分线上其中正确的是（ ）A B C和 D15、 ABC 中，C=90，点 O 为 ABC 三条角平分线的交点，ODBC 于 D，OEAC 于E，OFAB 于 F，且 AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm ，则
18、点 O 到三边 AB、AC、BC 的距离为（ ）A2 cm，2 cm，2cm； B 3cm，3 cm，3 cm； C 4cm，4 cm，4 cm； D 2cm，3cm，5cm 16、在 RtABC 中，C90 ，DE 是 AB 的垂直平分线，易佳教育 且BAD BAC13，求B 的度数17、已知：如图ABC 中， AB=AC，C=30，ABAD，AD=4cm ，求 BC 的长18、如图 1134，在ABC 中C=90 0，AC=BC， AD 平分 交 BC 于点D，DEBE求证：（1）DE+BD=AC （2）若 AB=6cm，求DBE 的周长 易佳教育 19、如图 1136，已知：AB=AC，BD=CD，求证：DE=DF20、如图 1133，在，交 BC 于 D，若 BC=10cm，BD=6cm，求点 D 到 AB 的距离易佳教育 21、如图 ll37，BN 是 的平分线，P 在 BN 上，D、E 分别在 AB、BC上，都不是直角，求证：PD=PE22如图 11310，已知 0 为 的平分线的交点，易佳教育 0E_kAC 于 E，若 0E=2求 0 到 AB 与 0 到 CD 的距离之和23如图 113 一 ll，已知 于 F，BE、CF 相交于点 D 若BD=CD求证：
