1、初三数学复习专题数形结合思想的应用教学目标（1）理解数形结合的本质：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图像的性质；（2）了解数形结合在解决数学问题中的作用，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决.教学重点（1）理解数形结合的本质；（2）能够用数形结合思想方法探求解决问题的思路.教学难点在代数与几何的结合点上找出解题思路，从而以简捷途径解决问题教学过程：引入：数学结合作为一种重要的数学思想，同学们并不陌生。本学期所学习的二次函数相关知识，就由函数表达式与图像性质两部分组成。从图像角度分析，二次函数图像是一条抛物线，具有对称性、最高（低）点等特征；但若要精确获得抛物线上某
2、一点的具体位置，则需要借助解析式求出坐标。下面考考大家的图像分析能力，试着自己从抛物线图像中提取重要信息，回答下列问题。例 1. 已知二次函数 的图象如图所示，则下列结论中：2(0)yaxbc2a+ b=0；abc0； ；42abc方程 的两根之和大于 0；20axbc方程 有两个实数根，2x正确的是 .【原因】解：根据图像可知，二次函数对称轴为直线 x=1，则 2ba-b= 2a 2a+b= 0观察开口方向、截距、对称轴可知：a0，c 0 b02b当 时， 且由图像可知： 时对应的点在 x 轴下方1x42ayc12x 042abc法一：【数】由韦达定理 120bxa法二：【形】二次函数的零点
3、即为对应的二次方程的两根.根据图像对称轴与图像的一个零点，可知另一个零点为 3. 所以 120x法一：【数】将原式变形为 2()axbc 222(1)4141bacbc其中， 20, 2(1)4bac方程 有两个实数根2xx法二：【形】令 ， 方程 的根即为 y1 与 y2 图212,yaxbcyx2abxc像交点的 x 值。由图像可知 y1 与 y2 图像有两个交点，所以方程有两个实数根。2abc例 1 小结：（1）注意观察二次函数图像的开口方向，对称轴，特殊点坐标（2）函数图像公共点的横坐标，即为两解析式联立后所得方程的解例 2. 如图，已知在点 A（0,4）是 y 轴上一点，过点 C（4
4、，6）作 x 轴的垂线，垂足为点 D，点 B（t，0）为 OD 上一动点（不与 O，D 重合），联结AB，AC，E 为 DC 上一动点，且 ，过点 E90B作 EFAB，交 AC 于点 F.（1）设点 E 的纵坐标为 yE，求 yE关于 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围；（2）若存在一点 B，使四边形 ABEF 为矩形，求 t 的值.解：（1）法一：根据题意：AB= , 22(0)(4)tAE= , BE=22(04)()Ey22Ety229,ABEAB代入化简得： 2404Etyt法二： ,90, 90ABOEBD, ,OA AEB又 ，90ABEDAOBDE4,4,EABtty20
5、Etyt（2）法一：若四边形 是矩形，则ABEF2290,BACACB其中，AC= ,BC=22(04)(6)522(4)(6)t代入解得：t=2法二：过点 作 ，垂足为点AHCDH若四边形 是矩形，则 ,BEFABEACBEDtantaACHD4,2,EtOy又 ，解得 （舍），24Ety1t2tt法三：直线 AC 的解析式为： 14yx若四边形 是矩形，则 ABABEFACk AB=-2， 直线 AB 的解析式为：y=-2x +4令 y=0，得 x=2 t=2例 2 小结：处理垂直（直角）问题的几种方法：1. 勾股定理2. 锐角三角比3. 三直角型相似例 3.已知例 1 中的二次函数解析式
6、为： ，其图像与 x 轴交于23yxA、B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C. 在该抛物线对称轴上是否存在点 P，使得PAC 的周长最小？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在请说明理由.【思考题】（机动）在第四象限内，该抛物线上是否存在点 Q，使得QBC 的面积最大？若存在，求出点 Q 坐标；若不存在请说明理由.解：法一：利用两点之间距离公式假设 P（1，t），利用两点之间距离公式表示PC、PA，进一步将CPAC 表示为关于 t 的表达式，但最小值以目前知识无法求出；法二：结合图像性质A、B 关于二次函数对称轴对称， 对称轴上点到 A、B 两点距离相等AC 为定长 C PA
7、C 的最小值在（ PC+PA） min=（ PC+PB） min时取到两点之间线段距离最短， （PC+PB） min=CB= 32C PAC的最小值为 1032课堂总结：“数形结合”作为一种重要的思想方法，其应用大致可以分为两种情形：一是借助数的精确性来阐明形的某些属性，二是借助形的直观性来阐明数之间的某种关系。几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性，解题过程的操作性强，便于把握。对于例 1 与例 2，我们可以选取两种角度中较为简便的方法解答；但在解决综合问题时，往往需要两种方法的结合。比如例 3，单一方向的解法无法解决问题。介绍华罗庚数形结合诗：数缺形时少直观，形缺数时难入微。数形结
8、合百般好，隔离分家万事休。【思考题】（机动）法一：设 Q（a， ）（0a3），过 Q 作 x 轴垂线，垂足为 D，QD 与2BC 交于点 E, 直线 BC 的解析式为：y=x -3， E （a，a-3）22 211(33937() )8CQBEBQEBCSSxaa 当 a= 时， ，Q（ ） .CQBS 的 最 大 值 为 315,24注：从代数出发，落实到图形法二：设与 BC 平行的直线解析式为：y= x+c（c -3），与 联立得： ,23yx230x令 解得： ,94()0c14c 解得：x= , Q( )213x325,4注：从图形出发，落实到代数作业布置配套专题作业板书设计课堂总结 例 2例 3
