1、1等差数列提高题第 I卷徐荣先汇编一选择题（共 20小题）1记 Sn为等差数列a n的前 n项和若 a4+a5=24，S 6=48，则a n的公差为（ ）A1 B2 C4 D82等差数列a n中，a 3，a 7是函数 f（x）=x 24x+3 的两个零点，则a n的前9项和等于（ ）A18 B9 C18 D363已知 Sn为等差数列a n的前 n项和，若 a4+a9=10，则 S12等于（ ）A30 B45 C60 D1204等差数列a n中，a 3=5，a 4+a8=22，则a n的前 8项的和为（ ）A32 B64 C108 D1285设等差数列a n的前 n项和为 Sn，若 a2+a4+
2、a9=24，则 S9=（ ）A36 B72 C144 D706在等差数列a n中，a 9= a12+3，则数列a n的前 11项和 S11=（ ）A24 B48 C66 D1327已知等差数列a n的前 n项和为 Sn，且 S6=24，S 9=63，则 a4=（ ）A4 B5 C6 D78一已知等差数列a n中，其前 n项和为 Sn，若 a3+a4+a5=42，则 S7=（ ）A98 B49 C14 D1479等差数列a n的前 n项和为 Sn，且 S5=6，a 2=1，则公差 d等于（ ）A B C D210已知等差数列a n的前 n项和 Sn，其中 且 a11=20，则 S13=（ ）A6
3、0 B130 C160 D26011已知 Sn是等差数列a n的前 n项和，若 4S6+3S8=96，则 S7=（ ）A48 B24 C14 D7212等差数列a n的前 n项和为 Sn，且满足 a4+a10=20，则 S13=（ ）A6 B130 C200 D26013在等差数列a n中，S n为其前 n项和，若 a3+a4+a8=25，则 S9=（ ）A60 B75 C90 D10514等差数列a n的前 n项和为 Sn，且 S5=15，a 2+a5=2，则公差 d等于（ ）A5 B4 C3 D215已知等差数列a n，a 1=50，d=2，S n=0，则 n等于（ ）A48 B49 C5
4、0 D5116设等差数列a n的前 n项和为 Sn，若 S4=4，S 6=6，则 S5=（ ）A1 B0 C2 D417设等差数列a n的前 n项和为 Sn，若 a4，a 6是方程 x218x+p=0 的两根，那么 S9=（ ）A9 B81 C5 D4518等差数列a n的前 n项和为 Sn，且 S5=15，a 2=5，则公差 d等于（ ）A3 B2 C1 D219等差数列a n中，a 1+a3+a5=39，a 5+a7+a9=27，则数列a n的前 9项的和 S9等于（ ）A66 B99 C144 D29720等差数列a n中，a 2+a3+a4=3，S n为等差数列a n的前 n项和，则
5、S5=（ ）A3 B4 C5 D6二选择题（共 10小题）21设 Sn是等差数列a n的前 n项和，已知 a2=3，a 6=11，则 S7= 22已知等差数列a n的前 n项和为 Sn，若 a3=4，S 3=3，则公差 d= 23已知等差数列a n中，a 1=1，a 2+a3=8，则数列a n的前 n项和 Sn= 24设等差数列a n的前 n项和为 Sn，若公差 d=2，a 5=10，则 S10的值是 325设a n是等差数列，若 a4+a5+a6=21，则 S9= 26已知等差数列a n的前 n项和为 Sn，若 a3=9a 6，则 S8= 27设数列a n是首项为 1的等差数列，前 n项和
6、Sn，S 5=20，则公差为 28记等差数列a n的前 n项和为 Sn，若 ，则 d= ，S 6= 29设等差数列a n的前 n项和为 Sn，若 a4=4，则 S7= 30已知等差数列a n中，a 2=2，a 12=2，则a n的前 10项和为 I卷答案 一选择题（共 20小题）1 （2017新课标 ）记 Sn为等差数列a n的前 n项和若 a4+a5=24，S 6=48，则a n的公差为（ ）A1 B2 C4 D8【解答】解：S n为等差数列a n的前 n项和，a 4+a5=24，S 6=48， ，解得 a1=2，d=4，a n的公差为 4故选：C2 （2017于都县模拟）等差数列a n中，
7、a 3，a 7是函数 f（x）=x 24x+3 的两个零点，则a n的前 9项和等于（ ）A18 B9 C18 D36【解答】解：等差数列a n中，a 3，a 7是函数 f（x）=x 24x+3 的两个零点，a 3+a7=4，a n的前 9项和 S9= = = 故选：C43 （2017江西模拟）已知 Sn为等差数列a n的前 n项和，若 a4+a9=10，则 S12等于（ ）A30 B45 C60 D120【解答】解：由等差数列的性质可得：故选：C4 （2017尖山区校级四模）等差数列a n中，a 3=5，a 4+a8=22，则a n的前 8项的和为（ ）A32 B64 C108 D128【解
8、答】解：a 4+a8=2a6=22a6=11，a 3=5， ，故选：B5 （2017宁德三模）设等差数列a n的前 n项和为 Sn，若 a2+a4+a9=24，则S9=（ ）A36 B72 C144 D70【解答】解：在等差数列a n中，由 a2+a4+a9=24，得：3a 1+12d=24，即 a1+4d=a5=8S 9=9a5=98=72故选：B6 （2017湖南一模）在等差数列a n中，a 9= a12+3，则数列a n的前 11项和S11=（ ）A24 B48 C66 D132【解答】解：在等差数列a n中，a 9= a12+3， ，5解 a1+5d=6，数列a n的前 11项和 S1
9、1= （a 1+a11）=11（a 1+5d）=116=66故选：C7 （2017商丘三模）已知等差数列a n的前 n项和为 Sn，且 S6=24，S 9=63，则a4=（ ）A4 B5 C6 D7【解答】解：等差数列a n的前 n项和为 Sn，且 S6=24，S 9=63， ，解得 a1=1，d=2，a 4=1+23=5故选：B8 （2017葫芦岛一模）一已知等差数列a n中，其前 n项和为 Sn，若a3+a4+a5=42，则 S7=（ ）A98 B49 C14 D147【解答】解：等差数列a n中，因为 a3+a4+a5=42，所以 3a4=42，解得 a4=14，所以 S7= =7a4=
10、714=98，故选 A9 （2017南关区校级模拟）等差数列a n的前 n项和为 Sn，且 S5=6，a 2=1，则公差 d等于（ ）A B C D2【解答】解：等差数列a n的前 n项和为 Sn，且 S5=6，a 2=1，6 ，解得 ，d= 故选：A10 （2017锦州一模）已知等差数列a n的前 n项和 Sn，其中 且a11=20，则 S13=（ ）A60 B130 C160 D260【解答】解：数列a n为等差数列，2a 3=a3，即 a3=0又a 11=20，d=S 13= （a 1+a13）= （a 3+a11）= 20=130故选 B11 （2017龙门县校级模拟）已知 Sn是等差
11、数列a n的前 n项和，若4S6+3S8=96，则 S7=（ ）A48 B24 C14 D7【解答】解：设等差数列a n的公差为 d，4S 6+3S8=96， + =96，化为：a 1+3d=2=a4则 S7= =7a4=14故选：C12 （2017大连模拟）等差数列a n的前 n项和为 Sn，且满足 a4+a10=20，则S13=（ ）A6 B130 C200 D260【解答】解：等差数列a n的前 n项和为 Sn，且满足 a4+a10=20，7S 13= （a 1+a13）= （ a4+a10）= 20=130故选：B13 （2017大东区一模）在等差数列a n中，S n为其前 n项和，若
12、a3+a4+a8=25，则 S9=（ ）A60 B75 C90 D105【解答】解：等差数列a n中，S n为其前 n项和，a 3+a4+a8=25，3a 1+12d=25， ，S 9= =9a5=9 =75故选：B14 （2017延边州模拟）等差数列a n的前 n项和为 Sn，且S5=15，a 2+a5=2，则公差 d等于（ ）A5 B4 C3 D2【解答】解：等差数列a n的前 n项和为 Sn，且 S5=15，a 2+a5=2， ，解得 a3=2，d=4故选：B15 （2017金凤区校级四模）已知等差数列a n，a 1=50，d=2，S n=0，则 n等于（ ）A48 B49 C50 D5
13、1【解答】解：由等差数列的求和公式可得， =0整理可得，n 251n=0n=518故选 D16 （2017唐山一模）设等差数列a n的前 n项和为 Sn，若 S4=4，S 6=6，则S5=（ ）A1 B0 C2 D4【解答】解：设等差数列a n的公差为d，S 4=4，S 6=6， d=4， d=6，解得 a1=4，d=2则 S5=5（4）+ 2=0，故选：B17 （2017南关区校级模拟）设等差数列a n的前 n项和为 Sn，若 a4，a 6是方程 x218x+p=0 的两根，那么 S9=（ ）A9 B81 C5 D45【解答】解：等差数列a n的前 n项和为 Sn，a4，a 6是方程 x21
14、8x+p=0 的两根，那a 4+a6=18，S 9= = =81故选：B18 （2017宜宾模拟）等差数列a n的前 n项和为 Sn，且 S5=15，a 2=5，则公差d等于（ ）A3 B2 C1 D2【解答】解：等差数列a n的前 n项和为 Sn，且 S5=15，a 2=5， ，解得 a1=7，d=2，公差 d等于29故选：B19 （2017西宁模拟）等差数列a n中，a 1+a3+a5=39，a 5+a7+a9=27，则数列a n的前 9项的和 S9等于（ ）A66 B99 C144 D297【解答】解：等差数列a n中，a 1+a3+a5=39，a 5+a7+a9=27，3a 3=39，
15、3a 7=27，解得 a3=13，a 7=9，数列a n的前 9项的和：S9= = = 故选：B20 （2017大庆二模）等差数列a n中，a 2+a3+a4=3，S n为等差数列a n的前 n项和，则 S5=（ ）A3 B4 C5 D6【解答】解：等差数列a n中，a 2+a3+a4=3，Sn为等差数列a n的前 n项和，a 2+a3+a4=3a3=3，解得 a3=1，S 5= =5a3=5故选：C二选择题（共 10小题）21 （2017榆林一模）设 Sn是等差数列a n的前 n项和，已知 a2=3，a 6=11，则S7= 49 【解答】解：a 2+a6=a1+a7故答案是 491022 （
16、2017宝清县校级一模）已知等差数列a n的前 n项和为 Sn，若a3=4，S 3=3，则公差 d= 3 【解答】解：由等差数列的性质可得 S3= = =3，解得 a2=1，故公差 d=a3a 2=41=3故答案为：323 （2017费县校级模拟）已知等差数列a n中，a 1=1，a 2+a3=8，则数列a n的前 n项和 Sn= n 2 【解答】解：设等差数列a n的公差为 d，a 1=1，a 2+a3=8，21+3d=8，解得 d=2则数列a n的前 n项和 Sn=n+ =n2故答案为：n 224 （2017淮安四模）设等差数列a n的前 n项和为 Sn，若公差 d=2，a 5=10，则
17、S10的值是 110 【解答】解：等差数列a n的前 n项和为 Sn，若公差 d=2，a 5=10，a 5=a1+42=10，解得 a1=2，S 10=102+ =110故答案为：11025 （2017盐城一模）设a n是等差数列，若 a4+a5+a6=21，则 S9= 63 【解答】解：a n是等差数列，a 4+a5+a6=21，a 4+a5+a6=3a5=21，解得 a5=7， =63故答案为：631126 （2017乐山三模）已知等差数列a n的前 n项和为 Sn，若 a3=9a 6，则 S8= 72 【解答】解：由题意可得 a3+a6=18，由等差数列的性质可得 a1+a8=18故 S
18、8= （a 1+a8）=418=72故答案为：7227 （2017凉山州模拟）设数列a n是首项为 1的等差数列，前 n项和Sn，S 5=20，则公差为 【解答】解：设等差数列a n的公差为 d，a 1=1，S 5=20，5+ d=20，解得 d= 故答案为： 28 （2017鹿城区校级模拟）记等差数列a n的前 n项和为 Sn，若，则 d= 3 ，S 6= 48 【解答】解：设等差数列a n的公差为d， ， + d=20，解得 d=3S 6= =48故答案为：3，4829 （2017金凤区校级一模）设等差数列a n的前 n项和为 Sn，若 a4=4，则 S7= 28 【解答】解：等差数列a
19、n的前 n项和为 Sn，a 4=4，S 7= （a 1+a7）=7a 4=28故答案为：2830 （2017衡阳三模）已知等差数列a n中，a 2=2，a 12=2，则a n的前 10项12和为 6 【解答】解：等差数列a n中，a 2=2，a 12=2， ，解得 a1=2.4，d=0.4，a n的前 10项和为：=6故答案为：6第 II卷一、选择题1在等差数列 an中， a21， a45，则 an的前 5项和 S5( )A7 B15 C20 D.252设 Sn是等差数列 an的前 n项和，若 ，则 等于( )a5a3 59 S9S5A1 B1 C2 D.123等差数列 an中， a11， a
20、3 a514，其前 n项和 Sn100，则 n等于( )A9 B10 C11 D.124(2015全国卷)已知 an是公差为 1的等差数列， Sn为 an的前 n项和，若 S84 S4，则 a10( )A. B. 172 192C10 D.125若数列 an的通项公式是 an(1) n(3n2)，则 a1 a2 a10( )A15 B12 C12 D.1513二、填空题6已知 an是等差数列， a4 a66，其前 5项和 S510，则其公差为d_.7 an为等差数列， Sn为其前 n项和，已知 a75， S721，则S10_. 8若数列 的前 n项和为 Sn，且 Sn ，则 n_.1n n 1
21、 1920能力提升1如图 224 所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n1， nN *)个点，相应的图案中总的点数记为 an，则 a2 a3 a4 an等于( )图 224A. B.3n22 n n 12C. D.3n n 12 n n 123(2015安徽高考)已知数列 an中， a11， an an1 (n2)，则数12列 an的前 9项和等于_资*源%库 WWW4(2015全国卷) Sn为数列 an的前 n项和已知 an0， a 2 an4 Sn3.2n(1)求 an的通项公式；(2)设 bn ，求数列 bn的前 n项和1anan 1第 III卷1已知 an为等差数
22、列， a135， d2， Sn0，则 n等于( )A33 B34C35 D36【答案】 D14【解析】 本题考查等差数列的前 n项和公式由Sn na1 d35 n (2)0，可以求出 n36.n n 12 n n 122等差数列 an中，3( a3 a5)2( a7 a10 a13)24，则数列前 13项的和是( )A13 B26C52 D156【答案】 B【解析】 3( a3 a5)2( a7 a10 a13)246 a46 a1024 a4 a104 S13 13 a1 a132 13 a4 a10226.13423等差数列的前 n项和为 Sn， S1020， S2050.则 S30_.【
23、答案】 90【解析】 等差数列的片断数列和依次成等差数列 S10， S20 S10， S30 S20也成等差数列2( S20 S10)( S30 S20) S10，解得 S3090.4等差数列 an的前 n项和为 Sn，若 S1284， S20460，求 S28.【分析】 (1)应用基本量法列出关于 a1和 d的方程组，解出 a1和 d，进而求得 S28；(2)因为数列不是常数列，因此 Sn是关于 n的一元二次函数且常数项为零设 Sn an2 bn，代入条件 S1284， S20460，可得 a、 b，则可求 S28；(3)由 Sn n2 n(a1 )得 n( a1 )，故 是一个等差数列，又
24、d2 d2 Snn d2 d2 Snn2201228，2 ，可求得 S28.S2020 S1212 S2828【解析】 方法一：设 an的公差为 d，则 Sn na1 d.n n 12由已知条件得：Error!整理得Error!解得Error!15所以 Sn15 n 42 n217 n，n n 12所以 S28228 217281 092.方法二：设数列的前 n项和为 Sn，则 Sn an2 bn.因为 S1284， S20460，所以Error!整理得Error!解之得 a2， b17，所以 Sn2 n217 n， S281 092.方法三： an为等差数列，所以 Sn na1 d，n n
25、12所以 a1 n，所以 是等差数列Snn d2 d2 Snn因为 12,20,28成等差数列，所以 ， ， 成等差数列，S1212S2020 S2828所以 2 ，解得 S281 092.S2020 S1212 S2828【规律方法】 基本量法求出 a1和 d是解决此类问题的基本方法，应熟练掌握根据等差数列的性质探寻其他解法，可以开阔思路，有时可以简化计算一、选择题(每小题 5分，共 40分)1已知等差数列 an中， a27， a415，则前 10项的和 S10等于( )A100 B210C380 D400【答案】 B【解析】 d 4，则 a13，所以 S10210.a4 a24 2 15
26、722在等差数列 an中， a2 a519， S540，则 a10( )A27 B24C29 D4816【答案】 C【解析】 由已知Error!解得Error! a1029329.3数列 an的前 n项和为 Sn n22 n1，则这个数列一定是( )A等差数列 B非等差数列C常数列 D等差数列或常数列【答案】 B【解析】 当 n2 时， an Sn Sn1 n22 n1( n1) 22( n1)12 n1，当 n1 时 a1 S12. anError!这不是等差数列4设等差数列 an的前 n项和为 Sn.若 a111， a4 a66，则当 Sn取最小值时， n等于( )A6 B7C8 D9【答
27、案】 A【解析】 Error!Error! Sn na1 d11 n n2 n n212 n.n n 12( n6) 236.即 n6 时， Sn最小5一个只有有限项的等差数列，它的前 5项的和为 34，最后 5项的和为146，所有项的和为 234，则它的第 7项等于( )A22 B21C19 D18【答案】 D【解析】 a1 a2 a3 a4 a534，an an1 an2 an3 an4 146，5( a1 an)180， a1 an36，Sn 234.n a1 an2 n36217 n13， S1313 a7234. a718.6一个有 11项的等差数列，奇数项之和为 30，则它的中间项
28、为( )A8 B7C6 D5【答案】 D【解析】 S 奇 6 a1 2d30， a15 d5， S 偶6525 a2 2d5( a15 d)25， a 中 S 奇 S 偶 30255.5427若两个等差数列 an和 bn的前 n项和分别是 Sn， Tn，已知 ，SnTn 7nn 3则 等于( )a5b5A7 B.23C. D.278 214【答案】 D【解析】 .a5b5 2a52b5 a1 a9b1 b992 a1 a992 b1 b9 S9T9 2148已知数列 an中， a160， an1 an3，则|a1| a2| a3| a30|等于( )A445 B765C1 080 D1 305
29、【答案】 B【解析】 an1 an3， an为等差数列 an60( n1)3，即 an3 n63. an0 时， n21， an0时， n21， an0时， n21.S 30| a1| a2| a3| a30| a1 a2 a3 a21 a22 a23 a30182( a1 a2 a21) S302 S21 S30765.二、填空题(每小题 10分，共 20分)9设等差数列 an的前 n项和为 Sn，若 a6 S312，则数列的通项公式an_.【答案】 2 n【解析】 设等差数列 an的公差 d，则Error!，Error!， an2 n.10等差数列共有 2n1 项，所有奇数项之和为 132
30、，所有偶数项之和为120，则 n等于_【答案】 10【解析】 等差数列共有 2n1 项， S 奇 S 偶 an1 .S2n 12n 1即 132120 ，求得 n10.132 1202n 1【规律方法】 利用了等差数列前 n项和的性质，比较简捷三、解答题(每小题 20分，共 40分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11在等差数列 an中，(1)已知 a610， S55，求 a8和 S8；(2)若 a11， an512， Sn1 022，求 d.【分析】 在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中 a1和 d是两个最基本量，利用通项公式和前 n项和公式，先求
31、出 a1和 d，然后再求前 n项和或特别的项【解析】 (1) a610， S55，Error!解方程组，得 a15， d3， a8 a62 d102316，S8 44.8 a1 a8219(2)由 Sn 1 022，n a1 an2 n 512 12解得 n4.又由 an a1( n1) d，即5121(41) d，解得 d171.【规律方法】 一般地，等差数列的五个基本量 a1， an， d， n， Sn，知道其中任意三个量可建立方程组，求出另外两个量，即“知三求二” 我们求解这类问题的通性通法，是先列方程组求出基本量 a1和 d，然后再用公式求出其他的量12已知等差数列 an，且满足 an
32、404 n，求前多少项的和最大，最大值为多少？【解析】 方法一：(二次函数法) an404 n， a140436， Sn n2 n238 n a1 an n2 36 40 4n22 n219 n( )2192 19222( n )2 .192 1922令 n 0，则 n 9.5，且 nN ，192 192当 n9 或 n10 时， Sn最大， Sn的最大值为 S9 S102(10 )2 180.192 1922方法二：(图象法) an404 n， a140436，a2404232， d32364，Sn na1 d36 n (4)2 n238 n，n n 12 n n 12点( n， Sn)在二
33、次函数 y2 x238 x的图象上， Sn有最大值，其对称轴为x 9.5，382 2 192当 n10 或 9时， Sn最大20 Sn的最大值为 S9 S10210 23810180.方法三：(通项法) an404 n， a140436，a2404232， d323640，数列 an为递减数列令Error!有Error!Error!即 9 n10.当 n9 或 n10 时， Sn最大 Sn的最大值为 S9 S10 10 10180.a1 a102 36 02【规律方法】 对于方法一，一定要强调 nN ，也就是说用函数式求最值，不能忽略定义域，另外，三种方法中都得出 n9 或 n10，需注意 am0时， Sm1 Sm同为 Sn的最值
