1、等差数列的性质总结1.等差数列的定义： （ d为常数） （ ） ；an12n2等差数列通项公式：， 首项: ，公差:d，末项:*11()()nadN1ana推广： 从而 ；mn)mnd3等差中项（1）如果 ， ， 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项即： 或aAbAab2baAb（2）等差中项：数列 是等差数列n )2(21-nn 21nn4等差数列的前 n 项和公式：1()naS1()2d21()ad2B（其中A、B是常数，所以当d0时，S n是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数 时， 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）
2、1221nn na5等差数列的判定方法 （1） 定义法：若 或 (常数 ) 是等差数列 dan1dn1Nna（2） 等差中项：数列 是等差数列 2(21-an 21na数列 是等差数列 （其中 是常数）。nabkk,（4）数列 是等差数列 ,（其中A、B是常数）。nS6等差数列的证明方法 定义法：若 或 (常数 ) 是等差数列dan1dan1Nna7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前 和公式中，涉及到 5 个元素： 、 、 、 及 ，其中 、 称作1dnaS1ad为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。（2）设项技巧：一般可设通项 1()n
3、ad奇数个数成等差，可设为， （公差为 ） ；2,aad偶数个数成等差，可设为， ,（注意；公差为 2 ）3d8等差数列的性质：（1）当公差 时，0d等差数列的通项公式 是关于 的一次函数，且斜率为公差 ；11()nadnan前 和 是关于 的二次函数且常数项为 0.n21()S（2）若公差 ，则为递增等差数列，若公差 ，则为递减等差数列，若公差 ，则为常数列。0d00d（3）当 时,则有 ，特别地，当 时，则有 .mnpqqpnmaa2mnp2mnpa注： ，12132nnnaa（4）若 、 为等差数列，则 都为等差数列nb12nba，(5) 若 是等差数列，则 ，也成等差数列 232,nn
4、SS（6）数列 为等差数列,每隔 k(k )项取出一项( )仍为等差数列na*N23,mkmkaa（7）设数列 是等差数列，d 为公差， 是奇数项的和， 是偶数项项的和， 是前 n 项的和n 奇S偶SS1.当项数为偶数 时，2121352nnnaSa a奇 246 1偶 11=nnad偶 奇S奇偶2、当项数为奇数 时，则12n1()(1)1nSaSnaSnn+1+奇 偶 奇 奇奇 偶 偶 偶（其中 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项） a+（8） 、 的前 和分别为 、 ，且 ，nbnnAB()nf则 .21()()nnf（9）等差数列 的前 n 项和 ，前 m 项和 ，则前 m+n 项和
5、aSnSmnS(10)求 的最值nS法一：因等差数列前 项和是关于 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。*N法二：（1） “首正”的递减等差数列中，前 项和的最大值是所有非负项之和n即当 由 可得 达到最大值时的 值， 0da01naSn（2） “首负”的递增等差数列中，前 项和的最小值是所有非正项之和。即 当 由 可得 达到最小值时的 值，11nn或求 中正负分界项na法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前 n项和的图像是过原点的二次函数，故 n取离二次函数对称轴最近的整数时， 取最大值（或最小值） 。若 S p = S q则其对称轴为nS 2pqn注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于 和 的方程；1ad巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量
