1、901第九章 线性系统的状态空间分析与综合9-1 设系统的微分方程为 ux23其中 为输入量， 为输出量。ux 设状态变量 ， ，试列写动态方程；1x2 设状态变换 ， ，试确定变换矩阵 及变换后的动态方程。21T解： ， ；ux032021 10xy ， ； ； ， ， ；2121xT1121TAT1B1CT得， ； ， 。uxx0221 2xy9-2 设系统的微分方程为 y616其中 、 分别系统为输入、输出量。试列写可控标准型(即 为友矩阵)及可观标准型(即 为友uy AA矩阵转置)状态空间表达式，并画出状态变量图。解：可控标准型和可观标准型状态空间表达式依次为，； ；xyux06106
2、1 xyux1006可控标准型和可观标准型的状态变量图依次为，9-3 已知系统结构图如图所示，其状态变量为 、 、 。试求动态方程，并画出状态变量图。1x23解：由图中信号关系得， ， ， ， 。动态方程为31x ux2312 323x1y， ；00y01状态变量图为6 611s-1 s-1 s-1 63x211u-y6116s-1 s-1 s-16 3x2u- y- -s)1(ssX1(s)=Y(s)X2(s)X3(s)- -U(s)9029-4 已知双输入双- 输出系统状态方程和输出方程， ，2321326uxxu 321xy写出其向量-矩阵形式并画出状态变量图。解：状态方程 ， ；x10
3、610 xy10状态变量图为9-5 已知系统传递函数为，3486)(2ssG试求出可控标准型( 为友矩阵)、可观标准型( 为友矩阵转置)、对角型( 为对角阵)动态方程。AAA解： ；可控标准型、可观标准型和对角型依次为135.0.13452) sssG； ； 。uxy250 uxy0254 uxy15.039-6 已知系统传递函数为，)2(15)(ssG试求约当型( 为约当阵)动态方程。A解： ； ， 。2)1(525ssG uxx510 xy019-7 已知系统的状态方程为，ux- y- -2x3x1xu32s-12 s-1s-132s-1 s-1 s-162113x 1x1-y1xu2 y
4、2- u1x2x3-903初始条件为 ， 。试求系统在单位阶跃输入作用下的响应。1)0(x0)(2解法 1：； ttesLt1。 tttt tttt eedex 211)(00解法 2：； ssssxsBuAs )1()1()()I() 2221。texL19-8 已知系统的状态转移矩阵，ttttet 2233)(试求该系统的状态阵 。A解： 。(注：原题给出的 不满足 及 。4321)(0t )(tA)0( Att)()()9-9 已知系统动态方程， ，uxx2103120 xy10试求传递函数 。)(sG解： ，BAC1I； 21031562971023020)( 2231 sssss。)
5、(3G9-10 试求所示系统的传递函数矩阵。， 。uxx102610 xy120解： ； 22231 6166)I( sssssAs904； 10261612061)( 2223 ssssG。48459)( 223s9-11 已知差分方程，)(31()1()( kukyky 试列写可控标准型( 为友矩阵)离散动态方程，并求出 时的系统响应。给定 ，A 0)(y。1)y解：系统的脉冲传递函数为， ； ， 。23)(2zzG1)(zU)(10)(320)( kuxkx)(23kxy；)()1()(65)()1(30)22 zzzzyyY。365)1kk9-12 已知连续系统动态方程为， ，ux10
6、2xy0设采样周期 ，试求离散化动态方程。sT1解：设 ， ；)(kut Tkt)(， ；)2/(1020(11 ssAsI tet20)1(5.)(， ；)(5.)eT)(.3tdT， 。)(1(5.03)(0.1( 22 kuekxkx 1kxy9-13 判断下列系统的状态可控性： ； ； uxx1041 uxx010 ； ； 124905 ； 。uxx100121 uxx100121解： ， ； 状态不完全可控；1UnUrak ， ； 状态不完全可控；202rn ， ； 状态完全可控；11U3rak1U ， ； 状态不完全可控；32864n2r ， ； 状态不完全可控；3221120UU
7、3rak ， ； 状态完全可控；3221104rank9-14 已知 ，试计算 ？bcad0db解：矩阵 的特征方程为 ， 据凯莱哈密尔定理得知：A)()(2sas， ； ；2AakkAd1 Ada910)(。cbcb90)(9-15 设系统状态方程为，ubxax10且状态完全可控。试求 、 。ab906解： ， ，只需 。1abU01det2baUba19-16 设系统传递函数为，8147)(23ssG且状态完全可控。试求 。解：可控标准型实现的系统，无论 取何值，系统状态完全可控。在可观标准型实现中a， ； ， uxx0170418 xy107104aU；只需 、 且 。det23aUa2
8、注：由 分子和分母的多项式互质条件，同样得到 。)(sG 08239-17 判断下列系统的输出可控性： ， 。uxdcbx100 xy0 ， ；uxx61 xy0解：输出可控性判别矩阵 。CUBABCACBS nno 11 ， ， ，系统的输出不可控。32100dcU0o qSo0rak ， ， ，系统的输出可控；010oSqSo1rank9-18 判断下列系统的可观测性： ， ； ， ；uxx1201 xy01x1302xy1 ， ； ，xx20 xy01xxy0907。解：应用可观测性判别矩阵。 ， ； 系统完全可观测；25130V3rankV ， ； 系统完全可观测；134r ， ； 系
9、统完全可观测；1202V4rankV ， ； 系统不完全可观测；943nrak9-19 试确定使下列系统可观测的 、 ：b， 。x01xy1解： ， ，只需 。baV1detaVb9-20 已知系统各矩阵为， ， ，10243A01B10C试用传递函数矩阵判断系统的可控性、可观测性。解： ， 4023)4(102431)I( ssssss传递函数矩阵为 ；)()(G908， ； ， ；012UnU3rak1023VnV3rak该实现是完全可控且完全可观测的。9-21 将下列状态方程化为可控标准型。uxx1432解： ； ， ；xT1ATB， ， ； ，65)Idet(2ss 057U1261U
10、T； 81。uxx105注：若不要求计算变换矩阵，可根据特征多项式直接列写可控标准型。9-22 已知系统传递函数为,23)(sG试写出系统可控不可观测、可观测不可控、不可控不可观测的动态方程。解：系统传递函数的分子和分母多项式中有公因式 ，任何 2 维动态方程不可能是既完全可控)1又完全可观测的。可控不可观测动态方程 ， ；uxx0321 xy可观测不可控动态方程 ， ；01不可控不可观测动态方程 ， 。uxx01 xy09-23 设被控系统状态方程为，uxx100可否用状态反馈任意配置闭环极点？求状态反馈矩阵，使闭环极点位于 ，并画出状31,0j态变量图。解： ， ，系统完全可控，可用状态反
11、馈任意配置闭环极点。901U3rankU909期望的特征多项式为 ；4021)42)(10)( 3ssssK待定参数特征多项式为 ；123 )90(9kkk解得， 。状态变量图如下：.2149-24 设被控系统动态方程为， ，ux10xy0试设计全维状态观测器，使其闭环极点位于 ， ，并画出状态变量图。2,r)(解：期望的观测器特征多项式为 ；223)( rsssL 待定系数的特征多项式为 ；1Idet) lLCA；23rL， 。uyrzz103012 zx状态变量图如右图所示。9-25 设被控系统动态方程为， ，uxx1023105 xy10试检查被控系统的可控性、可观测性；求输出至输入的反
12、馈矩阵，使闭环极点位于 ， 3.12.0j，并画出状态变量图。57.0解： ， ，可控性判别矩阵满秩；动态方程是可观测标准型； 5121U3rank1U被控系统是完全可控且完全可观测的；期望的特征多项式为 ；90.82.10.)7384.1.0)(7.() 232 ssssK选取状态反馈矩阵 ；则待定参数特征多项式为321k )5()5()()( 123213 kskss解得 ；608.4.075.r 3x 1xu2x210 2.11.2- -10 s-1 s-1s-1 4-y1xu2xs-1 s-1- 2x12zz21s-1 s-13r2r2910构造全维状态观测器，其极点选为 ；则，5,3
13、2，301)()( 2ssssL；)(13) lll即 ； ， ；7325 yuzz 7001 zx9-26 已知系统动态方程各矩阵为， ， ，0213Ab1c试检查可观测性，设计 维观测器，并使所有极点配置在 。)(qn4解： ， ；3n1q， ，该系统完全能观；选取变换矩阵72VnV3rak， ；则 ； ； ；10P101QP02413A1b21lL， ；uLbyLALzLAz )()()()( 12122 zQyx2)(， ；解得，68s 86det 1221 lslssI； 维观测器方程如下：74.5931/0)(qn-3x21xr1s-1 s-1 s-131 1030- -3z2z1
14、z-z3z1 z2u1u222 -35s-1 s-1 s-1x2x1x- y- 331 1030k3k2k1-r2911， 。yuzz 5294.318764.02941.53.07 zyx10764.1593.9-27 试用李亚普诺夫第二法判断下列系统平衡态的稳定性：， 。21x 21解： 李亚普诺夫方程 ，QPAT其中系统矩阵为 ；取 ， ， ；3221p210qQ06421解得 ，系统的平衡态是渐近稳定的；089P（或采用李亚普诺夫方程 ，解得 。 ）ITPA50.174P9-28 已知系统的状态方程为，uxx0125.03.2当 时， ？若选 为半正定矩阵， ？对应 ？判断系统稳定性。
15、IQPQP解：系统稳定性与所选取的矩阵 无关。当 时，由李亚普诺夫方程 得到QAT， 05.25.03126 43311231 212 ppp解得 ，由 ，即知矩阵 不是正定矩阵，系统不稳定。4078PP可取 ， （必须 ） ，经检验知 完全可观测；1diagQ01q,QA解得 ， 非正定，系统不稳定。459728P9-29 设线性定常离散系统状态方程为， ，)(02/1)1(kxakx0a试求使系统稳定的 值范围。a解 1：离散系统渐近稳定的充要条件是所有特征值均在单位圆内。由 ，得 。05.)Idet(3zA|912解 2：选取 ；由 ，计算得 ，其余 ，因 完全可观IPQPT 4/12aq0ijq,Q测，只需 ，使 为半正定的，即保证系统稳定。|a
