1、等差数列知识点 1.等差数列的定义： （ d为常数） （ ） ；an12n2等差数列通项公式：， 首项: ，公差:d，末项:*11()()nadN1ana推广： 从而 ；mn)mnd3等差中项（1）如果 ， ， 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项即： 或aAbAab2baAbA2（2）等差中项：数列 是等差数列n )2(21-nn21nn4等差数列的前 n 项和公式：1()naS1()d21()nadn2AB（其中A、B是常数，所以当d0时，S n是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数 时， 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项21（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数121
2、nn na乘以中间项）5等差数列的判定方法 （1） 定义法：若 或 (常数 ) 是等差数dan1dan1Nna列 （2） 等差中项：数列 是等差数列)2(21- 21nna数列 是等差数列 （其中 是常数）。bknak,（4）数列 是等差数列 ,（其中A、B是常数）。2S6等差数列的证明方法 定义法：若 或 (常数 ) 是等差数列dan1dan1Nna7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前 和公式中，涉及到 5 个元素： 、 、 、 及 ，1dnaS其中 、 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即ad知 3 求 2。（2）设项技巧：一般可设通项 1()
3、nad奇数个数成等差，可设为， （公差为 ） ；2,2aadd偶数个数成等差，可设为， ,（注意；公差为 2 ）338等差数列的性质：（1）当公差 时，0d等差数列的通项公式 是关于 的一次函数，且斜11()nadnan率为公差 ；前 和 是关于 的二次函数且常数项n21 1()S为 0.（2）若公差 ，则为递增等差数列，若公差 ，则为递减等差数列，若公差0d0d，则为常数列。0d（3）当 时,则有 ，特别地，当 时，则有mnpqqpnmaa2mnp.npa注： ，12132nnna（4）若 、 为等差数列，则 都为等差数列nb12nab，(5) 若 是等差数列，则 ，也成等差数列 a232,
4、nnSS（6）数列 为等差数列,每隔 k(k )项取出一项( )仍为等差n*N23,mkmkaa数列（7）设数列 是等差数列，d 为公差， 是奇数项的和， 是偶数项项的和， 是na奇S偶SnS前 n 项的和1.当项数为偶数 时，2121352nnnaS a奇 246 1a 偶 11nna偶 奇S奇偶2、当项数为奇数 时，则12n1()(1)1nSaSnaSnn+1+奇 偶 奇 奇奇 偶 偶 偶（其中 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项） a+（8） 、 的前 和分别为 、 ，且 ，nbnAB()nf则 .21()()nnf（9）等差数列 的前 n 项和 ，前 m 项和 ，则前 m+n 项和
5、aSnSmnS(10)求 的最值法一：因等差数列前 项是关于 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要n注意数列的特殊性 。*N法二：（1） “首正”的递减等差数列中，前 项和的最大值是所有非负项之和n即当 由 可得 达到最大值时的 值， 0da01naSn（2） “首负”的递增等差数列中，前 项和的最小值是所有非正项之和。即 当 由 可得 达到最小值时的 值，11nn或求 中正负分界项na法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前 n项和的图像是过原点的二次函数，故 n取离二次函数对称轴最近的整数时， 取最大值（或最小值） 。若 S p = S q则其对称nS轴为 2pq注意：解决等
6、差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于 和 的方程；1ad巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量等差数列基础练习题一、填空题1. 等差数列 8，5，2，的第 20 项为_.2. 在等差数列中已知 a1=12, a6=27,则 d=_3. 在等差数列中已知 ，a7=8，则 a1=_13d4. 与 的等差中项是_-2()ab2()5. 等差数列-10，-6，-2，2，前_项的和是 546. 正整数前 n 个数的和是_7. 数列 的前 n 项和 ，则 _.a23nS na8. 在等差数列中已知 a1=12, a6=27,则 d=_9. 在等差数列中已知
7、 ，a7=8，则 a1=_13d10. 在等差数列an中，an=m，an+m=0，则 am= _。11 在等差数列an中，a4+a7+a10+a13=20，则 S16= _ 。12 在等差数列an中，a1+a2+a3+a4=68，a6+a7+a8+a9+a10=30，则从 a15 到 a30 的和是 _ 。 13 已知等差数列 110， 116， 122，则大于 450 而不大于602 的各项之和为 _ 。14 若 是方程 的解，则 _。15 若公差 ，且 是关于 的方程 的两个根，则_。二、选择题1 若 成等差数列，则 x 的值等于（ ）lg2,(1),lg(23)xxA.0 B. C. 3
8、2 D.0 或 32 o52、等差数列中连续四项为 a，x，b，2x，那么 a ：b 等于 （ ）A、 B、 C、 或 1 D、3. 在等差数列 中 ，则 的值为na314045678910aa（ ）A.84 B.72 C.60 . D.484. 在等差数列 中，前 15 项的和 ， 为（ ）na1590S8aA.6 B.3 C.12 D.4 5. 等差数列 中, ,则此数列前 20na123189204,78aa下项的和等于A.160 B.180 C.200 D.2206. 在等差数列 中,若 ，则 的值等于（ na34567450a28a）A.45 B.75 C.180 D.3007. 设
9、 是数列 的前 n 项的和，且 ，则 是（ ）nSna2nSnaA.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，且是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列8. 数列 3，7，13，21，31，的通项公式是（ ）A. B. 41na32naC. D.不存在 29、设数列an和bn都是等差数列，其中 a1=25， b1=75，且a100+b100=100，则数列an+bn的前 100 项和为（）A、 0 B、 100 C、10000 D、50500010. 等差数列 中, ,则此数列前 20na123189204,78aa下项的和等于A.160 B.180 C.200
10、 D.22011 一个项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和与偶数项的和分别是 24 与 30,若此数列的最后一项比第-10 项为 10，则这个数列共有（ ）A、 6 项 B、8 项 C、10 项 D、12 项三、计算题1.求集合 中元素的个数，并求这些|21,*60MmnNm， 且元素的和2.设等差数列 的前 n 项和公式是 ，求它的前 3 项，并na253nS求它的通项公式3.如果等差数列 的前 4 项的和是 2，前 9 项的和是-6，求其前 nna项和的公式。4.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列 的有关未知数：na（1） 求 n 及 ； （2）15,5,6nadSn12,0,nda求 及
